최초의 마방진 즉, 1에서 9까지의 수를 이용한 3×3 마방진을 통해 마방진의 원리를 파헤쳐 보자.
최초의 마방진은 1에서 9까지의 수를 한 번씩 써서 가로, 세로, 대각선 방향으로 놓은 세 수의 합이 같다고 하였다.
그렇다면 가로 또는 세로 (대각선 방향이든) 방향으로 놓은 세 수의 합은 얼마가 될까?
일단 가로 방향으로만 생각해 보자.
9개의 칸에 1에서 9까지의 수가 한 번씩 들어가므로 모든 칸에 들어가는 9개 수의 합은,
1+2+3+4++5+6+7+8+9=45 가 된다.
그런데 각 줄(3줄이 있다)에 놓인 세 수의 합이 모두 같다고 하였으므로 한 줄에 놓인 세 수의 합은
45÷3=15 가 된다.
따라서 가로든, 세로든, 대각선이든 세 수의 합은 항상 15가 되어야 한다. 즉 한 줄에는 1, 5, 9 와 같이 세 수의 합이 15가 되는 수들이 들어갈 수 있는 것이다.
이제 각 줄에 들어가는 수의 합이 15가 됨을 알았다. 사실 변형된 마방진 문제는 이 원리만 알아도 해결할 수 있는 문제들이 많다.
그러면 각 칸에는 어떤 숫자가 들어갈 수 있는지 알아보자.
1에서 9까지의 수를 이용해서 합이 15가 되는 세 수의 쌍을 찾아보자. 작은 수부터 시작하여 빠짐없이 찾아야 한다.
(1, 5, 9), (1, 6, 8), (2, 4, 9), (2, 5, 8)
(2, 6, 7), (3, 4, 8), (3, 5, 7), (4, 5, 6)
모두 8가지 세 수의 쌍이 나온다.
그런데 3×3 격자에서 세 수의 합이 15가 되는 경우는 다음과 같이 가로로 3개, 세로로 3개, 대각선으로 2개로 모두 8가지가 나온다.
1에서 9까지의 수를 써서 세 수의 합이 15가 되는 경우도 8가지이고, 3×3 격자에서 세 수의 합이 15가 되는 경우도 8가지로 같다. 이것은 우연이 아니다. 8가지 수의 쌍 모두 3×3 격자의 8개의 줄에 각각 들어가는 것이다.
다음 칠해진 가운데 칸을 보자. 이 칸은 가로로 1번, 세로로 1번, 대각선으로 2번 모두 8개 세 수의 합에서 4번 포함된다.
다른 칸을 보자. 왼쪽 방진의 칠해진 꼭지점 네 칸은 ①번 칸과 같이 8개 세 수의 합에서 3번 포함되고, 오른쪽 방진의 칠해진 변 중간 네 칸은 ②번 칸과 같이 8개 세 수의 합에서 2번 포함된다.
(1, 5, 9), (1, 6, 8), (2, 4, 9), (2, 5, 8)
(2, 6, 7), (3, 4, 8), (3, 5, 7), (4, 5, 6)
에서 5가 네 번, 2, 4, 6, 8은 각각 세 번씩, 1, 3, 7, 9는 각각 두 번씩 쓰인다.
이제 각 칸에 어떤 수가 들어갈 수 있는지 충분히 예상할 수 있을 것이다. 세 수의 합에서 네 번 포함된 가운데 칸에는 세 수의 쌍에서 네 번 쓰인 숫자 5가 들어갈 것이고, 세 번 포함된 꼭지점 네 칸에는 세 번 쓰인 숫자 2, 4, 6, 8이, 두 번 포함된 변 중간 네 칸에는 두 번 쓰인 숫자 1, 3, 7, 9가 들어갈 것이다.
이제 가운데 칸에는 숫자 5를 넣은 다음, 변 중간 네 칸에 들어갈 수 있는 숫자(1, 3, 7, 9) 중에서 1, 9를 세 수의 합이 15가 되게 넣어 보자.
다음 꼭지점 네 칸에 들어갈 수 있는 숫자(2, 4, 6, 8) 중에서 두 숫자를 골라 세 수의 합이 15가 되게 만들어 보자.
이제 나머지 칸은 세 수의 합이 15가 되게끔 넣기만 하면 된다.
그렇다면 이러한 마방진(1에서 9까지의 수를 한 번씩 넣은 것)은 몇 가지나 나올까?
엄밀하게는 한 가지밖에 없다. 즉 돌리거나 뒤집으면 같아지기 때문이다. 만약 그러한 규정을 두지 않으면 다음과 같이 모두 8가지 나온다.
이제까지 만든 마방진(최초의 마방진)은 1에서 9까지의 수를 하나씩 사용한 것이다. 그러면 다른 수를 사용할 때도 마방진을 만들 수 있을까? 물론 가능하다.
경향신문
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