중등영재교육원 대비 수학 특강] 도로 보수공사

어떤 지역에 20개의 도시가 있고 각 도시는 다른 모든 도시와 각각 한 개씩의 도로로 연결되어 있습니다. 그런데 이 도로들은 모두 개통된 지 오래되어 패이거나 손상된 부분이 더러 있어서 보수를 할 필요가 있었고, 경쟁 입찰을 통하여 A 건설회사가 보수 공사의 시공 회사로 선정되었습니다. 한편 치열한 경쟁을 뚫고 A 건설회사에 갓 입사한 신입사원 나토목 씨는 넘치는 의욕과 자신감에 이번 보수 공사에 자신도 참여할 수 있게 해 달라고 건의하였습니다. 하지만 평소 나토목 씨의 실력을 의심하던 상사가 그에게 다음과 같은 조건을 제시하였습니다.

“이번 공사는 공사 구간이 많은 만큼 한 군데씩 공사를 진행하다보면 기간이 너무 길어져 해당 도시의 주민들이 불편할 뿐만 아니라 비용도 높아질 수 있네. 마침 곧 휴가 기간이어서 도시 간 통행량이 줄어들게 된다네. 이때를 이용하여 되도록 동시에 여러 구간의 공사를 진행하려고 하는데, 아무리 그래도 다른 도시로 우회하여 모든 도시가 연결될 수는 있어야 하네. 최대 몇 개의 도로를 폐쇄할 수 있겠나? 자네가 이 문제를 해결해낸다면 공사 현장의 관리자로 참여시켜 주겠네.”

나토목 씨에게는 자신의 능력을 발휘할 수 있는 절호의 기회가 주어진 셈입니다. 과연 그는 뭐라고 대답해야 할까요?

실생활에서 복잡해 보이는 문제를 설계할 때 그래프가 자주 활용됩니다. 여기서의 그래프란 여러 개의 정점의 집합과 정점을 잇는 선으로 나타낸 그림을 의미하며, 그래프에서 선의 길이는 아무런 의미가 없고, 선이 교차되는 부분은 점으로 생각하지 않습니다. 쾨니히스베르크의 다리 문제로 유명한 한붓그리기 등이 그래프 이론에 해당합니다.

그래프에는 시작점과 끝점이 일치하는 그래프인 회로와, 두 점 사이에 반드시 하나의 선이 존재하는 그래프인 트리가 있습니다. 회로는 점의 개수와 선의 개수가 항상 같은 반면, 트리는 점의 개수가 선의 개수보다 항상 1개 더 많습니다.

위 문제에서 각 도시를 점, 도시와 도시를 연결하는 도로를 선으로 생각하면 20개의 점과 20x19 / 2=190 (개) 선을 갖는 그래프로 표현할 수 있습니다. 모든 마을을 연결하는 도로의 최소 개수는 모든 점을 최소한의 선으로 모두 연결하는 그래프인 트리 모양일 때의 선의 개수와 같습니다. 점이 20개인 트리에서 선의 개수는 19개이므로 (개)의 선을 잘라낼 수 있습니다. 따라서 한꺼번에 폐쇄할 수 있는 도로의 최대 개수는 171개입니다.

<1> 다음과 같이 3×3 격자 모양의 그물이 있습니다. 이 그물을 두 부분으로 나눌 때, 최대 몇 개의 단위 변을 자를 수 있는지 구하시오. 단, 단위 변은 점과 점 사이의 길이가 1인 선을 의미합니다.<2> 어떤 나라에 섬 8개가 있는데, 1에서 8까지의 번호가 붙어 있습니다. 두 섬 사이의 항로가 개설된 경우는 두 섬의 숫자를 배열해서 두 자리 수를 만들었을 때, 3으로 나누어떨어지는 경우뿐입니다. 섬 1에서 섬 7로 가는 방법의 가짓수를 구하시오. 다른 섬을 경유하여 가는 방법도 포함합니다.

