영재교육원 수학특강] 마방진(4)

육각형·주합진 문제도 원리는 같다-

꽤 여러 번에 걸쳐 마방진에 대해 알아보고 있다. 오늘은 그 최종회로서 여러 가지 변형된 형태의 마방진 류의 문제들을 살펴보겠다.

다음 H자 형의 ○ 안에 1에서 7까지의 수를 써 넣을 때, 선분으로 이어진 세 수의 합이 모두 같도록 A의 값을 구하시오.(2006년 교육청)

선분으로 이어진 세 수의 합은 3쌍이 있고, 아래의 칠해진 칸에 들어가는 수 5와 ★는 3쌍에 두 번씩 들어가는 수이다.

따라서 세 수의 합을 ●라 하면, 다음과 같은 등식이 성립한다.
3×● ＝ 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋(5＋★)
위 식을 간단히 정리하면, 3×● ＝ 33＋★
그런데 등식의 왼쪽인 3×●은 3의 배수이므로, 등식의 오른쪽인 33＋★ 또한 3의 배수이어야 한다.
따라서 ★의 값은 1에서 7까지의 수이므로 ★가 될 수 있는 수는 3과 6뿐이다. ★가 3일 때 세 수의 합은 아래와 같이 12가 된다.
3×●＝33＋3, 3×●＝36, ●＝36÷3＝12
이 때 세 수의 합이 12가 되게 수를 채우면 구하는 A의 값은 2가 된다.

★가 6이면, 세 수의 합은 아래와 같이 13이 된다.
3×●＝33＋6, 3×●＝39, ●＝36÷3＝13

하지만 ★가 6일 때 A의 값은 0이 되어 조건이 성립되지 않는다.

다음 육각형의 ○ 안에 1부터12까지의 수를 하나씩 채워 넣으려고 합니다. 물음에 답하시오

(1) 육각형의 변 위의 6개 수의 합과 작은 삼각형 안의 세 수의 합이 모두 같게 수를 넣어 보시오. 만일 가능하지 않다면 그 이유를 말해 보시오.
(2) 작은 삼각형 안의 세 수의 합이 모두 같도록 수를 넣어 보시오. 만일 가능하지 않다면 그 이유를 말해 보시오.
이 문제 또한 마방진의 원리를 이용해서 풀어야 한다. 둘째 번 문제는 ○ 안에 1부터 12까지의 수를 하나씩 넣어 작은 삼각형 안의 세 수의 합이 같게 만들면 된다.
작은 삼각형 안의 세 수의 합을 ●라 하면
6개의 작은 삼각형의 세 수의 합은 6×●이고
칠해진 ○안의 수는 6개의 작은 삼각형에 두 번씩 들어가므로 다음 등식이 성립한다.
6×●＝(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)
＋(a+b+c+d+e+f) ＝ 78＋(a+b+c+d+e+f)

등식의 왼쪽(6×●)은 6의 배수이므로 등식의 오른쪽(78+(a+b+c+d+e+f))도 6의 배수가 되어야 한다. 78이 6의 배수이므로 (a+b+c+d+e+f)도 6의 배수가 되게 6개의 수를 선택해야 한다. 간단하게 6의 배수를 만들자면 1+2+3+4+5+6=21 이므로 6 대신 9를 넣으면 1+2+3+4+5+9=24
따라서 작은 삼각형 안의 세 수의 합을 구하면,
6×●=78+(a+b+c+d+e+f)=78+24=102이므로 세 수의 합은 102÷6=17이 된다.
1, 2, 3, 4, 5, 9 여섯 개의 수를 적당히 칠해진 부분의 동그라미에 적당히 넣고, 세 수의 합이 17이 되게 나머지 수를 넣으면 다음과 같이 만들 수 있다. 물론 다른 여러 가지 방법이 있다.

첫째 번 문제는 6개의 작은 삼각형의 세 수의 합과 육각형의 변위의 6개수의 합이 같도록 수를 넣는 것이다. 즉 같은 합이 7개 있는 셈이고, 7개의 합을 모두 더한 것은 각 ○ 안의 수를 두 번씩 더한 것이므로 1에서 12까지의 수를 두 번씩 더한 것과 같게 된다. 따라서 합을 ●라 하면 다음 등식이 성립하게 된다.
7×●=2×(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)
그런데 등식의 왼쪽은 7×●으로 7의 배수인데, 등식의 오른쪽은 2×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12)＝156으로 7의 배수가 아니다.
따라서 이 등식은 성립할 수 없으므로 조건에 맞게 수를 넣을 수 없게 된다.

