중등영재교육원 대비 수학 특강] 놀이기구 함께 타기

진희네 반 학생들이 놀이공원으로 소풍을 갔습니다. 평일이어서 그런지 기다리는 사람이 많지 않아 모두들 신나게 놀이기구를 타며 놀고 있습니다. 그런데 마침 새로 생긴 한 놀이기구 앞에는 유독 기다리는 사람이 많았습니다.

항상 같이 다니는 진희, 선경, 미은, 진경이도 이 놀이기구를 타 보려고 순서대로 나란히 줄을 섰습니다. 이 놀이기구의 정원은 7명인데, 평소에는 일행끼리 같이 타기 위해 양보도 할 수 있지만 오늘은 워낙 기다리는 사람이 많아 줄을 선 순서대로 무조건 타야 한다고 합니다. 순서가 되어 네 사람 중 누군가는 반드시 놀이기구를 타게 되었을 때, 네 사람이 한 번에 타게 될 확률은 몇 %일까요?

확률을 계산할 때는 전체 경우가 무엇을 의미하는지 정확히 이해한 다음, 문제에서 요구하는 특정한 사건의 경우를 찾아야 합니다. 이 문제에서 전체 경우는 넷 중 누군가는 반드시 놀이기구를 타는 것입니다. 즉, 진희가 7명 정원 중 마지막 순서로 혼자 타는 경우부터 진경이가 7명 정원 중 처음 순서로 혼자 타는 경우까지입니다. 따라서 전체 사건의 수는 (◎,◎,◎,◎,◎,◎,진희), (◎,◎,◎,◎,◎,진희,선경), …, (진경,◎,◎,◎,◎,◎,◎)의 10가지입니다. 이 중에서 네 사람이 한 번에 모두 타는 경우는 진경이가 마지막으로 타는 경우부터 진희가 처음으로 타는 경우까지이므로 (◎,◎,◎,진희,선경,미은,진경), (◎,◎,진희,선경,미은,진경,◎), (◎,진희,선경,미은,진경,◎,◎), (진희,선경,미은,진경,◎,◎,◎)의 4가지입니다. 따라서 네 사람이 한 번에 타게 될 확률은 4/10 x 100 =40% 입니다.

<1> A 상자에는 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7이 적혀 있는 일곱 개의 구슬이 들어 있고, B 상자에는 8, 15, 24, 33, 42, 51, 60이 적혀 있는 일곱 개의 구슬이 들어 있습니다. 미은이는 A 상자, 진경이는 B 상자에서 각각 한 개의 구슬을 꺼내어 구슬에 적힌 수의 합이 홀수이면 진경이가 이기고, 짝수이면 미은이가 이긴다고 합니다. 누가 유리합니까?

<2> 반지름이 5cm인 원판의 과녁에 활을 쏠 때, 화살이 원판 중심에 가까이 맞을 가능성(중심에서 반지름이 1cm인 원의 영역)과 원판 가장자리에 가까이 맞을 가능성(원의 둘레를 따라 폭이 1cm인 영역) 중 어느 것이 더 크겠는지를 확률을 이용하여 말해 보시오.

<3> 숫자가 적힌 두 개의 원판 A, B가 있습니다. 희수와 지영이가 원판을 각각 하나씩 정하여 동시에 화살을 쏘아 맞힌 영역의 숫자가 더 큰 사람이 이기는 게임을 하였습니다. 어느 원판을 이용하는 것이 더 유리합니까?

