중등영재교육원 대비 수학 특강]ㆍ기하학 응용해 보물을 찾아보자

치선이네 가족이 오랜만에 할머니께서 살고 계시는 시골 마을을 찾았습니다. 유난히 할머니를 따르는 치선이는 저녁 식사 후 할머니 옆에 누워 옛날이야기를 해달라고 졸라댔습니다. 평소 재미있는 전설을 많이 들려주신 할머니께서는 유난히 목소리를 낮추시더니 다음과 같은 이야기를 들려 주셨습니다.

“우리 집안에는 대대로 내려오는 보물이 숨겨져 있단다. 네 할아버지가 전쟁 중에 그 귀한 보물을 잘 보관하려고 땅 속에 묻으셨지. 마을 어귀에 있는 돌탑과 우물 사이에 있던 장승 바로 밑에 숨겼는데, 그만 장승이 사라져버려 그 흔적을 찾을 수가 없단다.”

“그럼 그 사이를 여기저기 다 파보면 찾을 수 있겠네.”

“그러다간 큰일 난다. 보물 주위에 폭약을 묻어 놓아서 정확한 위치를 파지 않으면 폭약이 터지게 되어 있어. 보물이 사라질 뿐 아니라 파는 사람도 위험해.”

“그런 걸 어떻게 찾아?”

“마을 입구에 큰 느티나무가 있지? 그 느티나무 밑에서 장승까지 곧게 선을 그으면 우리 집 대문 한가운데와 느티나무 밑, 그리고 돌탑과 우물을 연결하는 땅의 넓이가 정확하게 반으로 나누어진다는구나.”밤새도록 잠을 이루지 못한 치선이는 날이 밝자마자 느티나무 밑으로 가서 사방을 살펴보았습니다. 치선이를 도와 보물이 숨겨진 위치를 함께 찾아봅시다.

위 문제는 도형의 가장 기본적인 성질을 이용하는 작도 문제의 하나로, 이와 같은 유형의 문제를 등적 변환 문제라고 합니다. 작도를 할 때에는 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 이용하는데, 이는 고대 그리스에서부터 유래한 것입니다. 고대 그리스인들은 간결한 것, 일반적인 것, 완전한 것을 신성시하여 가장 간단한 직선과 선을 그릴 수 있는 자와 컴퍼스를 이용하여 지적 유희로 작도를 즐겼다고 합니다. 세계적인 유적지인 파르테논 신전을 건축할 때에도 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 이용하여 설계하였다고 하니 그 경향을 짐작할 수 있습니다.

삼각형의 특징 중 하나인 밑변의 길이와 높이가 같으면 모양과 상관없이 넓이가 같다는 점을 이용하여 다음과 같이 위 문제를 해결하여 봅시다.

먼저 느티나무와 돌탑을 잇는 직선을 그립니다. 그 다음 앞에서 그은 직선과 평행하며 대문을 지나는 직선이 우 물과 돌탑을 이은 직선의 연장선과 만나는 점(E)을 찾습니다. 삼각형 ABC와 삼각형 AEC는 밑변이 같고 높이가 같으므로 넓이가 같습니다. 그러므로 삼각형 AED의 넓이는 사각형 ABCD의 넓이와 같습니다. 따라서 선분 DE의 중점인 F와 A를 연결하는 직선은 주어진 땅의 넓이를 이등분하게 되므로 장승이 서 있던 곳은 점 F임을 알 수 있습니다.

<1> 다음과 같이 두 선분 AB와 BC를 경계로 나뉜 밭이 있습니다. 평소 경계선이 반듯하지 않아 어려움을 느끼던 밭의 주인들이 직선으로 된 새로운 경계선을 만들기로 하였지만 서로 자신에게 유리하게 하려고 다투고 있습니다. 두 사람의 밭의 넓이가 변하지 않으면서 우물(A)을 지나는 직선을 긋는 방법에 대해 설명하여 보시오.

<2> 다음과 같은 삼각형 모양의 빵 조각이 있습니다. 상진이와 선호가 똑같이 반으로 나누어 먹으려고 하는데, 점 P를 지나는 직선으로 자르려고 합니다. 그 방법을 말해 보시오.

경향신문