<3> 어떤 나라에서 도시와 도시를 연결하는 도로는 모두 일방통행이고, 어느 한 도시에서 다른 도시로 이동할 때는 2개 이하의 도로를 통해서 항상 갈 수 있도록 설계되어 있습니다. 어느 날 도로 보수를 위해 한 곳의 도로가 폐쇄되었습니다. 이 경우 한 도시에서 다른 목적 도시까지 3개 이하의 도로를 통해서 항상 갈 수 있음을 보이시오.
경향신문

중등영재교육원 대비 수학 특강] 최대 기부액을 찾아라

가연이가 상금 전액을 우승자가 원하는 곳에 그 사람의 이름으로 기부할 수 있는 텔레비전 퀴즈 프로그램에 참가했습니다. 이 퀴즈 게임의 규칙은 다음과 같습니다. 예선을 거쳐 마지막으로 남은 두 사람이 결선에 진출합니다. 이 두 사람은 200만원을 합의하에 상금으로 나누어 기부할 수 있습니다. 각자는 자신의 몫을 가능한 한 크게 만들어야 하지만 상대방과 합의가 되어야 하는 제약이 있습니다.

게임이 시작되면 먼저 한 사람이 이 돈을 어떤 비율로 나누자고 제의합니다. 상대방이 이를 받아들여 합의에 이르면 게임은 바로 여기에서 끝나게 되고 두 사람은 합의한 비율대로 상금을 나누어 각자 기부하게 됩니다. 만일 상대방이 이 제안에 만족하지 않아 합의를 거부하면 게임은 2차 시기로 접어들게 되고, 이번에는 상대방이 어떤 비율로 나누자는 제안을 하게 됩니다. 만일 이 제안을 받아들이게 되면 2차 시기에서 게임은 끝나게 되고 상대방이 제안한 대로 상금을 나누게 됩니다.

만일 또다시 합의를 거부하면 게임은 3차 시기로 넘어가서 1차 시기에 제안했던 사람이 다시 어떤 비율로 나눌 것인지 제안하게 되는데, 게임은 무조건 3차 시기에 끝나게 돼 있어 상대방이 그 제안을 어떻게 생각하는가와 상관없이 무조건 제안대로 상금을 나누어야 합니다.

그런데 이 게임의 독특한 점은 시기가 넘어갈수록 나누어 가질 수 있는 상금의 총액에 제한이 생긴다는 것입니다. 1차 시기에는 200만원을 두 사람이 나누어 가질 수 있지만 2차 시기에서는 총액이 100만원으로 줄어들게 되고, 마지막 3차 시기까지 넘어가게 되면 상금의 총액은 50만원이 됩니다. 두 사람이 빨리 합의를 하지 못하고 시간을 지연시킨 데 따라 두 사람 모두 손해를 보도록 규칙을 정한 것입니다.

가연이가 드디어 예선을 통과해 최종 결선에 진출했습니다. 예선 점수가 더 높아 1차 시기 제안권을 먼저 획득한 가연이가 처음에 얼마를 갖겠다고 제안할 때, 원하는 곳에 기부할 수 있는 금액이 최대가 될 수 있을까요?

거꾸로 3차 시기부터 생각해 봅니다. 3차 시기에는 상대방이 가연이의 제안을 거부할 수 없으므로 당연히 가연이가 50만원 모두를 갖는다고 제안합니다. 2차 시기에서는 총 100만원을 나누게 되는데, 상대방은 최소한 3차 시기에서 가연이가 가져갈 수 있는 상금 이상을 가연이에게 제안해야 가연이가 제안을 받아들일 것이므로 똑같이 50만원씩 나누어 갖기로 제안을 해야 합니다. 1차 시기에서는 총 200만원을 나누게 되는데, 마찬가지로 제안이 거부되었을 경우 2차 시기에서 상대방이 가질 수 있는 최대 금액인 50만원 이상을 보장해야 합의가 가능하므로 가연이는 처음 1차 시기에 최대 150만원을 갖겠다고 제안할 수 있습니다.