<4> 한 여인이 오랫동안 보지 못했던 친구 집을 방문합니다. 그녀는 친구의 가족이 친구 부부 두 사람과, 나이가 다른 두 아이들인 것을 알고 있습니다. 그녀가 친구의 집에 도착해서 벨을 눌렀을 때, 안쪽에서 한 남자아이가 “누구세요?”라고 하는 것을 들었습니다. 이 때, 친구 부부의 나머지 한 아이 역시 남자아이일 확률을 구하시오.
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중등영재교육원 대비 수학 특강] 바위를 옮겨라

고대의 건축물을 보면 그 어마어마한 크기에 놀라게 되는 것이 한두 가지가 아닙니다. 청동기 시대 고대인들의 무덤이었던 고인돌을 비롯하여 이집트 왕들의 무덤이었던 피라미드, 그 끝을 알 수 없는 중국의 만리장성을 비롯하여 우리나라의 석탑이나 성곽을 보면 거대한 바위들을 이용하여 건축하였습니다. 대부분의 건축물은 그 당시 부족장이나 왕의 권력의 힘을 나타내는 척도로 여겨져서 경쟁적으로 더 큰 규모로 만들었습니다. 이집트의 피라미드 중 가장 큰 피라미드는 높이가 1m, 폭이 2m이고 무게가 2.5t에 이르는 바위를 무려 230만개나 사용하여 만들었다고 합니다. 그런데 이렇게 무거운 바위를 옛날 사람들은 지금과 같은 중장비도 없이 어떻게 나를 수 있었을까요?

큰 바위를 옮기기 위해서 옛날 사람들은 바위 밑에 통나무를 받친 다음 수많은 사람이 당기고 끌었습니다. 건물의 높이가 높아질수록 흙을 이용하여 완만한 경사를 이루도록 산을 쌓아 끌어올린 것입니다.

아래 그림에서 거대한 바위를 옮기기 위해 바위 밑에 통나무를 받쳐 놓았습니다. 바위에 줄을 묶어 잡아당길 때, 만일 바닥에 놓인 통나무가 20m 이동하면 위에 있는 바위는 몇 m 움직이게 될까요? 또, 그 이유는 무엇일까요? 단, 통나무는 미끄러지지 않고 굴러서 움직입니다.

구르는 원의 이동 경로나 움직인 거리, 지나간 자취의 넓이를 구할 때는 원의 중심과 반지름, 둘레를 상황에 따라 잘 고려해야 합니다. 또한 원이 미끄러지면서 움직인 것인지, 미끄러지지 않고 굴러서 움직인 것인지도 생각해야 합니다. 이 문제에서 얼핏 생각하면 바위는 통나무와 마찬가지로 20m 움직인다고 생각할 수 있습니다. 통나무가 구르지 않고 미끄러졌다면 통나무가 이동한 만큼 바위가 이동하겠지만 통나무가 구르고 있으므로 통나무 위의 바위는 구른 거리만큼 더 이동하여 20+20=40(m)을 움직이게 됩니다. 딱풀과 자 등을 이용하여 직접 실험해 보면 확실하게 알 수 있습니다.

<1> 반지름이 10인 원판 A가 반지름이 20인 원판 B의 둘레 위를 미끄러지지 않고 굴러가서 한 바퀴를 돌아 본래 위치로 돌아올 때까지 원판 A가 회전한 바퀴 수를 구하시오.

<2> 다음 그림은 한 변의 길이가 20㎝인 정삼각형 3개를 붙여서 만든 사다리꼴입니다. 반지름이 5㎝인 원이 이 사다리꼴의 둘레를 한 바퀴 돌았을 때, 원이 지나간 부분의 넓이를 구하시오. 단, 원주율은 π로 계산합니다.

<3> 다음 그림과 같이 한 변의 길이가 5㎝인 정삼각형 ABC가 정사각형의 내부에서 변을 따라 구르고 있습니다. 이 정삼각형이 정사각형의 내부를 한 바퀴 돌아 원래의 위치로 돌아왔을 때, 점 A가 움직인 거리를 구하시오. 단, 원주율은 π로 계산합니다.

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중등영재교육원 대비 수학 특강]측량과 수학

아버지는 토목기사입니다. 어릴 때부터 아버지를 따라 이곳저곳의 공사 현장을 다녀볼 기회가 많았던 진섭이는 자연스럽게 건설과 관련된 일에 관심을 갖게 되었습니다. 요즘 진섭이네 아버지께서는 어느 연구소에서 설치 중인 입자가속기 공사 현장에서 근무하시는데, 진섭이가 아버지께 부탁하여 공사 현장을 찾았습니다. 공사 현장을 둘러보던 진섭이에게 아버지께서 다음과 같은 설명을 하셨습니다.

