영재교육원 수학특강 마방진(3)

마방진의 원리를 이용하여 1~9이외의 다른 수를 사용하거나 다른 조건이 주어진 마방진들을 살펴보겠다. 첫 호에서 언급했던 기출문제들을 중심으로 살펴보자.

다음과 같은 표에 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19를 넣어 가로, 세로, 대각선의 합이 모두 같게 만들어 보시오.(2004년 교육청)

사실 이 문제는 쉽게 해결이 된다. 우리가 만들었던 마방진의 각 칸의 수에 10씩을 더하면 된다.

이런 방식으로 우리는 얼마든지 여러 가지 마방진을 만들 수 있다. 위와 같이 같은 수를 더해도 되고, 아래와 같이 같은 수를 곱해도 되고, 곱해서 더해도 된다.

다음 왼쪽은 2005년 5월의 달력입니다. 이 달력에서 칠해진 부분과 같은 계단 모양을 오려내어 오른쪽 정사각형 격자의 칸에 수를 하나씩 써 넣어, 가로, 세로, 대각선에 있는 세 수의 합이 같도록 만들려고 합니다. 물음에 답하시오.(2004년 교육청)

(1) 위 달력의 색칠한 부분에 있는 수를 오른쪽 정사각형의 각 칸에 하나씩 넣어 가로, 세로, 대각선에 있는 세수의 합을 같게 만들면, 세 수의 합은 얼마입니까?

(2) 다음 그림은 지웅이가 위와 같이 계단 모양으로 수 9개를 잘라 가로, 세로, 대각선에 있는 세 수의 합이 같게 만드는 과정입니다. 나머지 수를 찾아 써 넣으시오.

이 문제에서 (1)번 풀이는 이미 배운 대로 9개의 수의 합을 3으로 나누면 간단하게 해결된다. 즉 5＋6＋7＋11＋12＋13＋17＋18＋19 = 108이므로, 따라서 한 줄에 있는 세 수의 합은 108÷3 = 36 이 된다. 내친 김에 이 9개의 수로 마방진을 완성해보자.

① 세 수의 합이 36이 되는 세 수의 쌍을 찾아보면
(5, 12, 19), (6, 12, 18), (7, 12, 17), (11, 12, 13)
(5, 13, 18), (6, 11, 19), (6, 13, 17), ( 7, 11, 18)

② 12는 네 번, 6, 11, 13, 18은 세 번, 5, 7, 17, 19는 두 번이 나오므로 마방진의 가운데 칸은 12, 꼭지점 네 칸에는 6, 11, 13, 18이, 변 중간 네 칸에는5, 7, 17, 19가 들어갈 것이다.

③ 가운데 칸에 12를 넣고, 변 중간 두 칸에 가장 작은 수 5와 가장 큰 수 19를 넣은 다음, 가장 큰 수 19의 옆 꼭지점 두 칸에 6, 11, 13, 18 중에 작은 두 수를 넣는다. 이제는 합이 36이 되도록 나머지 수를 채우면 된다.

(2)번 문제에서는 13과 23 두 수가 포함되어 있으므로 두 수가 포함된 계단 모양은 다음 한 가지 모양밖에 없다.

따라서11, 12, 13, 17, 18, 19, 23, 24, 25 아홉 개의 수를 이용하여 마방진을 채우면 된다.
여기에서 크기 순으로 볼 때 11은 가장 작은 수, 18은 중간 수, 25는 가장 큰 수이고, 짝수 째 번수는 12, 17, 19, 24가 된다.

세 수의 합은 (중간 수)×3 = 18×3 = 54 이고,

① 가운데 칸에는 중간수인 18을 넣는다.

② 변 중간 두 칸에 가장 작은 수 11과 가장 큰 수
25를 넣는다.
③ 가장 큰 수 25의 옆 꼭지점 두 칸에 짝수 째 번
중 작은 두 수인 12, 17을 넣는다.

④ 세 수의 합은 54이므로 합이 54가 되도록 나머
지 수를 채우면 된다.

다음 빈 칸에 서로 다른 수를 써 넣어 가로, 세로, 대각선 방향으로 세 수의 곱이 같도록 만들어 보시오. 단, 세 수의 곱이 가능한 한 작게 만듭니다.(2007년 교육청)

이 문제는 곱셈 마방진이다. 앞에서 다루었던 마방진은 가로, 세로, 대각선 방향으로 세 수의 합이 같은데 비해 곱셈 마방진은 세 수의 곱이 같도록 수를 넣는 것이다.
곱셈 마방진도 덧셈 마방진과 같이 여러 가지가 있을 것인데, 되도록 곱이 가장 작게 만들라고 하였다.
만약 9개의 수가 주어졌다면 덧셈 마방진과 마찬가지 방법으로 쉽게 구할 수 있을 것이다.

예를 들어 다음과 같은 9개의 수가 주어졌을 때 곱셈 마방진을 완성해 보면

(1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100)

① 가운데 칸에는 중간수인 10을 넣는다.

② 변 중간 두 칸에 가장 작은 수 1과 가장 큰 수 100을 넣는다.

③ 가장 큰 수 100의 옆 꼭지점 두 칸에 짝수 째 번 중 작은 두 수인 2, 5를 넣는다.

④ 세 수의 곱은 (중간 수)×(중간 수)×(중간 수) = 10×10×10 = 1000 이므로 곱이 1000이 되도록
나머지 수를 채우면 된다.

이제 2007년 교육청 문제인 곱셈 마방진을 해결하기 위해서는 곱이 가장 작도록 9개의 수를 찾아내야 한다.
위 곱셈 마방진의 예에서 주어진 9개의 수는 100의 모든 약수이다. 곱셈 마방진이 가능한 9개의 수를 찾아내는 방법은 여러 가지 있지만 어떤 수가 정확하게 9개의 약수를 가지고 있다면 이 9개의 약수가 곱셈 마방진을 이루는 9개의 수가 된다.

9개의 약수를 가진 가장 작은 수는 36이다. 약수의 개수는 다른 주제에서 다루기로 하고 36의 약수로 곱셈 마방진을 만들면 다음과 같다.

앞에서 살펴본 내용 외에도 마방진의 종류는 무수히 많고 비슷한 원리로 변형된 문제들이 많이 출제된다.

경향신문