중등영재교육원 대비 수학 특강] 최대 기부액을 찾아라

가연이가 상금 전액을 우승자가 원하는 곳에 그 사람의 이름으로 기부할 수 있는 텔레비전 퀴즈 프로그램에 참가했습니다. 이 퀴즈 게임의 규칙은 다음과 같습니다. 예선을 거쳐 마지막으로 남은 두 사람이 결선에 진출합니다. 이 두 사람은 200만원을 합의하에 상금으로 나누어 기부할 수 있습니다. 각자는 자신의 몫을 가능한 한 크게 만들어야 하지만 상대방과 합의가 되어야 하는 제약이 있습니다.

게임이 시작되면 먼저 한 사람이 이 돈을 어떤 비율로 나누자고 제의합니다. 상대방이 이를 받아들여 합의에 이르면 게임은 바로 여기에서 끝나게 되고 두 사람은 합의한 비율대로 상금을 나누어 각자 기부하게 됩니다. 만일 상대방이 이 제안에 만족하지 않아 합의를 거부하면 게임은 2차 시기로 접어들게 되고, 이번에는 상대방이 어떤 비율로 나누자는 제안을 하게 됩니다. 만일 이 제안을 받아들이게 되면 2차 시기에서 게임은 끝나게 되고 상대방이 제안한 대로 상금을 나누게 됩니다.

만일 또다시 합의를 거부하면 게임은 3차 시기로 넘어가서 1차 시기에 제안했던 사람이 다시 어떤 비율로 나눌 것인지 제안하게 되는데, 게임은 무조건 3차 시기에 끝나게 돼 있어 상대방이 그 제안을 어떻게 생각하는가와 상관없이 무조건 제안대로 상금을 나누어야 합니다.

그런데 이 게임의 독특한 점은 시기가 넘어갈수록 나누어 가질 수 있는 상금의 총액에 제한이 생긴다는 것입니다. 1차 시기에는 200만원을 두 사람이 나누어 가질 수 있지만 2차 시기에서는 총액이 100만원으로 줄어들게 되고, 마지막 3차 시기까지 넘어가게 되면 상금의 총액은 50만원이 됩니다. 두 사람이 빨리 합의를 하지 못하고 시간을 지연시킨 데 따라 두 사람 모두 손해를 보도록 규칙을 정한 것입니다.

가연이가 드디어 예선을 통과해 최종 결선에 진출했습니다. 예선 점수가 더 높아 1차 시기 제안권을 먼저 획득한 가연이가 처음에 얼마를 갖겠다고 제안할 때, 원하는 곳에 기부할 수 있는 금액이 최대가 될 수 있을까요?

거꾸로 3차 시기부터 생각해 봅니다. 3차 시기에는 상대방이 가연이의 제안을 거부할 수 없으므로 당연히 가연이가 50만원 모두를 갖는다고 제안합니다. 2차 시기에서는 총 100만원을 나누게 되는데, 상대방은 최소한 3차 시기에서 가연이가 가져갈 수 있는 상금 이상을 가연이에게 제안해야 가연이가 제안을 받아들일 것이므로 똑같이 50만원씩 나누어 갖기로 제안을 해야 합니다. 1차 시기에서는 총 200만원을 나누게 되는데, 마찬가지로 제안이 거부되었을 경우 2차 시기에서 상대방이 가질 수 있는 최대 금액인 50만원 이상을 보장해야 합의가 가능하므로 가연이는 처음 1차 시기에 최대 150만원을 갖겠다고 제안할 수 있습니다.

물론 이러한 제안이 가능하려면 가연이뿐만 아니라 상대방 또한 이와 같은 상황을 논리적으로 완벽하게 이해하고 있을 때만 가능합니다. 한편으로는 상대방은 어차피 1차 시기의 가연이의 제안을 수용할 때와 2차 시기로 넘어갈 때의 예상 몫이 같으므로 가연이의 몫을 줄이기 위해서 1차 제안을 거부하는 심통을 부릴 수도 있지만 그렇게 되면 가연이 또한 심통을 부려 2차 제안을 무조건 거부해 상대방에게 한 푼도 돌아가지 않게 할 수 있으므로 결국 손해란 것을 명심해야 합니다.

<1> 칠판에 1이 10개, 2가 10개 적혀 있습니다. 병요와 지상이가 차례로 숫자를 두 개씩 지워 나갑니다. 지운 두 숫자가 같을 때는 2를, 다를 때는 1을 다시 칠판에 씁니다. 마지막에 1이 남으면 병요가, 2가 남으면 지상이가 이긴다고 할 때, 마지막에 항상 이기게 되는 사람은 누구입니까?

<2> 다음은 어떤 게임의 규칙입니다.

1. 한 사람은 수를 “하나, 둘, 셋 …” 큰소리로 셉니다.

2. 다른 사람은 일정량의 바둑돌을 가지고 수를 셀 때마다 3개 또는 4개의 바둑돌을 집습니다.

3. 3개를 집은 경우는 왼쪽, 4개를 집은 경우는 오른쪽에 놓습니다.

4. 바둑돌을 옮기는 사람의 바둑돌이 모두 없어지면 수세기를 중단합니다.

5. 수를 세는 사람은 옮긴 바둑돌의 개수를 말합니다.

미은이와 진희는 이 규칙에 따라 바둑돌 50개를 가지고 진희가 세는 수에 맞추어 미은이가 바둑돌을 옮기기로 했습니다. 진희가 열다섯을 세었을 때, 미은이는 바둑돌을 모두 옮겼습니다. 미은이가 왼쪽으로 옮긴 바둑돌의 개수와 오른쪽으로 옮긴 바둑돌의 개수를 각각 구하시오.

<3> 크기가 같은 정육면체를 이용해 다음과 같은 두 가지 직육면체를 만들었습니다. 이 두 가지 모양 중 하나를 이용해 경화와 주희가 차례대로 번갈아가며 같은 열 안에 있는 모든 정육면체를 직육면체의 면에 수직인 방향으로 철사로 뚫어 연결해 나가는데, 자기 차례가 되었을 때 더 이상 연결할 정육면체가 없는 사람이 진다고 합니다. 경화가 먼저 시작한다면 두 직육면체 중 어느 것을 선택해야 반드시 이길 수 있습니까? 또, 그 방법은 무엇입니까? 경향신문