ꋮ 다음 숫자 사이에 ＋, －, ( )를 적당하게 넣어 그 계산 결과가 100이 되게 만들어 보시오.
단, 숫자와 숫자 사이에 반드시 ＋, －, ( )를 넣을 필요는 없습니다.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ＝ 100
ꋮ 다음 빈 칸에 ＋, －를 넣어 등식이 성립하도록 여러 가지 방법으로 만들어 보시오.
1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7＝8
[2004 교육청]
ꋮ 다음 8개의 숫자와 ＋, －, ×, ÷, ( )를 적당히 사용하여 서로 다른 방법으로 계산결과가 104가 되도록 3가지 이상 만들어 보시오.
1, 3, 3, 3, 3, 3, 5, 9
세 문제 모두 주어진 숫자와 사칙연산 기호와 괄호를 이용하여 목표 수를 만드는 문제이긴 하지만 크게 두 가지 다른 차이가 있다.
첫째, 사칙연산 기호와 괄호의 사용에 대한 제한이다. 아주대 문제는 ＋, －, ( )만 쓸 수 있고, 전남대 문제는 ＋, －, 2004년 교육청 문제는 ＋, －, ×, ÷, ( )를 모두 쓸 수 있다.
둘째, 주어진 숫자의 순서에 대한 제한이다. 2004년 교육청 문제는 8개의 숫자를 그냥 주었기 때문에 숫자의 순서를 바꾸어도 상관이 없다. 그러나 아주대 문제에서는 숫자와 숫자 사이에 반드시 기호를 넣을 필요는 없지만 1에서 9까지 숫자의 순서는 바꿀 수 없다. 그리고 전남대 문제는 숫자 사이에 반드시 기호를 넣어야 하고, 숫자의 순서도 바꿀 수 없다.
이러한 차이는 결국 문제 해결방법의 차이로 이어질 수밖에 없을 것이다.
이 문제는 순서를 바꾸지 않고, ＋, －, ( )를 이용하여 100을 만드는 문제로서 많은 퍼즐 책에서 빠지지 않고 나오는 문제이다. 보통은 ( )를 쓰지 않고 구한다. 그리고 주어진 수의 차례가 9 8 7 6 5 4 3 2 1 로 주어지기도 하고, 또 ×, ÷ 을 쓰기도 한다.
어쨌든 여기에서는 문제의 조건대로 풀어 보자.
＋, － 만을 이용하여 100을 만들어야 하기 때문에 수를 붙여 큰 수를 만들어야 한다. 따라서 두 수를 붙여 두 자리 수를 만들어야 한다. 그런데 바로 앞 전호에서 문제복귀가 잘못되어 답을 내지 못했던 [2007 교육청 문제](1~9까지의 수와 덧셈기호만을 이용하여 100을 구하는 문제)와는 달리 뺄셈도 가능하기 때문에 세 수를 붙여 세 자리 수를 만들어도 된다.
그렇다면 어떤 수를 붙이는 게 좋을까?
가능하면 100에 가까운 수를 만드는 것이 좋지 않을까?
이런 발상 자체가 이러한 문제들을 해결하는 키(key)다
수를 붙여 100에 가까운 수를 만들면, 1, 2, 3을 붙여 123을 만들 수 있고, 8, 9를 붙여 89를 만들 수 있다. 123을 만들면 1, 2, 3을 제외한 나머지 6개의 수로 23을 만들어 빼면 되고, 89를 만들면 8, 9를 제외한 나머지 7개의 수로 11을 만들어 더하면 되는 것이다.
이제 4 5 6 7 8 9에 ＋, －를 넣어 23을 만들어 보자.
이 경우 의외로 간단하게 풀린다.
4＋5＋6＋7＋8＋9＝39 이고 39－23＝16이므로 16의 1/2인 8의 부호를 뺄셈으로 바꾸어주면 된다. 즉 8을 더할 것을 빼 주면 39에서 16을 빼 준 결과가 되기 때문이다.
따라서 4＋5＋6＋7－8＋9＝23이다. 자, 이제 100을 만들 수 있게 되었다.
123－(4＋5＋6＋7－8＋9)＝123－4－5－6－7＋8－9＝100
이번에는 1 2 3 4 5 6 7에 ＋, －를 넣어 11을 만들어 보자. 하지만 이 경우에는 위와 같은 방법으로는 풀리지 않는다.
