문제에서 요구하는 여러 가지 모양의 가짓 수를 찾기 위해서는 1) 먼저 일정한 기준을 정한 모양에서 2) 남은 도형을 돌려가며 붙이는 방법으로 빠짐없이 그리고 중복되지 않게 가능한 모든 모양을 찾아낼 수 있음을 소개했었다. 물론 이 경우에도 돌리거나 뒤집었을 때 이 전에 만든 모양과 중복이 되는지 여부는 항상 꼼꼼히 따져봐야 한다. 이제 비슷한 다른 문제를 몇 문제 더 풀어 보자.
<2006년 교육청 초등 4>
1. 정삼각형을 변끼리 완전히 붙여서 만들 수 있는 도형을 찾고 있습니다. 예를 들면 아래 그림은 정삼각형 3개를 변끼리 붙여서 만든 도형입니다.
(1) 정삼각형 4개를 변끼리 붙여서 만들 수 있는 도형을 그림으로 모두 나타내어 보시오. (단, 뒤집거나 돌려서 같은 것은 하나로 간주합니다.)
(2) 아래 그림은 각 변에 ①, ②, ③을 붙인 3개의 정삼각형을 같은 번호끼리 (①번과 ①번, ②번과 ②번) 변을 붙인 그림 중 하나입니다. 이 때 둘레에 있는 수의 합은 2+3+1+3+3=12임을 알 수 있습니다.
각 변에 번호 ①, ②, ③을 시계반대방향으로 붙인 삼각형 4개를 위와 같은 방법으로 붙이려고 합니다. 위 문제 (1)에서 볼 수 있는 답의 모양 중 변끼리 붙이는 방법에 관계없이 둘레에 있는 수의 합이 항상 일정한 것을 찾아 모양을 그려보고, 그 이유를 적으시오.
(3) 문제 (2)와 같이 번호 ①, ②, ③을 붙인 4개의 정삼각형을 변끼리 붙여서 만든 여러 가지 도형 중, 둘레에 남아 있는 수의 합이 최대가 되는 모양을 찾아 그려 보고, 번호를 붙여 보시오.
<2006년 교육청 초등 4>
2. 다음 [그림 1]은 한 변이 1cm인 정사각형 2개와 정삼각형 1개가 붙어 있는 모양입니다. [그림 1]의 모양에 한 변이 1cm인 정삼각형 2개를 추가하여 [그림 2]처럼 변끼리 완전히 겹쳐서 만들 수 있는 모양을 모두 그려 보세요. 단, 돌리거나 뒤집어서 겹쳐지는 것은 하나로 보며, [그림 3]과 같이 도형의 안쪽으로 붙이는 것은 제외됩니다.
< 2007 교육청 초등 6>
3. 다각형의 어느 변을 연장하여도 그 연장된 선이 그 다각형의 내부를 지나지 않는 도형을 볼록다각형이라 합니다. 볼록다각형은 각각의 내각이 180°보다 작습니다. [보기 1]은 한 변의 길이가 1인 정사각형과 정삼각형을 붙여 모든 변의 길이가 1이고, 한 내각의 크기가 180°보다 작은 볼록다각형을 그린 것입니다.
[보기 1]과 같이 한 변의 길이가 1인 볼록다각형을 7가지 그려 보시오. 단, 돌리거나 뒤집어서 겹쳐지는 것은 하나로 보며, 정삼각형과 정사각형은 무한히 많다고 가정합니다. [보기 2]의 도형은 한 내각의 크기가 180°가 넘거나 한 변의 길이가 1보다 크므로 조건에 맞지 않는 도형입니다.
문제 1의 (1)은 이미 말씀드린 방법대로 정삼각형 3개를 붙여 만든 모양에서 하나의 정삼각형을 모양 주위에 돌려 가면서 붙이면 된다.
5가지 모양이 나오지만 ②와 ⑤, ③과 ④는 같은 모양이므로 결국 3가지 모양이 된다.