물론 이러한 제안이 가능하려면 가연이뿐만 아니라 상대방 또한 이와 같은 상황을 논리적으로 완벽하게 이해하고 있을 때만 가능합니다. 한편으로는 상대방은 어차피 1차 시기의 가연이의 제안을 수용할 때와 2차 시기로 넘어갈 때의 예상 몫이 같으므로 가연이의 몫을 줄이기 위해서 1차 제안을 거부하는 심통을 부릴 수도 있지만 그렇게 되면 가연이 또한 심통을 부려 2차 제안을 무조건 거부해 상대방에게 한 푼도 돌아가지 않게 할 수 있으므로 결국 손해란 것을 명심해야 합니다.

<1> 칠판에 1이 10개, 2가 10개 적혀 있습니다. 병요와 지상이가 차례로 숫자를 두 개씩 지워 나갑니다. 지운 두 숫자가 같을 때는 2를, 다를 때는 1을 다시 칠판에 씁니다. 마지막에 1이 남으면 병요가, 2가 남으면 지상이가 이긴다고 할 때, 마지막에 항상 이기게 되는 사람은 누구입니까?

<2> 다음은 어떤 게임의 규칙입니다.

1. 한 사람은 수를 “하나, 둘, 셋 …” 큰소리로 셉니다.

2. 다른 사람은 일정량의 바둑돌을 가지고 수를 셀 때마다 3개 또는 4개의 바둑돌을 집습니다.

3. 3개를 집은 경우는 왼쪽, 4개를 집은 경우는 오른쪽에 놓습니다.

4. 바둑돌을 옮기는 사람의 바둑돌이 모두 없어지면 수세기를 중단합니다.

5. 수를 세는 사람은 옮긴 바둑돌의 개수를 말합니다.

미은이와 진희는 이 규칙에 따라 바둑돌 50개를 가지고 진희가 세는 수에 맞추어 미은이가 바둑돌을 옮기기로 했습니다. 진희가 열다섯을 세었을 때, 미은이는 바둑돌을 모두 옮겼습니다. 미은이가 왼쪽으로 옮긴 바둑돌의 개수와 오른쪽으로 옮긴 바둑돌의 개수를 각각 구하시오.

<3> 크기가 같은 정육면체를 이용해 다음과 같은 두 가지 직육면체를 만들었습니다. 이 두 가지 모양 중 하나를 이용해 경화와 주희가 차례대로 번갈아가며 같은 열 안에 있는 모든 정육면체를 직육면체의 면에 수직인 방향으로 철사로 뚫어 연결해 나가는데, 자기 차례가 되었을 때 더 이상 연결할 정육면체가 없는 사람이 진다고 합니다. 경화가 먼저 시작한다면 두 직육면체 중 어느 것을 선택해야 반드시 이길 수 있습니까? 또, 그 방법은 무엇입니까? 경향신문

 

 

중등영재교육원 대비 수학 특강] 빙산의 넓이

일각으로 빙산 크기 구하기
남극의 세종과학기지에서 연구원으로 근무하는 강동진씨는 어느 날 거대한 빙하의 일부가 육지에서 떨어져 나와 바다로 흘러가는 것을 발견하고는 그 변화 상태를 관찰하기 시작하였습니다. 이 빙산은 신기하게도 위에서 보면 한 변의 길이가 16km에 달하는 완벽한 정사각형 모양을 띠고 있는 사각기둥 모양이었습니다. 이 빙산에 추적 센서를 부착하여 이동 경로를 살펴보던 어느 날, 해류를 따라 위도 40° 부근까지 북상한 빙산을 발견하고는 항공사진 촬영을 하였더니 윗면의 모양이 팔각형으로 변해 있었습니다. 그 사이 빙산의 모양이 어떻게 변화하였는지 궁금해진 강동진씨는 추적 센서의 이동 경로를 바탕으로 빙산의 모양이 촬영되었을 법한 위성사진을 찾아보았으나 단 한 장만 입수하게 되었습니다. 처음 모양과 위성사진, 마지막 항공사진을 겹쳐 보았더니 아래 그림과 같이 중간 위성사진에서 관측된 모양은 원래 정사각형의 각 변의 중점을 잇는 정사각형 모양이었습니다.