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28 이고 28－11＝17 이므로 17의 1/2이 7.5가 되어 자연수가 아니기 때문이다.
이때는 수를 붙여서 11을 만드는 방법을 생각해볼 수 있다. 그렇다면 마찬가지로 어떤 수를 붙이는 게 좋을까?
가능하면 11에 가까운 수를 만드는 것이 좋지 않을까?
1, 2를 붙여 12를 만들면 나머지 5개의 수로 1을 만들어 빼면 된다.
이제 3 4 5 6 7에 ＋, －를 넣어 1을 만들어 보자. 3＋4＋5＋6＋7＝25 이고 25－1＝24 이므로 24의 1/2인 12만큼 덧셈을 뺄셈으로 바꾸어주면 된다.
3＋4－5＋6－7＝1
이제 11을 만들면,
12－3－4＋5－6＋7＝11
마지막으로 100을 만들면,
12－3－4＋5－6＋7＋89＝100
이외에도 100을 만드는 방법은 여러 가지가 있다. 한 번 여러분도 찾아보길 바란다.
다음과 같이 위에서 했던 방법과는 다르게 100을 만들 수도 있다.
123－45－67＋89＝100
하지만 이런 것들을 찾아내기란 쉽지 않을 것이다.
앞에서 우리는 목표 수를 만들기 위해 몇 개의 수를 붙여 가능한 한 목표 수에 가까운 수를 만든 다음, 나머지 수들로 목표 수와의 차를 만드는 방법을 사용하였다. 이러한 아이디어가 바로 목표 수 만들기의 문제해결 방법인 것이다.
다음으로 [2004 교육청] 문제는 숫자 8개(1, 3, 3, 3, 3, 3, 5, 9)와 사칙연산 및 괄호를 이용하여 여러 가지 방법으로 104를 만드는 것이다. 숫자의 순서를 상관하지 않는다고 하였으므로 목표 수를 구하는 원리에 따라 쉽게 구할 수 있을 것이다.
여기에서는 숫자의 순서를 바꾸지 말고 풀어 보기로 하자.
① 우선 몇 개의 수를 이용하여 목표 수에 가깝게 만들면, 마지막 4개의 수 3, 3, 5, 9로 33＋59＝92를 만들 수 있다.
② 목표 수는 104이므로 104－92＝12, 따라서 앞의 네 수 1, 3, 3, 3으로 12을 만든다.
1×3＋3×3＝12
③ ① 에서 만든 식과 ②에서 만든 식을 더해서 104를 만든다.
1×3＋3×3＋33＋59＝104
문제에서는 3가지 이상의 방법으로 만들어 보라고 했다. 나머지는 마찬가지로 여러분이 직접 해 보기 바란다.
마지막 문제는 □ 안에 여러 가지 방법으로 ＋, －를 넣는 것인데, 앞에서 다루었기 때문에 자세한 설명은 필요 없을 것이다.
1□ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7＝8
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28 이고, 목표 수는 8이므로 28－8＝20의 1/2인 10만큼 덧셈을 뺄셈으로 바꾸어주면 된다. 따라서 합이 10이 되는 경우는 (3, 7), (4, 6), (2, 3, 5)이므로
(3, 7) → 1＋2－3＋4＋5＋6－7＝8
(4, 6) → 1＋2＋3－4＋5－6＋7＝8
(2, 3, 5) → 1－2－3＋4－5＋6＋7＝8
이제까지 포 포즈로 통칭되는 수 만들기 문제에 대한 해결 전략을 살펴보았다. 수 만들기 문제는 많은 친구들이 접근조차 못하는 어려운 문제였지만 위의 내용을 이해할 수 만 있다면 상당한 자신감이 생겼을 것이다. 이제 그 자신감으로 다음 문제를 스스로 해결해 보기 바란다.
ꋮ 다음 수 사이에 ＋, －, ×, ÷, ( )를 넣어 다음 식이 성립하도록 10가지 이상 만들어 보시오. 단, 수 사이에 모두 기호가 들어갈 필요는 없습니다.
1 2 3 4 5 ＝ 6 1 2 3 4 5 ＝ 6
1 2 3 4 5 ＝ 6 1 2 3 4 5 ＝ 6
1 2 3 4 5 ＝ 6 1 2 3 4 5 ＝ 6
1 2 3 4 5 ＝ 6 1 2 3 4 5 ＝ 6
1 2 3 4 5 ＝ 6 1 2 3 4 5 ＝ 6
경향신문
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