수학기호를 이용하여 목표수를 만드는 소위 ‘포 포즈’문제는 수학적사고력 중 직관력과 과제집착력이 많이 요구되기 때문에 영재교육원 시험에서 자주 출제된다. 이번 호 역시 지난 주 괄호 넣기에 이어 ‘포 포즈’류의 기출문제 중에 몇 가지 유형을 더 살펴보려고 한다.
1. 포 포즈
[2007 교육청]
ꋮ 5개의 3과 ＋, －, ×, ÷, ( )를 이용하여 0부터 10까지의 수를 만들어 보시오.
우리는 이미 지난 호에서 ‘포 포즈’ 문제를 풀어보았기 때문에 더 이상 어려울 것은 없을 것이다. 더더욱 위 문제는 만들고자 하는 수가 적으므로 전에 ‘포 포즈’를 해결했던 방법을 좀더 간편하게 적용해볼 수 있다.
① 2개의 3으로 만들 수 있는 수를 구하면 0, 1, 6, 9, 33이다.
3＋3＝6, 3－3＝0, 3×3＝9, 3÷3＝1
② 3개의 3으로 만들 수 있는 수는 ①에서 구한 다섯 개의 수에 숫자 3을 더하고, 빼고, 곱하고 나누면 구할 수 있는데 꽤 많을 것이다. 그렇지만 위의 문제에서는 구하는 수가 0부터 10까지의 수이므로 3개의 3으로 만들 수 있는 수 중에서 작은 수만을 찾으면 된다. 0 (0×3), 2 (3-1), 3 (0+3), 4 (1+3), 6 (9-3), 9 (6+3), 11 (33÷3) 정도를 간단히 구할 수 있을 것이다.
0 ＝ (3－ 3) × 3
2 ＝ 3 － 3 ÷ 3
3 ＝ (3 － 3) ＋ 3
4 ＝ 3 ÷ 3 ＋ 3
6 ＝ 3 × 3 － 3
9 ＝ (3 ＋ 3) ＋ 3
11 ＝ 33 ÷ 3
③ 이제 다섯 개의 3으로 0에서 10까지의 수를 만들어 보면 ①에서 구한 수(0, 1, 6, 9, 33)와 ②에서 구한 수(0, 2, 3, 4, 6, 9, 11)를 한 번씩 이용하여 다음과 같이 만들 수 있다.
0 ＝ 0 ＋ 0 → (3－3) ＋ (3－3) × 3
1 ＝ 1 ＋ 0 → (3 ÷3) ＋ (3－3) × 3
2 ＝ 0 ＋ 2 → (3－3) ＋ 3 － 3 ÷ 3
3 ＝ 0 ＋ 3 → (3＋3) ＋ 3 － 3 ＋ 3
4 ＝ 1 ＋ 3 → (3 ÷3) ＋ 3 － 3 ＋ 3
5 ＝ 9 － 4 → 3 × 3 － (3 ÷ 3 ＋ 3)
6 ＝ 0 ＋ 6 → (3－3) ＋ 3 × 3 － 3
7 ＝ 1 ＋ 6 → (3 ÷3) ＋ 3 × 3 － 3
8 ＝ 6 ＋ 2 → 3 ＋ 3 ＋ 3 － 3 ÷ 3
9 ＝ 9 ＋ 0 → 3 × 3 ＋ (3－3) × 3
10 ＝ 6 ＋ 4 → 3 ＋ 3 ＋ 3 ÷ 3 ＋ 3
다음 문제 역시 같은 요령으로 풀면 되는데, 이 문제는 독자여러분의 몫으로 남겨 놓겠다.
[2004 교육청]
ꋮ 숫자 6을 4번 사용하고 ＋, －, ×, ÷, ( )를 사용하여 계산 결과가 1에서 8까지의 수가 나오도록 각각 식을 완성하여 보시오.