마지막 항공사진에서 관측된 모양은 위성사진의 모양에서 일부가 잘려나간 모양이었는데, 처음의 정사각형의 각 변을 4등분하는 점을 이은 정사각형과 위성사진의 정사각형이 겹친 부분과 일치하였습니다. 강동진씨는 이 사진을 친구에게 메일로 보내주면서 현재 빙산 윗면의 넓이를 구하는 퀴즈를 내고는 만일 알아맞히면 남극의 멋진 풍경을 담은 사진을 더 보내주겠다고 하였습니다. 친구에게 보내는 메일에 주어진 힌트라고는 떨어져나간 삼각형 모양의 두 부분 ㉮와 ㉯의 넓이의 합이 16 ㎢라는 것뿐입니다. 이 팔각형 모양의 빙산 윗면의 넓이는 얼마일까요?

위 그림에서 정사각형 EFGH의 넓이는 ABCD의 넓이의 절반이므로 128 ㎢입니다.

또한 정사각형 IJKL의 넓이는 ABCD의 넓이에서 직각삼각형 JBK의 넓이의 4배를 뺀 것과 같으므로 16x16-4x(4x12x½)=160(㎢)입니다. 한편, 구하고자 하는 빙산 윗면의 넓이를 S라고 하면 정사각형 EFGH의 넓이는 S+4㉮, 정사각형 IJKL의 넓이는 S+4㉯라고 할 수 있습니다. 따라서 S+4㉮=128, S+4㉯=160의 두 방정식과 ㉮+㉯=16의 조건을 이용하면 빙산 윗면의 넓이가 112㎢임을 구할 수 있습니다.

<1> 다음과 같이 서로 다른 2개의 정사각형을 겹쳐 놓았습니다. 이 도형은 직선 AC, BD를 대칭축으로 하는 선대칭도형이고, ㉮, ㉯의 넓이가 각각 16, 18일 때, 정사각형 ABCD의 넓이를 구하시오.

<2> 정사각형 ABCD의 내부에 한 변의 길이를 각각 지름, 반지름으로 하는 원의 일부를 그려 넣었습니다. 색칠한 부분의 넓이를 구하시오.

<3> 다음 직사각형 ABCD에서 영역 ①, ②, ③의 넓이의 합과, 영역 ④의 넓이가 서로 같음을 보이시오.

경향신문

중등영재교육원 대비 수학 특강] 아르키메데스

인류 역사상 가장 위대한 수학자 중 한 명으로 고대 그리스의 학자 아르키메데스를 꼽습니다. 목욕탕에서 진짜와 가짜 왕관을 구분할 수 있는 방법을 발견하고는 기쁨에 겨워 “유레카”를 외치며 발가벗은 채로 뛰어나왔다는 일화로 유명한 그는, 여러 가지 위대한 수학적 발견 외에도 수많은 발명을 하였습니다. 제 2차 포에니 전쟁 당시 로마 함대가 그의 조국인 시라쿠스를 공격하였을 때, 그가 발명해 낸 거대한 투석기와 갈고리로 전함들을 침몰시키고, 거울을 이용하여 바다 위의 함선들을 불태워버리기도 하였습니다. 이에 로마군은 정면 공격을 포기하고 축제일 밤에 기습을 하여 결국 시라쿠스를 함락시켰습니다.

로마군이 쳐들어 올 당시, 아르키메데스는 모래 위에 도형을 그리며 무언가를 골똘히 연구하고 있었는데 한 병사가 그의 그림을 밟고 지나가자 “내 도형을 밟지 마라!”하며 크게 소리쳤다고 합니다. 그가 누구인지 알 리가 없는 병사는 화가 나서 그를 단칼에 베어 죽였는데, 뒤늦게 이 사실을 안 로마군의 지휘자 마르켈루스는 그의 죽음을 안타까워하며 평소 그가 제자들에게 부탁했던 대로 다음과 같은 모양의 그림을 그의 묘비에 새겨 넣어 그를 추모했다고 합니다. 이 그림은 원뿔, 원기둥, 구의 부피 사이의 비례 관계를 나타내어 주는데, 아르키메데스 스스로 이 발견을 얼마나 높이 평가했는지를 알 수 있습니다. 묘비에 새겨진 구, 원뿔, 원기둥의 부피 사이에는 어떤 관계가 있을까요?

