플라톤의 입체라고도 불리는 정다면체는 왜 5가지 밖에 없는 지를 증명하던 중에 가장 변의 수가 작은 정다각형인 정삼각형으로 만들 수 있는 정다면체는 3가지(정사면체, 정팔면체, 정이십면체)가 되는 내용까지 알아보았다. 이번 호에서는 나머지 2개의 정다면체를 마저 알아보고, 각 정다면체의 면, 꼭지점, 모서리의 개수는 각각 몇 개인지를 살펴보려고 한다.
그럼 먼저 정사각형을 이어 붙여 만들 수 있는 정다면체부터 알아보자. 한 꼭지점에 정사각형을 3개 이상 붙여야 입체도형이 만들어지므로, 한 꼭지점에 정사각형을 3개 붙이면 다음과 같이 정육면체가 만들어진다.
한 꼭지점에 정사각형을 4개 붙이면 정사각형의 한 내각의 크기는 90˚이므로, 정사각형이 4개가 모이게 되면 4×90˚=360˚가 되어 평면이 되므로 입체도형을 만들 수 없게 된다.
한 꼭지점에 정사각형을 5개 이상 붙이게 되면 360˚보다 더 크게 되므로 오목한 모양이 만들어지게 되어 역시 정다면체를 만들지 못하게 된다.
따라서 정사각형을 이용하여 만들 수 있는 정다면체는 한 꼭지점에 3개의 정사각형을 붙인 정육면체 하나뿐이다.
같은 방법으로 정오각형을 붙여서 정다면체를 만들면, 정오각형의 한 내각의 크기는 108˚이므로 한 꼭지점에 3개의 정오각형을 붙여보면 정십이면체가 만들어진다.
정오각형을 4개 이상 붙이면 역시 360˚가 넘어 오목한 모양이 만들어지므로 더 이상 정다면체를 만들 수 없게 된다. 따라서 정오각형을 붙여서 만들 수 있는 정다면체는 한 꼭지점에 정오각형을 3개 붙인 정십이면체 하나뿐이다.
정육각형을 한 꼭지점에 3개 붙여 보면 정육각형의 한 내각의 크기는 120˚이므로 360˚가 되어 평면이 되어 버린다. 4개 이상 붙이면 더 말할 필요도 없이 오목한 모양이 되므로 정다면체를 만들 수 없다.
정칠각형은 한 내각의 크기가 정육각형의 한 내각의 크기(120˚)보다 크다. 따라서 정칠각형을 한 꼭지점에 3개 이상 모으게 되면 360˚보다 커지므로 역시 정다면체를 만들 수 없게 된다. 정팔각형, 정구각형, 정십각형, … 등등 정다각형의 변의 수가 늘어날수록 한 내각의 크기는 계속 더 커지기 때문에 정칠각형과 마찬가지로 정다면체를 만들 수 없는 것이다.
이상에서 본 바와 같이 정다면체는 정삼각형을 붙여 만든 정사면체, 정팔면체, 정십이면체와 정사각형을 붙여 만든 정육면체, 정오각형을 붙여 만든 정십이면체 이 다섯 가지뿐이다.
2007년 서울대학교 영재교육원 시험에서는 이러한 정다면체를 묻는 문제가 출제되었다.
정다면체의 면, 꼭지점, 모서리의 개수
정다면체의 면의 개수는 누구나 쉽게 알 수 있다. 정다면체의 이름 속에 이미 면의 개수가 나와 있다. 정4면체는 4개의 면이 있고, 정6면체는 6개의 면, 정8면체는 8개의 면이 있다.
모서리의 개수는 면의 모양과 개수만 알면 쉽게 구할 수 있다.
예를 들어 정팔면체를 생각해 보자
같은 방법으로 정십이면체의 모서리의 개수를 한 번 더 구해 보자.
정십이면체는 면이 12개 있고, 각 면은 5각형으로 이루어져 있으므로 각 면마다 5개의 모서리가 있는 셈이고, 각 모서리는 두 면에 항상 걸쳐 있으므로, 정십이면체의 모서리의 개수는 12×5÷2=30(개)가 되는 것이다.
나머지 정다면체의 모서리의 개수도 위와 같은 방식으로 구해 보기 바란다.
이번에는 꼭지점의 개수를 구해 보자. 역시 정팔면체의 예를 들어 알아보자. 정팔면체는 면의 개수는 8개, 각 면은 3개의 꼭지점으로 이루어져 있는 삼각형이다. 따라서 정팔면체의 각 면은 3개의 꼭지점으로 되어 있으므로 모두 3×8=24(개)의 꼭지점이 있게 된다. 그런데 정팔면체는 한 꼭지점에 4개의 면을 붙여 만든 입체도형이다. 즉 각 면의 꼭지점은 네 면에 걸쳐 있는 셈이 된다.
따라서 꼭지점의 개수는 24÷4=6(개) 가 되는 것이다.
같은 방법으로 정십이면체의 꼭지점의 개수를 알아보면, 정십이면체는 12개의 면마다 5개의 꼭지점이 있고, 한 꼭지점에 3개의 면이 붙어 있는 셈이므로 (12×5)÷3=20(개)의 꼭지점이 있다.
나머지 정다면체도 같은 방법으로 꼭지점의 수를 구해 보길 바란다.
정다면체의 면, 모서리, 꼭지점의 수를 구하는 것은 중등 1학년 2학기 과정에서 배운다. 시험 때만 되면 정다면체의 꼭지점, 모서리의 수를 외우고 시험이 끝나면 다시 잊어버리는 것을 종종 보아왔다.
이 외에도 오일러의 정리를 써서 모서리의 수 하나만을 외운 다음 나머지 꼭지점의 수를 구하는 방법도 있다.
그렇지만 그건 수학을 이해하고 배우는데 있어 아무런 도움이 되지 못한다. 그리고 영재교육원 시험에서는 외워서 푸는 문제를 출제하지 않는다. 꼭지점과 모서리의 수를 구하는 원리를 정확하게 알아야 하는 것이다
2007년 연세대 영재교육원 선발 시험에 다음과 같이 모서리의 개수를 묻는 문제가 출제되었다. 의외로 쉬운 문제이긴 하지만 입체도형에서의 모서리와 꼭지점의 개수를 구하는 원리를 정확히 알지 못하고서는 쉽게 풀 수 없는 문제다.
[2007년 연세대학교]
▶ 다음은 각 면이 이등변삼각형으로 이루어진 60면체입니다. 이 입체도형의 모서리의 개수를 구하시오.
위의 60면체는 모든 면이 이등변삼각형인 합동인 도형으로 되어 있고, 한 꼭지점에 모인 면의 수가 3개 또는 10개인 오목다면체이다.
위 60면체의 모서리의 개수를 구해 보자. 그림을 보고 헤아리다가는 분명 실수가 있기 마련이다. 하지만 모서리의 개수를 세는 원리만 알면 아주 간단해진다. 각 면은 삼각형으로 되어 있는 60면체이고, 각 모서리는 2개의 면에 걸쳐 있으므로 모서리의 개수는 (60×3)÷2=90(개)이다.
경향신문
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