다음 정육면체의 꼭지점에 있는 ○ 안에 5에서 12까지의 수를 써 넣어 각 면에 있는 네 수의 합이 모두 같도록 여러 가지 방법으로 만들어 보시오. 단, 돌리거나 넘어뜨려서 같아지는 경우는 한 가지로 봅니다.(2005년 교육청)

이런 모양을 ‘정육면체의 주합진’이라 한다. 이 문제는 교육청뿐만 아니라 여러 대학 영재교육원에서 숫자만 바뀌어 출제되었다. 정육면체의 꼭지점이 8개이므로 이 모양에서는 8개의 수를 넣어야 하는데, 2007년 서울대 영재교육원 선발 시험에는 변에 12개의 수를 넣는 문제가 출제되었다. 여기에서는 간단하게 1에서 8까지의 수를 넣어 구해 보자.
주합진 문제도 마방진 문제와 동일한 원리로 접근한다. 먼저 한 면에 있는 네 수의 합을 구한다.
윗면에 있는 네 수의 합과 아랫면에 있는 네 수의 합은 같아야 하므로 한 면에 있는 네 수의 합은 (1+2+3+4+5+6+7+8)÷2=18 이 된다.
1에서 8까지의 수를 이용하여 합이 18이 되는 네 수의 쌍을 구하면 다음과 같이 8가지가 나온다.
(1, 2, 7, 8), (1, 3, 6, 8), (1, 4, 5, 8), (1, 4, 6, 7),
(2, 3, 5, 8), (2, 3, 6, 7), (2, 4, 5, 7), (3, 4, 5, 6)
네 수의 쌍에서 각 수의 개수를 알아보면 1에서 8까지의 수가 각각 4번씩 나온다. 그런데 주합진에서 18이 되는 면은 여섯 가지이고, ○안의 각 수는 세 면에 걸쳐 있으므로 3번씩 포함된다. 따라서 1에서 8까지의 수가 각각 3번씩 나오도록 네 수의 쌍을 여섯 가지 고르면 된다.
예를 들어 밑줄 친 두 쌍을 빼면 1에서 8까지의 수가 3번씩 나오고 네 수의 합이 18이 되는 여섯 가지의 수의 쌍이 나온다.
(1, 2, 7, 8), (1, 3, 6, 8), (1, 4, 5, 8), (1, 4, 6, 7),
(2, 3, 5, 8), (2, 3, 6, 7), (2, 4, 5, 7), (3, 4, 5, 6)
이제 여섯 면이 여섯 개의 수의 쌍이 되도록 배치하여 보면,

그런데 위의 모양에서 윗면을 그대로 둔 채 아랫면을 뒤집으면 새로운 모양이 한 가지 더 나오게 된다.

8개수의 쌍에서 두 쌍을 빼는 방법은 위 방법을 제외하고 다음과 같이 3가지가 더 나온다.

(1, 2, 7, 8), (1, 3, 6, 8), (1, 4, 5, 8), (1, 4, 6, 7),
(2, 3, 5, 8), (2, 3, 6, 7), (2, 4, 5, 7), (3, 4, 5, 6)

(1, 2, 7, 8), (1, 3, 6, 8), (1, 4, 5, 8), (1, 4, 6, 7),
(2, 3, 5, 8), (2, 3, 6, 7), (2, 4, 5, 7), (3, 4, 5, 6)

(1, 2, 7, 8), (1, 3, 6, 8), (1, 4, 5, 8), (1, 4, 6, 7),
2, 3, 5, 8), (2, 3, 6, 7), (2, 4, 5, 7), (3, 4, 5, 6)

각 방법마다 2개씩의 다른 주합진이 만들어진다. 따라서 주합진은 모두 8가지 모양을 만들 수 있는 것이다. 다만 원래 문제에서는 5에서 12까지의 수를 사용하도록 했으므로 위의 모든 수들에 4씩만 더해주면 된다.

마방진과 마방진의 원리를 이용한 여러 변형된 마방진 문제는 이상에서 풀었던 원리들 정확히 이해하면 다른 어떤 변형된 문제도 해결할 수 있다.

경향신문