ㆍ입체를 머리 속에 그려보자
공간 지각력을 발달시키고 측정하는 데 가장 많이 사용되는 도구 중의 하나로 쌓기나무가 있습니다. 대개 공식이나 요령에 의존하여 수 연산이나 문장제를 해결하는 데 익숙해져 있다 보니, 딱히 공식이랄 것이 없고 요령이 있다 해도 그 경우가 다양할 뿐만 아니라 그나마 머릿속에서 입체를 구체화할 수 있는 능력이 전제되는 쌓기나무 문제를 접하게 되면 당황하기 마련입니다.
교과 과정에서 쌓기나무는 관찰하기부터 시작하여 관찰한 모양을 보고 재구성하고, 모양을 보고 사용된 개수를 예측하거나 정해진 개수를 통해 제한된 모양을 완성하는 과정을 거쳐 겉넓이와 부피를 묻는 과정을 따라가게 됩니다. 하지만 이 모든 과정에 공간 지각력이 전제되기 때문에 체감 난이도는 어린 학생이나 성인이나 별 차이가 없을 수 있습니다. 다음 문제를 함께 해결하여 봅시다.
“다음 그림과 같이 모서리가 5㎝인 정육면체의 각 모서리를 5등분하고, 가운데 부분을 모두 관통시킨 입체도형을 만들었습니다. 이 입체도형을 관통시키기 전과 관통시킨 후의 겉넓이의 차를 구하시오.”
맨 위쪽을 5층이라고 하여 각 층별로 뚫린 부분을 다음과 같이 색칠하여 봅니다. 단, 5층과 4층 그림에서 ○ 표시한 부분은 각각 4층, 3층에 정육면체가 없는 부분입니다.
각 층에서 겉넓이에 해당하는 면의 개수를 살펴보면,
① 5층에서는 위 20개, 아래 4개, 옆 32개로 모두 56개입니다.
② 4층에서는 위는 없고, 아래 12개, 옆 32개로 모두 44개입니다.
③ 3층에서는 위, 아래에는 없고 옆면만 16개입니다.
④ 2층, 1층은 각각 4층, 5층과 위, 아래의 방향만 다르고 겉넓이는 같습니다.
따라서 관통시킨 입체도형의 겉넓이에 해당하는 면은 모두 216개인데, 관통시키기 전의 입체도형의 겉넓이에 해당하는 면은 25×6=150(개)였으므로 관통시킨 후 66개의 면만큼 겉넓이가 늘어났음을 알 수 있습니다. 즉, 겉넓이의 차는 66㎠입니다.
<1> 한 모서리의 길이가 1m인 정육면체의 모서리를 각각 다음과 같이 3등분, 4등분, 5등분하면 60개의 직육면체가 생깁니다. 이 60개의 직육면체의 겉넓이의 합을 구하시오.
<2> 한 모서리의 길이가 1㎝인 정육면체로 만든 입체도형을 앞, 오른쪽 옆, 위에서 본 모양이 다음과 같습니다. 쌓기나무를 가장 많이 사용했을 때와 가장 적게 사용했을 때, 두 입체도형의 겉넓이의 차를 구하시오.
<3> 정육면체 모양의 쌓기나무 16개를 쌓아서 다음 그림과 같이 입체도형을 만들었습니다. 이 입체도형에 쌓기나무 2개를 추가로 쌓은 후 바닥면을 포함한 겉면에 페인트를 칠하였을 때, 색칠한 면의 수가 가장 많은 경우와 가장 적은 경우에 대하여 색칠한 면의 개수를 각각 구하시오.
경향신문
공간 지각력을 발달시키고 측정하는 데 가장 많이 사용되는 도구 중의 하나로 쌓기나무가 있습니다. 대개 공식이나 요령에 의존하여 수 연산이나 문장제를 해결하는 데 익숙해져 있다 보니, 딱히 공식이랄 것이 없고 요령이 있다 해도 그 경우가 다양할 뿐만 아니라 그나마 머릿속에서 입체를 구체화할 수 있는 능력이 전제되는 쌓기나무 문제를 접하게 되면 당황하기 마련입니다.
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교과 과정에서 쌓기나무는 관찰하기부터 시작하여 관찰한 모양을 보고 재구성하고, 모양을 보고 사용된 개수를 예측하거나 정해진 개수를 통해 제한된 모양을 완성하는 과정을 거쳐 겉넓이와 부피를 묻는 과정을 따라가게 됩니다. 하지만 이 모든 과정에 공간 지각력이 전제되기 때문에 체감 난이도는 어린 학생이나 성인이나 별 차이가 없을 수 있습니다. 다음 문제를 함께 해결하여 봅시다.
“다음 그림과 같이 모서리가 5㎝인 정육면체의 각 모서리를 5등분하고, 가운데 부분을 모두 관통시킨 입체도형을 만들었습니다. 이 입체도형을 관통시키기 전과 관통시킨 후의 겉넓이의 차를 구하시오.”
맨 위쪽을 5층이라고 하여 각 층별로 뚫린 부분을 다음과 같이 색칠하여 봅니다. 단, 5층과 4층 그림에서 ○ 표시한 부분은 각각 4층, 3층에 정육면체가 없는 부분입니다.
각 층에서 겉넓이에 해당하는 면의 개수를 살펴보면,
① 5층에서는 위 20개, 아래 4개, 옆 32개로 모두 56개입니다.
② 4층에서는 위는 없고, 아래 12개, 옆 32개로 모두 44개입니다.
③ 3층에서는 위, 아래에는 없고 옆면만 16개입니다.
④ 2층, 1층은 각각 4층, 5층과 위, 아래의 방향만 다르고 겉넓이는 같습니다.
따라서 관통시킨 입체도형의 겉넓이에 해당하는 면은 모두 216개인데, 관통시키기 전의 입체도형의 겉넓이에 해당하는 면은 25×6=150(개)였으므로 관통시킨 후 66개의 면만큼 겉넓이가 늘어났음을 알 수 있습니다. 즉, 겉넓이의 차는 66㎠입니다.
<1> 한 모서리의 길이가 1m인 정육면체의 모서리를 각각 다음과 같이 3등분, 4등분, 5등분하면 60개의 직육면체가 생깁니다. 이 60개의 직육면체의 겉넓이의 합을 구하시오.
<2> 한 모서리의 길이가 1㎝인 정육면체로 만든 입체도형을 앞, 오른쪽 옆, 위에서 본 모양이 다음과 같습니다. 쌓기나무를 가장 많이 사용했을 때와 가장 적게 사용했을 때, 두 입체도형의 겉넓이의 차를 구하시오.
<3> 정육면체 모양의 쌓기나무 16개를 쌓아서 다음 그림과 같이 입체도형을 만들었습니다. 이 입체도형에 쌓기나무 2개를 추가로 쌓은 후 바닥면을 포함한 겉면에 페인트를 칠하였을 때, 색칠한 면의 수가 가장 많은 경우와 가장 적은 경우에 대하여 색칠한 면의 개수를 각각 구하시오.
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