위 문제는 워낙 유명하여 영재교육원이나 외고 입시에도 등장한 적이 있어 관심이 있는 학생이라면 한 번쯤은 보았을 것입니다. 그림에서 구의 반지름을 이라 하면 이 구의 부피는 ¾πR3으로 나타낼 수 있습니다.

원기둥과 원뿔의 반지름이 구의 반지름과 같고, 높이는 구의 지름에 해당하므로 원뿔의 부피는 πR2 x 2R x ⅓=⅔πR3 으로 구의 부피의 절반입니다.

또한 원기둥의 부피는 πR2 x 2R=2πR3 으로 원뿔의 부피의 3배입니다. 즉, 세 입체도형의 부피의 비는 (원뿔) : (구) : (원기둥) = 1 : 2 : 3 으로 놀랍게도 정수비임을 알 수 있습니다.

<1> 다음과 같은 직육면체 모양의 물통에 물이 ¾ 만큼 들어 있습니다. 이 물통에 금으로 된 왕관을 물에 완전히 잠기도록 넣었더니 들어 있던 물의 10%가 넘쳤습니다. 이 왕관의 부피를 구하시오.

<2> 아래와 같은 모양의 그릇에 매분 일정한 양의 물을 5분간 부었더니 채워진 물의 높이가 3cm가 되었습니다. 물을 가득 채우기 위해서는 몇 분간 더 부어야 하는지 구하시오.

<3> 사면체 ABCD의 네 모서리 BC, CD, DB, AD의 중점을 각각 P, Q, R, S라고 할 때, 두 사면체 APQR과 SQDR의 부피의 비를 구하시오.

경향신문

중등영재교육원 대비 수학 특강] 진짜 전문가는 누구?

근엄하고 당당한 자세로 항상 광화문 앞을 지키고 있는 이순신 장군 동상은 비단 서울 시민뿐만 아니라 모두에게 믿음직한 상징물입니다. 하지만 가까이에서 관찰해 보면 주변을 통행하는 수많은 차량들의 매연으로 인해 여기저기 오염된 부분이 많습니다.

시청에서 관련 업무를 책임지고 계시는 진섭이 아버지께서 이순신 동상의 정기적인 청소와 관리를 위해 보수 전문가를 수소문하여 최종적으로 A, B, C, D 네 사람과 각각 면담을 하였습니다. 네 사람이 서로 다음과 같이 말하였는데, 그들이 한 말이 모두 사실은 아니어서 참말의 수와 거짓말의 수가 네 사람이 서로 같다고 합니다.

누구에게 관리를 맡겨야 할지, 이 중에 과연 전문가가 있기는 한지 고민하고 있는 아버지 곁에서 유심히 살펴보던 진섭이가 넷 중에 적절한 전문가가 분명히 있다고 아버지께 말씀드렸습니다. 과연 가장 적절한 전문가는 누구일까요?

A : 1. 나는 장비를 다 갖추고 있지 않다.

2. D가 적임자이다.

3. C가 이런 일을 해 보았다.

B : 1. A의 첫째 번 말은 거짓이다.

2. D는 이런 일을 해 본 적이 없다.

3. A가 적임자이다.

C : 1. 나는 이 일을 해 본 적이 있다.

2. A는 장비를 다 갖추고 있지 않다.

3. B가 적임자이다.

D : 1. 나는 이 일을 해 본 적이 없다.

2. C가 적임자이다.

3. A는 장비를 다 갖추고 있지 않다.

참·거짓 문제를 해결할 때는 주어진 조건을 바탕으로 가장 적절한 가정을 세운 후, 논리적 타당성 여부를 검토하여야 합니다. 위 문제에서 A의 1, 3과 C의 1, 2는 같습니다. 또한 참말과 거짓말의 수가 같으므로 A의 2와 C의 3은 모두 참이거나 모두 거짓이어야 하는데, 두 명 모두 적임자일 수는 없으므로 모두 거짓입니다. A의 1이 참이라고 가정하면 B의 1, 3은 거짓이고 C의 2, D의 3은 참입니다. 즉 B의 말 중 적어도 두 개는 거짓이고 A는 적어도 한 번은 참말을 한 셈인데, 네 명이 말한 참 ? 거짓의 수가 같으므로 참말 한 번, 거짓말 두 번이어야 합니다. 따라서 B의 2는 참말이고 D의 1은 거짓이어야 하는데, 이는 조건에 맞지 않으므로 A의 1이 참이라는 가정은 틀렸습니다.