“입자가속기는 아주 작은 물질을 매우 빠른 속력으로 움직이게 하는 거대한 실험장치란다. 빠른 속력을 얻기 위해 원 모양으로 만들어져 있는데, 가장 큰 것은 둘레가 27㎞나 되지. 지난번에 보았던 자동차 주행 시험장과 비슷하지만 땅 속에 만들어진단다.”

“전 그런 것엔 관심 없어요. 오로지 건축, 토목에만 관심이 있다고요.”

“그놈 참. 그러면 아버지가 내는 문제를 해결하면 네가 좋아하는 내용들을 알려주마. 지금 네가 서 있는 곳(A) 바로 밑으로 원 모양의 가속기가 지나간단다. 정면에 보이는 건물이 원의 중심(O)이고, 네 자리에서 원의 중심을 연결하는 직선이 반대쪽 원의 둘레와 만나는 지점(B)에 이 연구소의 정문이 있어. 정문에서 가속기인 원의 둘레를 따라 일정한 간격으로 기숙사(C)와 전시관(D)이 지어질 예정이지. 네 위치와 기숙사를 잇는 직선(AC)이 네 위치를 각의 꼭짓점으로 하는 정문과 전시관 사이의 각(∠BAD)을 이등분한다고 할 수 있을까? 수학적으로 설명할 수 있겠니?”

원을 이용하면 중심각이 원주각의 2배이며, 반지름과 호의 길이가 같으면 중심각의 크기도 같다는 특징을 발견할 수 있습니다. 이를 거꾸로 이용하면 각의 측정을 통해 같은 거리의 위치를 측량할 수도 있습니다.문제에서 주어진 조건을 오른쪽 그림과 같이 나타낼 수 있습니다.

① 삼각형 OAC는 이등변삼각형이므로 ∠OAC와 ∠OCA의 크기가 같습니다. 따라서 외각인 ∠COB는 ∠CAB의 2배입니다. 즉, 한 호에 대하여 중심각의 크기는 원주각의 크기의 2배입니다.

② 부채꼴 BOC와 COD의 반지름과 호의 길이가 각각 같으므로 중심각의 크기도 같습니다. 따라서 ∠DOC=∠COB=2∠CAB이고, ∠DAC는 호 DC의 원주각이므로 중심각인 ∠DOC의 절반입니다. 따라서 ∠DAC와 ∠CAB의 크기가 같으므로 직선 AC는 ∠DAB의 이등분선입니다.

<1> 다음과 같이 원 O에 내접하는 사각형 ABCD가 있습니다. 선분 AB와 선분 AC의 길이가 같고 각 BAC의 크기가 30°일 때, 각 ADC의 크기를 구하시오.

<2> 다음과 같이 원 위에 다섯개의 점 A, B, C, D, E가 있습니다. 선분 AC와 선분 BE가 원의 지름이고, 호 DE의 길이는 호 CD 길이의 2배입니다. 각 CAD의 크기가 20°일 때, 각 OFB의 크기를 구하시오.

<3> 삼각형 ABC에서 각 BAC의 크기가 30°이고 선분 AB와 선분 AC의 길이가 같습니다. 점 A에서 변 BC에 그은 수선과 점 B에서 변 AC에 그은 수선의 교점을 P, 삼각형 ABP의 외접원과 변 AC의 교점 중 A가 아닌 점을 Q라 할 때, 각 PQC의 크기를 구하시오.