6 6 6 6 ＝ 1
6 6 6 6 ＝ 2
6 6 6 6 ＝ 3
6 6 6 6 ＝ 4
6 6 6 6 ＝ 5
6 6 6 6 ＝ 6
6 6 6 6 ＝ 7
6 6 6 6 ＝ 8
2. 목표 수 만들기
‘포 포즈’는 여러 가지 수를 만드는 것임에 비해 목표 수 만들기는 어떤 특정한 수를 여러 가지 방법으로 만드는 것이다. 그동안 영재교육원 시험에서 이런 부류의 문제가 가장 많이 출제되었고, 사실 학생들이 가장 해결하기 어려워했던 문제들이기도 하다.
[2007 교육청]
ꋮ 다음은 0에서 9까지의 수를 한 번씩 이용하고 덧셈을 이용하여 여러 가지 수를 만든 것입니다.
0＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45
0＋1＋52＋3＋4＋6＋7＋8＋9＝90
같은 방법으로 0에서 9까지의 수를 한 번씩 이용하여 합이 100이 되도록 만들어 보시오.
과연 0에서 9까지의 수와 덧셈 기호만을 이용하여 100을 만들 수 있을까? 사실 결론을 먼저 이야기하면 주어진 조건으로는 100을 만들 수 없다.
영재교육원 문제는 공개되지 않기 때문에 시험을 친 학생들의 기억에 의존해 문제를 복원한다. 그렇기 때문에 복원한 문제가 완전하지 않은 경우가 더러 생긴다. 이 문제는 분명 잘못 복원된 것이고 틀린 문제이다. 하지만 우리는 복원한 문제를 통해 영재교육원의 문제 출제 경향과 그러한 문제들의 해결 방법과 원리들을 찾아보려는 것이 목적이기 때문에 문제가 틀렸다고 해서 풀지 않을 이유는 없다. 오히려 잘못된 내용을 밝혀내는 것만으로도 더 좋은 학습기회가 될 수도 있다.
그렇다면 왜 0에서 9까지의 수와 덧셈 기호만을 이용하여 100을 만들 수 없는지 이유를 알아보자.
0에서 9까지의 수를 더하면 다음과 같이 45가 된다.
0＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45
따라서 어떤 두 수를 붙여 두 자리 수를 만들어 합이 100이 되게 만들어야 한다. (세 자리 수를 만들면 당연히 100보다 큰 수가 되므로 고려할 필요가 없다)
그렇다면 어떤 두 자리 수를 만들어야 합이 100이 되게 할 수 있을까?
0에서 9까지의 합이 45이므로 두 수를 붙여 두 자리 수를 만들었을 때 55만큼 더 커지게 만들면 된다. 즉, 만든 두 자리 수에서 그 수의 각 자리 숫자의 합을 뺀 결과가 55가 되면 되는 것이다.
(예를 들어 6과 8을 붙여 68을 만들면 68－6－8＝54만큼 커진다. 즉, 0＋1＋2＋3＋4＋5＋7＋9＋68＝45＋68－6－8＝99)
꼭 두 자리 수가 하나일 필요는 없다. 1과 3을 붙여 13을 만들고, 2와 5를 붙여 52를 만들면
0＋4＋6+7＋8＋9＋13＋52＝45＋13＋52－1－3－2－5＝99가 된다.
그러면 여러 가지 방법으로 두 수를 붙여 두 자리 수를 만들어 합이 100이 되게 만들어 보자. 하지만 이미 말한 대로 어떤 방법을 쓰더라도 100을 만들 수는 없다.
그것은 두 수를 붙여 두 자리 수를 만들면 항상 9의 배수만큼 커지기 때문이다.
예를 들어 2와 6을 붙여 26을 만들면 26－6－2＝18(=9×2)만큼 커지고, 5와 7을 붙여 57을 만들면 57－5－7＝45(=9×5)만큼 커진다. 다른 어떤 경우라도 항상 9의 배수만큼 커진다. (두 수를 a, b라 하면 두 수를 붙여 만든 수 ab 가 나타내는 값은 a가 십의 자리 숫자이므로 10×a＋b 이다. 따라서 증가된 부분은 10×a＋b－a－b = 9×a 이므로 항상 9의 배수만큼 커진다)
따라서 55만큼 더 커질 수가 없기 때문에 100을 만들 수 없는 것이다.
