[영재교육원 수학특강] 도형의 개수(2)

도형 셀 때, 분류 기준잡기 가장 중요－
영재교육원 시험에서 자주 등장하는 도형의 개수 구하기 문제는 그 유형이 너무 다양하여 그 해결방법 또한 구체적인 사례별로 살펴보는 것이 좋을 듯싶다. 지난 호에서 소개했던 기출문제들을 중심으로 살펴보자.

직사각형의 개수
도형의 개수 문제 중에서 가장 자주 나오는 문제가 직사각형의 개수를 묻는 문제이다.

다음 그림에서 찾을 수 있는 크고 작은 직사각형은 모두 몇 개입니까?

이 문제는 원 위의 점을 잇는 삼각형의 개수를 구하는 문제와 같이 공식을 써서 해결할 수 있다. 사각형은 세로로 6개의 선 중에서 2개의 선을 선택하고, 세로로 4의 선 중에서 2개의 선을 선택하는 방법의 수와 같으므로 만들 수 있는 직사각형의 개수는

이 방법을 쓰지 않으면 대부분은 크기와 모양에 따라 분류하는 방법을 이용한다.
작은 직사각형은 1개로 이루어진 직사각형(□)은 5×3＝15개, 가로로 작은 직사각형 2개로 이루어진 직사각형( □□ )은 세어 보면 12개, 가로로 작은 직사각형 3개로 이루어진 직사각형( □□□ )은 세어 보면 9개 등등

그러나 이런 식으로 세다 보면 실수하기 마련이다. 무려 도형의 개수가 90개이다 보니 이것을 빠지지 않고 세는 것은 참으로 어려운 일이다. 그렇다고 이해하지 못하는 공식을 강요해서는 더욱더 안 될 일이다.

직사각형의 개수는 규칙을 이용하면 편리하게 셀 수 있다.
먼저 가로로 놓인 5개의 작은 사각형(한 줄로 된)으로 이루어진 도형의 직사각형의 개수를 센다.

1개짜리 직사각형은 5개, 2개짜리 직사각형은 4개, 3개짜리 직사각형은 3개, … 즉 가로로 놓인 직사각형의 개수는 5＋4＋3＋2＋1＝15(개)가 된다. 이런 식으로 하면 만일 가로로 놓인 사각형이 7개이면 찾을 수 있는 직사각형의 개수는 7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28(개)라는 것쯤은 쉽게 생각할 수 있을 것이다. 그렇다면 세로로 놓인 3개의 작은 사각형으로 된 도형에서 찾을 수 있는 직사각형의 개수는 마찬 가지 방법으로 3＋2＋1＝6(개)가 된다.

이제 찾을 수 있는 직사각형의 개수는 가로로 한 줄 놓인 직사각형의 개수와 세로로 한 줄 놓인 직사각형의 개수를 곱하면 되므로 15×6＝90(개)가 되는 것이다.

직사각형의 개수 문제는 교과서의 문제 푸는 방법 찾기 단원에도 나오는 문제이므로 여전히 경시 문제로는 많이 출제되지만 최근 영재교육원 문제로는 잘 나오지 않는 편이다.

2007년 교대 문제는 직사각형이긴 하지만 개수가 아니라 가짓수를 묻는 문제가 나왔고, ♧를 포함하는 직사각형을 구하는 문제로 오히려 개수보다는 철저하게 따지는 문제로 출제되었다.

[2007 서울교대]
다음 그림에서 ♣를 포함하는 직사각형은 모두 몇 가지입니까? 단, 돌리거나 뒤집어서 같은 모양은 한 가지로 보되 ♣의 위치가 다르면 다른 모양으로 봅니다.

