중등영재교육원 대비 수학 특강](3)마술카드의 비밀

매일매일 시골 장터를 돌아다니며 물건을 파는 약장수인 나몰라씨가 파는 것은 한 병만 마셔도 천재가 될 수 있다는 엉터리 물약입니다. 당연히 장사가 잘 될 리가 없었습니다. 어떻게 사람들을 끌어모아 약을 팔아볼까 고민하던 나몰라씨는 기발한 아이디어를 생각해 냅니다.

나몰라씨는 빨간색, 파란색, 노란색, 초록색, 보라색의 5장의 마술 카드를 준비한 다음, 각각의 카드에 1에서 31까지의 수 중 16개씩을 적습니다. 그리고는 구경꾼 중 한 명을 지목하여 마음 속으로 1에서 31까지의 수 중 하나를 생각하게 합니다. 자기가 파는 엉터리 물약을 마신 나몰라씨는 머리가 맑아지는 듯 연기를 하더니 수가 적힌 면이 구경꾼들에게만 보이도록 자신은 눈을 가린 채 구경꾼이 마음속으로 생각한 수를 알아맞힐 수 있다고 큰소리를 칩니다. 구경꾼에게 마음 속으로 생각한 수가 적혀 있는 카드가 어떤 색인지 묻자 파란색, 노란색, 보라색이라고 대답하였습니다. 잠시 고민하는 체 하던 나몰라씨가 “당신이 생각한 수는 13이군요”라고 하자 그 구경꾼은 정말 그렇다며 깜짝 놀랐습니다.

옆에서 지켜보던 다른 구경꾼이 “색깔마다 자기만 알아볼 수 있게 표시를 해 놓았을 거야”라며 의심하자 나몰라씨는 아무 표시도 되어있지 않은 5장의 카드를 나란히 세워 놓은 다음, 물약 한 병을 더 마시더니 각각의 카드에 거침없이 16개씩의 수를 써 넣은 다음 의심하던 구경꾼에게 마음 속으로 수를 생각하고 어느 카드에 있는지 말해 달라고 합니다. 첫째, 넷째, 다섯째 번 카드라는 대답을 들은 나몰라씨가 “당신이 생각한 수는 19가 맞지요?”라고 자신 있게 말하자 그 구경꾼도 놀라며 인정하였습니다. 나몰라씨의 마술 카드에는 어떤 비밀이 있을까요?

기수법은 일정한 기호(숫자)와 각 자리가 나타내는 크기를 이용하여 수를 표현합니다. 일상생활에서 가장 많이 쓰이는 십진법은 0에서 9까지의 10개의 숫자와 각각 10의 거듭제곱의 크기를 갖는 자리를 이용하여 수를 나타냅니다. 기수법은 2진법에서부터 60진법까지 그 기준만 일정하다면 얼마든지 여러 가지가 있을 수 있는데, 십진법에 워낙 익숙해져 있다 보니 다른 진법으로 표현된 수는 마치 암호처럼 보여 실제로 암호를 만들거나 각종 퀴즈의 소재로 활용됩니다.

나몰라씨의 마술카드는 1에서 31까지의 수를 이진법으로 표현하여 각각의 자리값을 포함하는 수끼리 분류하여 놓은 것입니다. 즉, 16의 자리값을 갖는(이진법으로 표현하였을 때 16의 자리에 1이 들어가는) 수들을 빨간색 카드에 아무렇게나 적고, 8의 자리값을 갖는 16개의 수들은 파란색 카드에 적습니다. 마찬가지로 노란색 카드는 4의 자리, 초록색 카드는 2의 자리, 보라색 카드는 1의 자리에 해당하는 자리값을 갖는 수들을 적어 놓은 다음, 해당 수가 포함되어 있는 색의 카드가 나타내는 자리값을 모두 더한 것입니다. 굳이 색으로 구분하지 않더라도 자신이 분류한 카드의 순서만 기억하고 있으면 카드의 수를 보지 않더라도 해당 카드에 수가 있는지 없는지에 따라 자리값을 더하기만 하면 됩니다. 즉, 이진법으로 표현할 때 해당 자리값을 나타내는 카드에 수가 있으면 1, 없으면 0으로 나타내는 것과 같습니다.

<1> 다음과 같은 방법으로 수를 나타내었습니다. 같은 방법으로 76을 나타내어 보시오.

<2> 양팔저울과 1g에서 27g까지의 추가 각각 하나씩 있습니다. 추를 양팔저울의 양쪽 접시의 어느 쪽에도 올려놓을 수 있다고 할 때, 1g부터 g 단위로 40g까지의 물건의 무게를 재려면 최소한 몇 개의 추가 필요합니까? 또, 그때 필요한 추를 모두 고르시오.

<3> 오른쪽과 같이 몇 군데의 숫자를 알 수 없는 뺄셈이 있습니다. 몇 진법으로 나타낸 수의 계산입니까? A, B, C에 알맞은 숫자를 구하시오. <4> 비밀의 문을 지키고 있는 스핑크스의 수수께끼를 해결해야 보물 창고로 들어갈 수 있습니다. 비밀번호를 알아낼 수 있는 방법에 대해 말해 보시오.

“스핑크스가 두 자리 수 비밀번호 3개(a, b, c)를 생각하면 도전자는 3개(x, y, z)의 수를 말합니다. 그러면 스핑크스가 다시 ax+by+cz의 값을 말합니다. 이때 도전자는 스핑크스가 생각하는 두 자리 수 비밀번호 3개를 맞혀야 합니다.”

<5> 금괴가 들어 있는 상자 5개가 있습니다. 이 상자 안에 들어 있는 금괴의 모습은 똑같지만 어느 한 상자 안에 있는 금괴는 모두 속이 비어 있는 가짜 금괴입니다. 진짜 금괴 1개의 무게가 1㎏인 반면, 가짜 금괴 1개의 무게는 900ｇ입니다. 각 상자에 1번에서 5번까지 번호를 붙인 다음, 번호에 해당하는 개수의 금괴를 꺼내 한꺼번에 무게를 재었더니 14㎏ 700ｇ이었습니다. 가짜 금괴가 든 상자는 어느 것입니까?
경향신문