따라서 A의 1은 거짓이므로 B의 1은 참, C의 2는 거짓, D의 3은 거짓입니다. 결국 각자 참말과 거짓말을 적어도 한 번씩은 했다고 볼 수 있습니다. 만일 참말을 두 번, 거짓말을 한 번씩 하였다면 C의 1, 3과 D의 1, 2는 모두 참이어야 하는데, C의 3과 D의 2가 동시에 참일 수는 없으므로 각자 참말을 한 번, 거짓말을 두 번 하였음을 알 수 있습니다. B의 1이 참이므로 2, 3은 거짓입니다. 또한 B의 2가 거짓이므로 D의 1도 거짓입니다. 따라서 D의 2는 참입니다. D의 2가 참일 때 A, B, C의 말은 논리적으로 문제가 없으므로 적임자는 C입니다.

<1> A, B, C, D, E 다섯 명의 여학생이 있습니다. 이들의 아버지는 과수원에서 귤, 사과, 배, 포도, 바나나 중 한 가지 과일만을 재배합니다. 아래 문장을 읽고, 바나나를 재배하는 아버지의 딸이 가장 좋아하는 과일을 쓰시오.

(가) 누구 한 사람도 자기 아버지가 재배하는 과일을 가장 좋아하지 않습니다.

(나) 귤을 재배하는 아버지의 딸이 가장 좋아하는 과일은 E의 아버지가 재배하는 과일입니다.

(다) E는 사과, A는 배, B는 포도를 가장 좋아합니다.

(라) D의 아버지는 배를 재배합니다.

(마) 학생들은 서로 다른 과일을 가장 좋아합니다.

(바) 사과를 재배하는 아버지의 딸인 C는 바나나를 가장 좋아합니다.

<2> 승훈, 준규, 성봉, 지훈 네 사람이 11개의 사과를 나누어 먹었습니다. 각자 적어도 한 개를 먹었고, 모두가 그 사실을 알고 있습니다. 그러나 서로가 정확히 몇 개를 먹었는지는 모릅니다.

승훈 : 준규야, 너 나보다 많이 먹었니?

준규 : 모르겠는데. 성봉아, 너 나보다 많이 먹었니?

성봉 : 몰라.


이 세 사람의 대화를 들은 지훈이는 각자 몇 개의 사과를 먹었는지 정확히 알 수 있었습니다. 지훈이는 사과를 몇 개 먹었습니까?

경향신문

중등영재교육원 대비 수학 특강] 고수를 이겨라

컴퓨터를 이용하여 얼마나 논리적으로 프로그램을 잘 설계했는지를 알아보는 대표적인 것 중의 하나가 바로 서양 장기인 체스를 두는 인공 지능 컴퓨터입니다. 1989년 사상 최초로 이루어진 체스 컴퓨터와 세계적인 체스마스터인 러시아 선수와의 대결에서는 러시아 선수가 쉽게 승리했으나, 이후 초당 1억개 이상의 수를 생각해내는 슈퍼컴퓨터를 이용한 향상된 프로그램이 개발되면서 인간과 컴퓨터와의 승패 격차가 줄어들더니 현재에 와서는 컴퓨터가 인간을 이기는 경우가 더 많아지고 있습니다.

체스와 비슷한 장기와 바둑 또한 사람을 상대로 하는 인공 지능 프로그램들이 개발되어 있습니다. 하지만 체스나 장기와는 달리 바둑은 그 경우의 수를 헤아리기가 거의 불가능할 뿐만 아니라 게임 방식 자체에도 차이가 있습니다. 그래서 아직은 컴퓨터 수준이 인간의 수준에 훨씬 미치지 못하고 있지만 체스가 그랬던 것처럼 바둑도 언젠가는 세계를 제패하는 인공 지능 컴퓨터가 등장할 것이라고 생각하는 사람들도 있습니다.

