영재교육원 수학특강] 님(nim)게임 기출문제 풀이

님게임의 승리의 전략은 ‘거꾸로 생각하기’라는 수학 문제해결의 일반 해법 중의 하나였다. 즉 마지막 상황에서 이길 수 있는 상태를 먼저 파악하고 그러한 상황을 만들기 위해서 그 전 단계에서는 어떤 상태가 되어야 하는가를 차근차근 따져가다 보면 맨 처음 시작단계에서부터 어떻게 해야 이길 수 있는지를 알게 되는 것이다. 이제 이 원리를 이용하여 지난 호의 기출문제들을 해결해 보자.

[풀이]


구슬의 수는 11개, 한 번에 1개에서 3개까지 잡을 수 있고, 마지막 구슬을 잡는 사람이 질 때, 이기기 위해서 처음에 잡아야 할 구슬의 수를 구해야 한다.

구슬에 번호를 매기고 차례대로 구슬을 가지고 간다고 할 때,
이기는 구슬은 ⑩번, ⑥번, ②번이다. 따라서 이기기 위해서는 처음에 2개의 구슬을 잡으면 된다.

구슬의 수는 20개, 한 번에 1개에서 3개까지 잡을 수 있고, 마지막 구슬을 잡는 사람이 이길 때, 이기기 위한 방법을 찾는 것이다.

위와 마찬 가지 방법으로 이기는 구슬을 찾으면 20번, 16번, 12번, 8번, 4번이다.

따라서 내가 ④번 구슬을 잡기 위해서는 먼저 잡지 말고 나중에 잡아야 한다.
상대가 1개 잡으면 나는 3개, 상대가 2개 잡으면 나는 2개, 상대가 3개 잡으면 나는 1개 잡으면 된다.

[연습문제]



1. 두 사람이 번갈아가며 바둑돌을 한 칸씩 옮기는데 더 이상 움직일 수 없는 사람이 집니다. 먼저 하는 것이 유리합니까? 나중에 하는 것이 유리합니까?

2. 상현이와 종수가 선분 잇기 게임을 합니다. 두 사람이 번갈아 가며 모눈을 따라 선분을 그어 이어 가는데 위쪽 또는 오른쪽으로만 갈 수 있습니다. 먼저 끝점에 도착하는 사람이 이깁니다. 한 번에 한 선분만 그을 수 있는데 몇 칸이라도 그을 수 있습니다. 지금은 상현이 차례입니다. 상현이가 게임에서 이기기 위해 어떻게 선분을 그어야 합니까?

3. 23개의 구슬이 있습니다. 두 사람이 게임을 하는데 한 번에 1개, 2개 또는 3개를 잡을 수 있습니다. 다음 물음에 답하시오.

(1) 마지막으로 구슬을 잡는 사람이 질 때, 처음에 몇 개의 구슬을 잡아야 꼭 이길 수 있습니까?

(2) 마지막으로 구슬을 잡는 사람이 이길 때, 처음에 몇 개의 구슬을 잡아야 꼭 이길 수 있습니까?
4. 가로로 칸이 30개 있습니다. 두 사람이 번갈아가며 이 칸에 색칠을 하는데, 마지막 칸을 칠하는 사람이 이긴다고 합니다. 한 번에 3칸 또는 6칸을 연달아 칠해야 한다고 할 때, 처음에 몇 칸을 칠해야 반드시 이길 수 있습니까?
경향신문