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중등영재교육원 대비 수학 특강]점자의 암호

시은이는 매주 봉사활동으로 시각장애인을 위하여 책을 읽어서 녹음을 하는, 오디오북을 만드는 일을 돕고 있습니다. 그 스튜디오의 옆방에서는 어떤 선생님께서 점자로 책을 만드는 일을 합니다. 녹음을 하러 갈 때마다 점자를 만드는 원리가 궁금했던 시은이는 어느 날 점자책을 만드시는 선생님께 어떻게 손으로 만져서 글자를 구분할 수 있는지 여쭈어 보았더니 다음과 같이 말씀하셨습니다. “우리가 한글의 자음과 모음을 서로 다른 모양으로 그려서 약속한 것처럼 점자도 각각의 점의 위치에 따라 약속을 한 것이란다. 점자는 6개의 점을 2×3 모양으로 배열한 한 칸이 하나의 알파벳을 나타내는데, 한글의 자음과 모음에 해당하는 각각의 모양이 있어. 단, 자음이 받침으로 들어갈 경우는 초성과 구분하기 위해 점을 좌우대칭으로 찍거나 내려찍고, 초성에서는 ‘ㅇ’을 나타내지 않는단다. 즉,

으로 나타내지.”

이와 같이 설명을 하신 선생님께서 다음과 같은 두 단어의 의미를 알려주셨습니다. 그리고는 마지막으로 한 단어를 써 주셨습니다. 마지막 말은 무슨 뜻일까요? 시은이를 도와 해결하여 봅시다.

모든 문자나 숫자의 표현은 오랜 동안 사람들 사이의 약속으로 정해진 것으로, 그 약속을 특정한 사람들끼리만 공유하는 것이 바로 암호입니다. 따라서 점자도 일종의 암호라고 할 수 있습니다. 위 문제에서 예로 주어진 두 단어는 각각 10개의 알파벳으로 되어 있습니다. ‘안녕하세요’와 ‘밥상다리’의 알파벳 순서대로 점자를 분해하여 각 알파벳과 점자의 모양을 대응시키면, 주어진 단어의 알파벳은 순서대로 “ㅅ, ㅏ, ㄹ, ㅏ, ㅇ(종성), ㅎ, ㅏ, ㅂ(종성), ㄴ, ㅣ, ㄷ, ㅏ”임을 알 수 있습니다. 즉, 주어진 표현은 ‘사랑합니다’입니다.

<1> 어떤 컴퓨터에 ‘정보’를 입력하면 ‘찾셔’가 출력되고, ‘서울’을 입력하면 ‘야죰’이 출력됩니다. ‘솜사탕’이라는 문자가 출력되었을 때 입력한 문자는 무엇입니까?

<2> 어느 암호문에서 ‘OTfs’는 1346을, ‘tZSF’는 2075를 나타냅니다. 비밀요원이 정찰한 결과 ‘SENT’명의 적군이 있다는 암호를 보내 왔습니다. 아군이 ‘NFZO’명일 때, 아군은 적군보다 몇 명 더 많습니까?

<3> (2, 3), (5, 3), (2, 5), (5, 1)은 LOVE를 나타내는 암호입니다. 다음을 해독하시오.

(1, 3), (5, 3), (3, 4), (5, 1), (1, 1)

<4> 다음과 같은 규칙으로 연산 ★을 정의하였습니다. (χ★y)★z=0일 때, χ★(y★z)의 값을 구하시오.

χ=1이면 χ★y=y y=1이면 χ★y=χ χ와 y가 모두 1이 아니면 χ★y=0 경향신문

중등영재교육원 대비 수학 특강]사이좋은 삼형제

어느 마을에 우애가 남다르기로 소문난 삼형제가 살고 있었습니다. 평소에도 조금만 좋은 것이 생기면 서로 나눠 갖던 삼형제가 살던 마을에 어느 해 극심한 가뭄으로 흉년이 들고 말았습니다. 동생들을 걱정하던 큰형이 하인을 불러 곳간에 있는 쌀 중에 세 가마니를 둘째네 집으로 보냈습니다. 큰형에게서 쌀을 받은 둘째는 자신보다는 막내가 더 어려울 것이라며 쌀을 가져온 하인에게 한 가마니만 두고 나머지 두 가마니는 막내네 집으로 가져가 달라고 부탁하였습니다. 이런 사정을 모르던 막내가 식구가 가장 많은 큰형을 걱정하는 마음에 두 가마니 중 한 가마니만을 받고 나머지 한 가마니는 큰형에게 돌려보냈습니다.