이러한 믿음을 가지고 바둑 프로그램 개발에 몰두하던 어떤 기업에서 드디어 개발을 완료하여 회사 내부 직원들을 대상으로 테스트를 했습니다. 직원들을 모두 물리치던 바둑 컴퓨터가 드디어 회사의 최고수와 맞붙게 되었습니다. 지금까지의 테스트 결과로 볼 때 최고수와 컴퓨터가 서로 상대를 이길 확률이 정확히 반반이라고 합니다. 시합 방식은 각각 10점의 기본 점수를 가지고 시작하여, 한 판을 이기면 1점을 얻고, 지면 2점을 잃는 방식으로 계속하여 누적 점수가 0점 또는 1점이 되는 쪽이 시합에서 지는 것입니다. 컴퓨터가 8째 판에 시합에서 지게 될 경우의 수를 구해 보세요.

이 문제를 해결할 때 주의해야 할 점은 8째 번에 처음으로 컴퓨터의 누적 점수가 0점 또는 1점이 되어야 하고, 그 이전까지는 양쪽 모두 누적 점수가 2점 이상이어야 한다는 것입니다. 그렇지 않으면 중간에 시합이 끝나게 됩니다. 컴퓨터가 이긴 판이 x번, 진 판이 y번이라면 x+y=8이고 10+x-2y가 0 또는 1이 되어야 합니다. 따라서 7째 판까지 2번 이기고 5번 지면 되는데, 만일 7째 판에 이겨서 누적 점수가 2점이 되는 경우는 6째 판을 둔 후의 결과에서 누적 점수가 1점이었단 뜻이므로 게임이 끝났어야 합니다. 따라서 7째 판에는 반드시 져야 하므로 6째 판까지 2번 이기고 4번 져야 합니다. 6판 중에서 두 판을 고르는 경우의 수는 6×5÷2=15이므로 8째 판에 컴퓨터가 시합에서 지게 되는 경우는 모두 15가지입니다.

<1> 달모와 원주 두 사람이 씨름 경기의 결승전에서 맞붙게 되었습니다. 다음과 같은 규칙에 따라 우승자를 가린다면 달모 또는 원주가 우승자가 될 수 있는 경우는 모두 몇 가지인지 구하시오.

[규칙 1] 전체 경기 중 세 경기를 먼저 이긴 사람이 우승
[규칙 2] 시작과 동시에 연속 두 경기를 먼저 이겨도 우승
[규칙 3] 무승부는 없다.

<2> 그림과 같이 16장의 서로 다른 우표가 이어져 있습니다. 여기에서 3개로 연결된 우표를 선택하는 방법을 모두 찾으려고 합니다. 단 변과 변이 정확하게 일치하도록 연결되어야 하며, 어느 한 곳이라도 변의 일부만 연결되어 있거나 꼭짓점에서만 연결된 모양은 제외합니다.

<3> 한 변의 길이가 1㎝인 정오각형이 있습니다. 한 개의 주사위를 던져서 나온 눈의 수만큼 화살표 방향으로 꼭짓점 A를 출발하여 정오각형의 둘레를 움직이는 점을 P라 할 때, 주사위를 두 번 던져서 점 P가 꼭짓점 C 또는 D에 오는 경우의 수를 구하시오. 단, 둘째 번 던질 때는 첫째 번 던져서 점 P가 도달한 꼭짓점을 출발점으로 합니다.

경향신문

 

중등영재교육원 대비 수학 특강] 부족을 위해

원주민 보호 구역 안에서 관광객들에게 기념품을 판매하고 전통 공연을 보여주면서 생계를 이어가고 있는 무라 부족이 있습니다. 지금은 한 변의 길이가 5km인 정삼각형 모양의 보호 구역에 갇혀 살지만, 한때는 드넓은 초원을 누비며 사냥을 하던 긍지 있는 부족이기에 늘 보호 구역을 넓혀 달라고 주장하고 있습니다.

