경화는 연못에서 서식하는 플랑크톤의 생태를 관찰하기 위해 실험실에 모두 5개의 수조를 준비해 놓고 각각의 수조마다 서로 다른 개체수의 플랑크톤을 기르고 있습니다. 각각의
수조에는 플랑크톤의 수를 헤아려 개체수를 나타내는 장치가 있어서 개체수의 변화가 있을 때마다 자동으로 수조 안의 플랑크톤의 수를
표시합니다.
어느 날 경화와 같은 실험조인 석이가 개체수 표시기의 프로그램을 잘못 건드려 개체수가 각 자리 숫자의 합으로 나타나게 변하였습니다. 당황한 석이가 수조 A, B, C, D, E의 표시기의 수를 살펴보니 각각 46, 37, 28, 19, 10을 나타내고 있었습니다. 뒤늦게 나타난 경화가 이것을 보더니 잠시 고민을 한 후 각 수조에 플랑크톤을 하나씩 더 넣어 보았습니다. 그러자 5개의 수조에 붙어있는 개체수 표시기의 수가 모두 2로 변하였습니다. 깜짝 놀란 석이를 빤히 바라보던 경화는 원래 각 수조에 있던 플랑크톤의 수를 모두 알았다며 프로그램을 고쳐 놓으라고 하고는 유유히 사라졌습니다. 경화는 어떻게 개체수를 알 수 있었을까요? 또, 각 수조 안에 있던 플랑크톤의 수는 각각 얼마일까요? 단, 각 수조에 들어있는 플랑크톤의 수는 모두 십만 자리의 수입니다.
어떤 수에 1을 더하였을 때 각 자리의 숫자의 합이 어떻게 변하는지 생각해 봅시다. 만일 1을 더해도 받아올림이 없다면 각 자리 숫자의 합은 1만큼 커지게 됩니다. 만일 일의 자리에서만 받아올림이 있다면 십의 자리의 숫자는 9가 아니고 일의 자리의 숫자는 9가 돼야 하므로 1을 더한 수는 일의 자리 숫자는 0이 되어 9만큼 작아지고 십의 자리 숫자는 1만큼 커지므로 전체 숫자의 합은 8만큼 작아집니다. 마찬가지 방법으로 생각하면 일의 자리와 십의 자리에서만 받아올림이 있는 경우는 숫자의 합이 17만큼 작아지고, 받아올림이 일의 자리부터 연속하여 3번, 4번, 5번인 경우에 각 자리 숫자의 합은 각각 26, 35, 44만큼 작아집니다.
각 수조의 개체수가 1만큼씩 늘어났을 때 수조에 장치되어 있는 개체수 표시기의 숫자의 합이 작아졌으므로 각각 받아올림이 있었음을 알 수 있습니다. 먼저 10에서 2로 작아진 수조 E에 대하여 생각해보면, 최소한 한 번의 받아올림이 있어야 하므로 일의 자리는 9이고, 8만큼 작아졌으므로 받아올림은 일의 자리에서만 있습니다. 그런데 원래의 각 자리 숫자의 합이 10이었으므로 십의 자리 이상에서 자릿수가 1인 경우가 한 번만 있어야 하고, 십만 자리의 수이므로 E에 있던 개체수는 10만0009임을 알 수 있습니다.
같은 방법으로 생각하여 원래의 개체수를 구해 보면, 수조 D는 17만큼 작아졌으므로 10만0099, 수조 C는 26만큼 작아졌으므로 10만0999, 수조 B는 35만큼 작아졌으므로 10만9999, 수조 A는 44만큼 작아졌으므로 19만9999임을 알 수 있습니다. 이와 같은 자연수의 각 자리 숫자의 합과 받아올림 사이의 관계를 이용하여 다음 문제를 해결해 봅시다.
<1> 각 자리 숫자의 합이 12인 두 자리 자연수 AB가 있습니다. 이 자연수보다 1 큰수의 각 자리 숫자의 합은 4입니다. AB를 구하시오.
<2> 두 연속하는 자연수의 각 자리 숫자의 합의 차가 7의 배수가 되는 가장 작은 두 수를 구하시오.
<3> 각 자리 숫자의 합이 8로 나누어떨어지는 자연수수가 있습니다. 이 수에 1을 더하여 얻은 수의 각 자리 숫자의 합도 8로 나누어떨어집니다. 조건을 만족하는 세 자리 수는 모두 몇개입니까?