쌀 한 가마니를 가지고 돌아온 하인을 본 큰형은 어찌 도로 가지고 왔느냐며 또다시 세 가마니를 둘째네 집으로 보내었고, 둘째와 막내도 각각 이전과 똑같이 도로 돌려보냈습니다. 결국 이 하인은 무려 50번을 왕복하게 되었고, 기진맥진한 상태에서 큰형의 곳간을 살펴보니 쌀이 단 한 가마니만 남아있는 것을 알게 되어 비로소 쉴 수 있었습니다. 세 형제가 모여서 처음에 각자 가지고 있던 쌀의 양을 비교해보니 둘째는 막내보다 세 가미니, 큰형은 둘째보다 세 가마니를 더 가지고 있었음을 알 수 있었습니다. 그렇다면 처음에 큰형의 곳간에 있던 쌀의 양은 얼마일까요? 또 마지막에 둘째와 막내의 곳간에 남아있는 쌀은 각각 얼마씩일까요?

일정한 규칙이 반복되는 형태의 문제에서는 규칙의 핵심을 찾아 수학적으로 표현하면 간단히 해결할 수 있습니다. 위 문제에서 한 번 반복할 때마다 첫째네 쌀은 두 가마니가 줄고, 둘째와 셋째는 각각 쌀 한 가마니씩 늘어납니다. 따라서 n째번 시행 후 첫째, 둘째, 셋째가 가지고 있는 쌀의 양을 각각 A, B, C라 하면 (n+1)째번 시행 후 첫째, 둘째, 셋째가 가지고 있는 쌀의 양은 각각 (A-2), (B+1), (C+1)이 됩니다.

50번을 반복한 후 첫째에게 남은 쌀이 한 가마니이고 한 번에 두 가마니씩 줄어들었으므로 거꾸로 생각하면 첫째가 처음에 가지고 있던 쌀의 양은 1+50×2=101(가마니)임을 알 수 있습니다. 처음에 세 형제가 가지고 있던 쌀의 양이 각각 세 가마니 차이였으므로 처음에 둘째는 101-3=98(가마니), 막내는 98-3=95(가마니)를 가지고 있었습니다. 둘째와 셋째의 쌀의 양은 한 번에 각각 한 가마니씩 늘어나므로 50번을 반복한 후 마지막에 남은 쌀의 양은 각각 처음에 가지고 있던 것보다 50가마니씩 늘었습니다. 따라서 둘째는 98+50=148(가마니), 막내는 95+50=145(가마니)의 쌀을 가지고 있습니다.

<1> 1에서 100까지의 자연수가 적힌 카드 100장을 위에서부터 아래로 차례대로 쌓아놓고, 위에서부터 2장을 버리고 다음 한 장을 맨 밑으로 놓기를 반복합니다. 맨 마지막에 남는 2장의 카드에 쓰인 수의 합은 얼마입니까?

<2> 길이가 30㎝인 곧은 철사를 지면에 똑바로 세워 고정시킵니다. 그리고 위쪽 끝에서 1㎝ 되는 부분을 남쪽 방향으로 구부린 다음, 그 아래 1㎝ 되는 부분을 동쪽 방향으로 구부립니다. 다시 1㎝마다 북쪽, 서쪽 방향으로 구부립니다. 이와 같은 과정을 반복하여 더 이상 구부릴 수 없을 때까지 철사를 구부리면 철사의 맨 끝 부분은 어느 방향을 가리키겠습니까?