어느 날 무라 부족의 부족장이 정부 대표에게 면담을 요청하였습니다. 정부 대표는 뻔한 내용이라 생각하여 돌려보내려 하였으나, 부족장이 구체적인 요구 조건을 제시하려고 한다고 하자 일단 들어보기로 하였습니다. 부족장은 여느 때와 마찬가지로 보호 구역 확장을 요구하며 구체적으로 다음과 같은 제안을 하였습니다. “우리 부족에게 2시간만 주시오. 세 명의 부족민이 각자 마을을 떠나 세 방향으로 걸어가서 2시간 만에 도착한 세 지점을 꼭짓점으로 하는 새로운 삼각형 모양의 땅을 주시오.” 이 말을 들은 정부 대표는 그래봐야 얼마나 넓어질까라는 생각에 “좋소. 단, 세 명은 우리가 고를 것이고 걷는 방향도 현재 마을 경계의 연장선 방향으로 제한할 것이오.”라는 조건을 달아 수용하였습니다.

마침내 새로운 경계를 정하는 날이 되었습니다. 모든 부족민이 모인 가운데 정부 대표가 마음대로 세 청년을 선발하였습니다. 그런데 하필이면 한 청년은 마을에서 게으르기로 유명한 사람이었고, 다른 한 청년은 매우 병약한 사람이었습니다. 다행이 나머지 한 청년은 걸음이 빠른 청년이었습니다. 시간이 되어 마을의 세 꼭짓점 A, B, C 지점에서 각각 반직선 BA, CB, AC 방향으로 세 청년이 출발하였습니다. 게으른 청년은 귀찮은 듯 시속 5km로 터벅터벅 걸었고, 병약한 청년은 죽을힘을 다했지만 시속 7.5km가 한계였습니다. 걸음이 빠른 청년은 부족의 미래를 생각하며 시속 10km의 빠른 걸음으로 걸었습니다. 마침내 두 시간이 지났을 때, 세 사람이 도착한 지점을 경계로 새로운 보호 구역을 계산한 부하 직원이 원래의 보호 구역보다 수십 배나 넓어졌다고 보고하자 정부 대표는 깜짝 놀라고 말았습니다. 정확히 몇 배나 넓어졌을까요?

비례를 이용하여 도형의 넓이를 구하는 문제 중 특히 삼각형은 높이만 일정하다면 밑변의 길이의 비에 따라 다양한 모양과 간단한 조건 제시만으로 문제를 구성할 수 있기 때문에 자주 출제됩니다. 위 문제에서 A, B, C 지점에서 출발한 세 청년이 도착한 지점을 각각 D, E, F라고 하면, 선분 AD, BE, CF의 길이는 각각 원래 정삼각형의 한 변의 길이의 2배, 3배, 4배입니다.


삼각형 DAC, FCB는 삼각형 ABC와 높이가 같으므로 넓이의 비는 밑변의 비와 같습니다. 따라서 삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면 두 삼각형의 넓이는 각각 2S, 4S입니다. 또한 삼각형 DBC와 DEB, 삼각형 FAB와 FDA, 삼각형 FCB와 FBE는 각각 높이가 같으므로 밑변의 비를 이용하면 그림과 같이 넓이를 구할 수 있습니다.
따라서 새로 만들어진 영역의 넓이는 원래 보호 구역의 넓이의 36배나 됩니다.

<1> 삼각형 ABC에서 점 D는 변 BC의 중점이고, 점 E는 선분 AD의 중점, 점 F는 선분 BE의 중점, 점 G는 선분 FC의 중점입니다. 삼각형 EFG의 넓이와 삼각형 ABC의 넓이의 비를 구하시오.

<2> 넓이가 72cm2인 삼각형 ABC가 있습니다. 선분 AE, BF의 길이는 각각 선분 AB, BC의 길이의 ⅓이고, 점 D는 선분 AC의 중점일 때, 삼각형 EFD의 넓이를 구하시오.

<3> 다음 정육각형의 넓이를 1이라고 할 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하시오. 단, 변 AB 위에 있는 점과 점 사이의 거리는 같습니다.

경향신문