수학기호를 이용하여 목표수를 만드는 소위 ‘포 포즈’문제는 수학적사고력 중 직관력과 과제집착력이 많이 요구되기 때문에 영재교육원 시험에서 자주 출제된다. 이번 호 역시 지난 주 괄호 넣기에 이어 ‘포 포즈’류의 기출문제 중에 몇 가지 유형을 더 살펴보려고 한다.
1. 포 포즈
[2007 교육청]
ꋮ 5개의 3과 ＋, －, ×, ÷, ( )를 이용하여 0부터 10까지의 수를 만들어 보시오.
우리는 이미 지난 호에서 ‘포 포즈’ 문제를 풀어보았기 때문에 더 이상 어려울 것은 없을 것이다. 더더욱 위 문제는 만들고자 하는 수가 적으므로 전에 ‘포 포즈’를 해결했던 방법을 좀더 간편하게 적용해볼 수 있다.
① 2개의 3으로 만들 수 있는 수를 구하면 0, 1, 6, 9, 33이다.
3＋3＝6, 3－3＝0, 3×3＝9, 3÷3＝1
② 3개의 3으로 만들 수 있는 수는 ①에서 구한 다섯 개의 수에 숫자 3을 더하고, 빼고, 곱하고 나누면 구할 수 있는데 꽤 많을 것이다. 그렇지만 위의 문제에서는 구하는 수가 0부터 10까지의 수이므로 3개의 3으로 만들 수 있는 수 중에서 작은 수만을 찾으면 된다. 0 (0×3), 2 (3-1), 3 (0+3), 4 (1+3), 6 (9-3), 9 (6+3), 11 (33÷3) 정도를 간단히 구할 수 있을 것이다.
0 ＝ (3－ 3) × 3
2 ＝ 3 － 3 ÷ 3
3 ＝ (3 － 3) ＋ 3
4 ＝ 3 ÷ 3 ＋ 3
6 ＝ 3 × 3 － 3
9 ＝ (3 ＋ 3) ＋ 3
11 ＝ 33 ÷ 3
③ 이제 다섯 개의 3으로 0에서 10까지의 수를 만들어 보면 ①에서 구한 수(0, 1, 6, 9, 33)와 ②에서 구한 수(0, 2, 3, 4, 6, 9, 11)를 한 번씩 이용하여 다음과 같이 만들 수 있다.
0 ＝ 0 ＋ 0 → (3－3) ＋ (3－3) × 3
1 ＝ 1 ＋ 0 → (3 ÷3) ＋ (3－3) × 3
2 ＝ 0 ＋ 2 → (3－3) ＋ 3 － 3 ÷ 3
3 ＝ 0 ＋ 3 → (3＋3) ＋ 3 － 3 ＋ 3
4 ＝ 1 ＋ 3 → (3 ÷3) ＋ 3 － 3 ＋ 3
5 ＝ 9 － 4 → 3 × 3 － (3 ÷ 3 ＋ 3)
6 ＝ 0 ＋ 6 → (3－3) ＋ 3 × 3 － 3
7 ＝ 1 ＋ 6 → (3 ÷3) ＋ 3 × 3 － 3
8 ＝ 6 ＋ 2 → 3 ＋ 3 ＋ 3 － 3 ÷ 3
9 ＝ 9 ＋ 0 → 3 × 3 ＋ (3－3) × 3
10 ＝ 6 ＋ 4 → 3 ＋ 3 ＋ 3 ÷ 3 ＋ 3
다음 문제 역시 같은 요령으로 풀면 되는데, 이 문제는 독자여러분의 몫으로 남겨 놓겠다.
[2004 교육청]
ꋮ 숫자 6을 4번 사용하고 ＋, －, ×, ÷, ( )를 사용하여 계산 결과가 1에서 8까지의 수가 나오도록 각각 식을 완성하여 보시오.