<3> 평면 위에 그려진 정삼각형의 각 변의 중점을 연결하여 생기는 가운데 삼각형을 제거합니다. 또 남아 있는 3개의 정삼각형의 중점을 연결하여 각 정삼각형의 가운데에 생기는 정삼각형을 제거합니다. 이러한 과정을 계속 반복하여 만들어지는 삼각형 모양의 체를 시에르핀스키 삼각형이라고 합니다. 이런 과정을 6단계까지 시행하는 동안 버려진 삼각형을 모두 더한 개수를 구하시오.

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중등영재교육원 대비 수학 특강]자리 바꾸기

원주는 친구들과 함께 매주 독서모임을 합니다. 이 독서모임에는 8명이 참가하는데, 아래 그림과 같이 두 개의 원 모양을 따라 앉는 특이한 자리 배치로 유명합니다.

이 모임에는 한 가지 규칙이 있습니다. 매주 모일 때마다 자리를 바꾸는데, 다음과 같이 한 번에 두 단계를 거쳐서 옮겨 앉습니다.

[1단계] 먼저 왼쪽 원을 따라 앉아 있는 5명의 학생들이 시계 방향으로 한 칸씩 자리를 옮겨 앉습니다. [2단계] 1단계와 같이 자리를 옮긴 상태에서 이번에는 오른쪽 원을 따라 앉아 있는 5명의 학생들이 시계 방향으로 한 칸씩 자리를 옮겨 앉습니다.

이와 같은 방법으로 자리를 옮겨 앉았더니 둘째 주에는 자리 배치가 그림과 같이 바뀌었습니다.

모든 학생들이 처음에 앉아있던 자리로 다시 돌아오는 것은 최소한 몇째 주에나 가능할까요?

배열의 조건이나 규칙이 복잡한 경우에는 문제를 간단한 경우부터 생각하여 확장시켜 나가는 방법으로 해결하는 것이 좋습니다. 위 문제에서 우선 원주의 자리 배치만 생각해 봅시다. 원주는 3번의 자리 이동 후에는 원래의 자기 자리로 돌아가게 됩니다. 또한 이동 규칙이 같은 송미와 주희도 3번을 옮기면 자기 자리로 돌아갑니다. 마찬가지로 각각의 학생에 대해서 따로따로 생각해 보면, 준영, 윤경, 태희는 5번을 옮겨야 원래의 자리로 돌아오게 되고, 현주와 달모도 5번을 옮기면 원래의 자리로 돌아가게 됩니다. 따라서 모든 학생이 원래의 자리로 돌아가려면 3과 5의 최소공배수인 15번만큼 자리를 이동하면 되므로 16째 주에는 첫째 주와 같은 자리 배치가 됩니다.

<1> 주어진 수를 한 번씩만 사용하여 숫자 크로스 퍼즐을 모두 채워야 합니다. A+B+C의 값을 구하시오. 단, 주어진 수의 숫자 순서를 바꾸어 넣을 수는 없습니다.

24, 73, 139, 289, 387, 456, 532, 575, 621, 668, 716, 754, 808, 956

<2> 다음 규칙에 따라 1에서 9까지의 숫자를 한 번씩만 써 넣으려고 합니다. A와 B에 들어갈 숫자를 각각 구하시오.

삼각형 안의 숫자는 이웃하는 오각형 안의 수들의 곱의 첫째 자리 숫자입니다.

② 사각형 안의 숫자는 이웃하는 도형들 안의 수들의 곱의 끝 자리 숫자입니다.

③ 오각형 안의 숫자는 이웃하는 도형들 안의 수들의 합의 첫째 자리 숫자입니다.

단, 두 자리 수에서 십의 자리는 첫째 자리를 의미하고, 일의 자리는 끝 자리를 의미합니다. 또한 한 자리 수에서는 일의 자리가 첫째 자리이면서 동시에 끝 자리입니다.

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중등영재교육원 대비 수학 특강]기름을 아껴라

빈 차로 움직이는 거리 줄이기
진섭이네 아버지께서는 트럭을 이용하여 화물을 운송하는 회사를 하고 계십니다. 이 회사에는 총 20대의 트럭이 있는데, 주로 철근이나 모래 등 건설 자재 수송을 주로 하고 있습니다.