철저하게 따지는 문제는 중복되지 않고, 빠짐없이 세는 것이 중요하다. 따라서 나름대로의 기준을 정해 분류하여 차근차근 세어 나가야 한다. 위의 문제에서 분류하는 기준은 ♣를 포함하는 작은 사각형의 개수이다. 따라서 사각형의 개수가 1개일 때, 직사각형은 당연히 1가지이다. 사각형의 개수가 2개일 때, ♣의 위치가 좌우 상하 모두 있지만 돌리거나 뒤집으면 같은 모양이므로 1가지뿐이다.

사각형의 개수가 3개일 때, 다음과 같은 3가지가 있다. 하지만 첫째 번 모양과 셋째 번 모양은 돌리면 같아지므로 2가지 모양이 나온다.

사각형의 개수가 4개일 때는 다음과 같이 2가지 모양의 직사각형 모양이 나옴에 주의해야 한다.

다음과 같이 왼쪽 모양은 4가지가 나오지만 돌리면 같은 모양이므로 1가지이고, 오른쪽 모양은 2가지이므로 모두 3가지가 있다.

같은 방법으로 개수에 따라 ♣이 포함된 직사각형의 가짓수를 알아보면 사각형의 개수가 5개일 때는 1가지, 사각형의 개수가 6개일 때는 2가지, 사각형의 개수가 8개일 때 2가지, 사각형의 개수가 9개일 때 2가지, 사각형의 개수가 10개일 때 1가지, 사각형의 개수가 12개일 때 1가지 모양이 나온다. 따라서 ♣를 포함하는 직사각형은 모두 16가지가 나온다.

사실 도형 세기에서 분류하여 세는 방법이 가장 많이 쓰인다. 직사각형의 개수를 구하는 문제에서 분류하여 세는 것이 어려운 일이라 했지만 그건 어디까지나 특수한 경우이고, 대부분의 방법은 분류하여 세기를 해야 한다. 이 때 분류의 기준을 잘 잡아야 하고, 그 기준에 맞게 차근차근 잘 따져 나가야 한다.

점을 이어 그릴 수 있는 도형의 개수
2007년에 서울시 교육청 영재교육원과 서울 외 지역 교육청에서 출제된 두 문제는 점을 이어 그릴 수 있는 도형의 개수 문제이다.

[2007 서울시 교육청]
다음 9개의 점 중에서 3점을 연결하여 삼각형을 그릴 때, 삼각형의 세 꼭지점에 있는 수의 합이 15가 되는 경우는 몇 가지입니까?

1에서 9가지의 수 중에서 세 수를 더해 15가 되는 경우를 찾으면 다음과 같이 8가지가 나온다.
(1, 5, 9), (1, 6, 8), (2, 4, 9), (2, 5, 8),
(2, 6, 7), (3, 4, 8), (3, 5, 7), (4, 5, 6)
이 중에서 (1, 5, 9), (2, 5, 8), (3, 5, 7), (4, 5, 6) 4가지는 세 점이 일직선상에 놓이므로 삼각형을 만들 수 없다. 따라서 만들 수 있는 삼각형은 4가지가 된다.

[2007 교육청]
다음 점을 이어서 만들 수 있는 사각형은 모두 몇 개입니까?

이 문제는 서울시 교육청 문제와는 달리 상당히 고난도의 문제이다. 점을 이어 그릴 수 있는 서로 다른 사각형을 모두 구한 후 각각의 개수를 세야 한다. 이때 간단한 도형부터 작은 순서대로 차례로 찾아본다.

따라서 구하는 사각형의 개수는 모두 58개이다.


다음과 같이 15개의 점이 정삼각형 모양으로 놓여 있습니다. 물음에 답하시오,

(1) 넓이가 다른 정삼각형은 모두 몇 가지입니까?
(2) (1) 에서 찾은 넓이가 다른 정삼각형은 각각 몇 개씩 있습니까?
2006년 경원대 문제는 점을 이어 그릴 수 있는 정삼각형의 개수를 구하는 문제이다, 다음과 같은 모양도 정삼각형임을 주의하면 어렵지 않게 풀 수 있을 것이다.

경향신문