6 6 6 6 ＝ 1
6 6 6 6 ＝ 2
6 6 6 6 ＝ 3
6 6 6 6 ＝ 4
6 6 6 6 ＝ 5
6 6 6 6 ＝ 6
6 6 6 6 ＝ 7
6 6 6 6 ＝ 8
2. 목표 수 만들기
‘포 포즈’는 여러 가지 수를 만드는 것임에 비해 목표 수 만들기는 어떤 특정한 수를 여러 가지 방법으로 만드는 것이다. 그동안 영재교육원 시험에서 이런 부류의 문제가 가장 많이 출제되었고, 사실 학생들이 가장 해결하기 어려워했던 문제들이기도 하다.
[2007 교육청]
ꋮ 다음은 0에서 9까지의 수를 한 번씩 이용하고 덧셈을 이용하여 여러 가지 수를 만든 것입니다.
0＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45
0＋1＋52＋3＋4＋6＋7＋8＋9＝90
같은 방법으로 0에서 9까지의 수를 한 번씩 이용하여 합이 100이 되도록 만들어 보시오.
과연 0에서 9까지의 수와 덧셈 기호만을 이용하여 100을 만들 수 있을까? 사실 결론을 먼저 이야기하면 주어진 조건으로는 100을 만들 수 없다.
영재교육원 문제는 공개되지 않기 때문에 시험을 친 학생들의 기억에 의존해 문제를 복원한다. 그렇기 때문에 복원한 문제가 완전하지 않은 경우가 더러 생긴다. 이 문제는 분명 잘못 복원된 것이고 틀린 문제이다. 하지만 우리는 복원한 문제를 통해 영재교육원의 문제 출제 경향과 그러한 문제들의 해결 방법과 원리들을 찾아보려는 것이 목적이기 때문에 문제가 틀렸다고 해서 풀지 않을 이유는 없다. 오히려 잘못된 내용을 밝혀내는 것만으로도 더 좋은 학습기회가 될 수도 있다.
그렇다면 왜 0에서 9까지의 수와 덧셈 기호만을 이용하여 100을 만들 수 없는지 이유를 알아보자.
0에서 9까지의 수를 더하면 다음과 같이 45가 된다.
0＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45
따라서 어떤 두 수를 붙여 두 자리 수를 만들어 합이 100이 되게 만들어야 한다. (세 자리 수를 만들면 당연히 100보다 큰 수가 되므로 고려할 필요가 없다)
그렇다면 어떤 두 자리 수를 만들어야 합이 100이 되게 할 수 있을까?
0에서 9까지의 합이 45이므로 두 수를 붙여 두 자리 수를 만들었을 때 55만큼 더 커지게 만들면 된다. 즉, 만든 두 자리 수에서 그 수의 각 자리 숫자의 합을 뺀 결과가 55가 되면 되는 것이다.
(예를 들어 6과 8을 붙여 68을 만들면 68－6－8＝54만큼 커진다. 즉, 0＋1＋2＋3＋4＋5＋7＋9＋68＝45＋68－6－8＝99)
꼭 두 자리 수가 하나일 필요는 없다. 1과 3을 붙여 13을 만들고, 2와 5를 붙여 52를 만들면
0＋4＋6+7＋8＋9＋13＋52＝45＋13＋52－1－3－2－5＝99가 된다.
그러면 여러 가지 방법으로 두 수를 붙여 두 자리 수를 만들어 합이 100이 되게 만들어 보자. 하지만 이미 말한 대로 어떤 방법을 쓰더라도 100을 만들 수는 없다.
그것은 두 수를 붙여 두 자리 수를 만들면 항상 9의 배수만큼 커지기 때문이다.
예를 들어 2와 6을 붙여 26을 만들면 26－6－2＝18(=9×2)만큼 커지고, 5와 7을 붙여 57을 만들면 57－5－7＝45(=9×5)만큼 커진다. 다른 어떤 경우라도 항상 9의 배수만큼 커진다. (두 수를 a, b라 하면 두 수를 붙여 만든 수 ab 가 나타내는 값은 a가 십의 자리 숫자이므로 10×a＋b 이다. 따라서 증가된 부분은 10×a＋b－a－b = 9×a 이므로 항상 9의 배수만큼 커진다)
따라서 55만큼 더 커질 수가 없기 때문에 100을 만들 수 없는 것이다.
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