<4> 어떤 자연수의 각 자리 숫자들의 합이 5로 나누어떨어지고, 이 수에 1을 더하여 얻은 수의 각 자리의 숫자들의 합도 5로 나누어떨어진다고 합니다. 이러한 수 중 가장 작은 수는 얼마입니까?
경향신문
어느 날 경화와 같은 실험조인 석이가 개체수 표시기의 프로그램을 잘못 건드려 개체수가 각 자리 숫자의 합으로 나타나게 변하였습니다. 당황한 석이가 수조 A, B, C, D, E의 표시기의 수를 살펴보니 각각 46, 37, 28, 19, 10을 나타내고 있었습니다. 뒤늦게 나타난 경화가 이것을 보더니 잠시 고민을 한 후 각 수조에 플랑크톤을 하나씩 더 넣어 보았습니다. 그러자 5개의 수조에 붙어있는 개체수 표시기의 수가 모두 2로 변하였습니다. 깜짝 놀란 석이를 빤히 바라보던 경화는 원래 각 수조에 있던 플랑크톤의 수를 모두 알았다며 프로그램을 고쳐 놓으라고 하고는 유유히 사라졌습니다. 경화는 어떻게 개체수를 알 수 있었을까요? 또, 각 수조 안에 있던 플랑크톤의 수는 각각 얼마일까요? 단, 각 수조에 들어있는 플랑크톤의 수는 모두 십만 자리의 수입니다.
어떤 수에 1을 더하였을 때 각 자리의 숫자의 합이 어떻게 변하는지 생각해 봅시다. 만일 1을 더해도 받아올림이 없다면 각 자리 숫자의 합은 1만큼 커지게 됩니다. 만일 일의 자리에서만 받아올림이 있다면 십의 자리의 숫자는 9가 아니고 일의 자리의 숫자는 9가 돼야 하므로 1을 더한 수는 일의 자리 숫자는 0이 되어 9만큼 작아지고 십의 자리 숫자는 1만큼 커지므로 전체 숫자의 합은 8만큼 작아집니다. 마찬가지 방법으로 생각하면 일의 자리와 십의 자리에서만 받아올림이 있는 경우는 숫자의 합이 17만큼 작아지고, 받아올림이 일의 자리부터 연속하여 3번, 4번, 5번인 경우에 각 자리 숫자의 합은 각각 26, 35, 44만큼 작아집니다.
각 수조의 개체수가 1만큼씩 늘어났을 때 수조에 장치되어 있는 개체수 표시기의 숫자의 합이 작아졌으므로 각각 받아올림이 있었음을 알 수 있습니다. 먼저 10에서 2로 작아진 수조 E에 대하여 생각해보면, 최소한 한 번의 받아올림이 있어야 하므로 일의 자리는 9이고, 8만큼 작아졌으므로 받아올림은 일의 자리에서만 있습니다. 그런데 원래의 각 자리 숫자의 합이 10이었으므로 십의 자리 이상에서 자릿수가 1인 경우가 한 번만 있어야 하고, 십만 자리의 수이므로 E에 있던 개체수는 10만0009임을 알 수 있습니다.
같은 방법으로 생각하여 원래의 개체수를 구해 보면, 수조 D는 17만큼 작아졌으므로 10만0099, 수조 C는 26만큼 작아졌으므로 10만0999, 수조 B는 35만큼 작아졌으므로 10만9999, 수조 A는 44만큼 작아졌으므로 19만9999임을 알 수 있습니다. 이와 같은 자연수의 각 자리 숫자의 합과 받아올림 사이의 관계를 이용하여 다음 문제를 해결해 봅시다.
<1> 각 자리 숫자의 합이 12인 두 자리 자연수 AB가 있습니다. 이 자연수보다 1 큰수의 각 자리 숫자의 합은 4입니다. AB를 구하시오.
<2> 두 연속하는 자연수의 각 자리 숫자의 합의 차가 7의 배수가 되는 가장 작은 두 수를 구하시오.
<3> 각 자리 숫자의 합이 8로 나누어떨어지는 자연수수가 있습니다. 이 수에 1을 더하여 얻은 수의 각 자리 숫자의 합도 8로 나누어떨어집니다. 조건을 만족하는 세 자리 수는 모두 몇개입니까?
<4> 어떤 자연수의 각 자리 숫자들의 합이 5로 나누어떨어지고, 이 수에 1을 더하여 얻은 수의 각 자리의 숫자들의 합도 5로 나누어떨어진다고 합니다. 이러한 수 중 가장 작은 수는 얼마입니까?
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