중등영재교육원 대비 수학 특강] 효율적인 배선 공사

전개도를 그려보자
장난감을 만들어 수출하는 어느 회사에서 늘어나는 물건들을 더 이상 쌓아놓을 공간이 부족해지자 창고를 새로 짓기로 하고 창고 내부의 전등 설치 공사를 미선이네 아버지께 맡기면서 창고의 크기 및 전등과 스위치의 위치를 다음과 같이 알려주었습니다.

“창고는 가로가 30m, 세로가 12m이고 높이가 12m인 직육면체 모양입니다. 전등 스위치는 세로가 12m인 벽면의 가운데에 바닥에서 1m 높이에 설치해 주세요. 전등은 마주보는 반대쪽 벽면의 가운데에 천장에서 1m 내려온 곳에 설치해 주셔야 합니다. 전선이 창고 내부를 가로지르면 위험하니 벽면을 따라 설치해 주시기 바랍니다.”

예전에는 1m에 5000원하던 전선의 가격이 8000원으로 크게 올라서 미선이네 아버지는 사용하는 전선의 길이가 최소가 되게 하려고 고민하고 계십니다. 미선이네 아버지를 도와 전선의 길이가 최소가 되는 방법을 생각해 봅시다. 필요한 전선의 값은 얼마일까요?

입체도형의 겉면을 따라 두 점을 잇는 최단거리를 구하는 문제를 해결할 때는 두 점이 직선으로 연결되는 전개도를 그려내는 것이 중요합니다. 만일 그러한 전개도가 여러 가지일 때는 각각의 직선의 길이를 비교하여 가장 짧은 것을 찾아냅니다. 이 때 각 모서리 사이의 길이 관계, 도형 사이의 닮음비, 필요할 경우 직각삼각형의 각 변의 길이 관계 등을 이용합니다. 창고의 규격 및 스위치와 전등의 위치를 나타내는 겨냥도를 그린 다음, 두 위치를 직선으로 연결하는 전개도를 다음과 같이 나타냅니다.

①의 길이는 1+30+11=42(m)이고, ③에서 피타고라스의 정리를 이용하면 (1+30+1)의 제곱+ (6+12+6)의 제곱=1600=40의 제곱이므로 전선의 길이는 40m입니다. 또한 ②에서 (1+30+6)의 제곱+(6+12-1)의 제곱=1658>1600이므로 전선의 길이가 ③의 길이보다 깁니다. 그러므로 ③일 때가 전선을 가장 짧게 사용하고, 그 때의 가격은 320000원입니다.

<1> 다음과 같은 직육면체 모양의 상자가 있습니다. 이 상자의 겉면을 따라 점 A에서 출발하여 점 B에 이르는 가장 짧은 길의 길이를 구하시오.

<2> 옆면이 모두 정삼각형인 사각뿔의 한 꼭지점 ㄴ에서 출발하여 아래와 같은 길을 따라 점 ㄴ으로 돌아왔습니다. 선분 ㄷㅂ의 길이가 밑면의 모서리의 길이의 3/10일 때 최단거리이고, 선분 ㄱㅇ의 길이가 3cm입니다. 사각뿔의 모서리의 길이는 몇 cm입니까?

경향신문