어느 날 어두운 표정으로 집으로 돌아온 진섭이 아버지께서 한숨을 내쉬며 매일 같이 오르는 기름값 때문에 회사가 어려워지고 있다고 걱정을 하셨습니다. 옆에서 지켜보던 진섭이는 아버지를 도울 방법이 혹시 있지 않을까해 화물 운반 노선도를 살펴보았습니다.

이 노선도를 따라 20대 중 10대는 A에 있는 모래 채취장에서 B에 있는 공사 현장까지 60대분의 모래를 운반하고, 나머지 10대는 C에 있는 제철소에서 D에 있는 창고까지 40대분의 철근을 운반하고 있었습니다. 평소 수학을 좋아하던 진섭이가 노선도를 자세히 살펴보더니 지금의 연료비를 확 줄일 수 있는 방법이 있다며, 그러기 위해서는 빈 차로 움직이는 트럭이 되도록 적어야 한다고 했습니다. 과연 진섭이의 아이디어는 무엇일까요?

수학은 일상생활에서 발생할 수 있는 여러 가지의 경우 가운데 가장 효율적인 방법을 찾는데 있어 매우 효과적인 도구이며, 이러한 유형의 문제를 최적 계획이라고 합니다. 위 문제에서 10대의 트럭으로 각각 모래와 철근을 운반하면 한 대분의 모래와 철근을 운반하는데 각각 30㎞, 36㎞를 빈 차로 달리게 됩니다. 이 방법으로 각 수송량을 모두 운반하려면 30×50+36×30=2580㎞를 빈 차로 달려야 합니다. (마지막에는 돌아올 필요가 없다고 생각합니다.) 그런데 한 대가 길을 따라 A→B→C→D→A로 돌면서 모래와 철근을 순서대로 운반하면 빈 차로 24+9=33㎞를 달리게 됩니다. 트럭 20대로 A에서 B로 모래를, C에서 D로 철근을 운반하고 A로 오는 것을 두 번 반복하면 철근은 모두 운반하게 되므로 다시 A에서 B로 모래만 한 번 운반하면 됩니다. 이 때 빈 차로 달린 총 거리는 33×40=1320㎞이므로 종전보다 무려 1260㎞, 약 49%의 거리만큼의 이익을 볼 수 있습니다.

<1> 경화는 사과, 감, 포도 모양을 점토로 빚고, 석이는 그 점토를 색칠합니다. 경화가 세 모양을 만드는 데 걸리는 시간은 순서대로 각각 4분, 9분, 6분이고 석이가 색칠하는 데 걸리는 시간은 순서대로 각각 8분, 7분, 5분입니다. 세 가지 모양을 만들고 색칠하는 데 걸리는 최소 시간을 구하시오.

<2> 길이가 10m인 철근을 길이가 각각 3m, 4m인 두 가지 길이로 잘라 각각 100개씩을 만들어야 합니다. 길이가 10m인 철근은 적어도 몇 개가 필요합니까?

<3> 자동차 경주 대회가 사막에서 열립니다. 6일을 달려야 하고, 차에는 4일간의 연료를 실을 수가 있습니다. 한 차가 통과하기 위해 다른 차가 사막에서 연료를 공급하는데, 이 차들도 기름이 없어서 사막에서 멈추면 안 됩니다. 몇 대의 차가 며칠 동안의 연료를 써야 차 한 대가 사막을 통과할 수 있습니까?


<4> 한 번에 운반할 수 있는 짐이 대형 트럭은 30개, 소형 트럭은 20개이며, 각각의 운송 요금은 대형 트럭이 4만원, 소형 트럭이 3만원입니다. 50만원으로 대형 트럭과 소형 트럭을 사용하여 운반할 수 있는 가장 많은 짐의 개수를 구하시오.
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