(2)번은 (1)의 답 3가지 모양 중 변 끼리 붙이는 방법에 관계없이 둘레에 있는 수의 합이 항상 일정한 것을 찾아야 하는데, 그러기 위해서는 붙여지는 세 개의 변이 모두 다르면 된다. 즉 ①, ②, ③번호를 가진 변이 모두 한 번씩 붙여지는 경우를 찾으면 된다는 말이다. (1)의 답 중 ①번 그림은 항상 가운데 삼각형의 세 변이 다른 삼각형과 한 번씩 겹쳐지게 되므로 바로 이 경우에 해당한다. 정삼각형 한 개의 둘레에 있는 수의 합은 1+2+3=6이고, 정삼각형 4개는 6×4=24가 되지만 가운데 삼각형 한 개의 둘레와 그와 겹쳐지는 세 변의 수의 합이 같으므로 결국 어떤 경우라도 삼각형 2개의 둘레의 합이 겹쳐져서 빠지는 꼴이 된다.
따라서 ①번 그림의 둘레에 있는 수의 합은 항상 24-(2×6)=12로 일정하다.
①번 그림 말고도 ③번 그림 역시 겹쳐지는 세 개의 변의 수가 모두 다르게 되는데 그 이유는 이렇다. 똑 같은 삼각형 두 개를 길이가 같은 변이 겹쳐지게 붙이면 평행사변형이 된다는 것은 대부분 알고 있을 것이다. 이 때 평행사변형에서 평행하게 서로 마주 보는 두 변은 길이가 같으므로 서로 같은 변이다. 여기서는 세 변의 길이가 모두 같은 정삼각형이지만 변마다 다른 수를 부여했기 때문에 마찬가지로 이해할 수 있다.
즉 두 개의 정삼각형이 붙여졌을 때에도 평행사변형 형태로 서로 마주보는 변끼리는 같은 변의 수를 갖게 되는 것이다.
따라서 ③번 그림도 역시 겹쳐지는 세 변이 결국 서로 다른 변임을 알 수 있고 마찬가지로 둘레에 있는 수의 합은 항상 12로 일정하게 된다.
그렇다면 왜 (1)번 답의 ②번 그림은 둘레의 수의 합이 일정하지 않게 되는지도 같은 원리로 생각할 수 있어야 한다. ②번 그림을 보면 겹쳐지는 세 변 중 2개의 변이 서로 평행사변형 모양에서 마주보는 변의 관계에 있는 것을 알 수 있다. 따라서 2개는 같은 변이고 1개가 다른 변이기 때문에 붙이는 변의 수에 따라서 둘레의 수의 합이 달라질 수밖에 없는 것이다.
이런 이유로 (3)번 문제가 요구하는 둘레의 수의 합이 최대가 되는 모양은 바로 ②번 모양에서만 가능하게 된다는 사실이 자연스럽게 연결됨을 알 수 있을 것이다. 문제란 항상 이런 식이다. (2)번 문제를 이해하지 못하면 (3)번 역시 어려운 문제가 되겠지만, 역으로 (2)번 문제를 알고 나니 (3)번 문제는 식은 죽 먹기다.
겹쳐지는 변의 수가 최소가 되어야 하므로 변의 수 1이 두 번, 2가 한 번 겹쳐지게 만들면 된다. 다만 그러기 위해서는 (1)번 답의 ②번 모양이 아닌 뒤집은 ⑤번 모양으로 해야 한다. 변의 수가 시계 반대방향으로 돌기 때문이다.
문제 2번 역시 일정한 기준을 정해 경우를 나누고 그 각각에 대해서 나머지 삼각형들을 모양 주위에 돌려가며 붙이는 방법을 그대로 적용하면 된다. 고맙게도 문제에서 이미 기준을 정해 분류해 놓았으므로 삼각형 2개가 어떻게 돌려가며 붙여지는지 살펴보자.
기준 없이 무작정 찾았더라면 역시 쉽지 않은 문제였다. 복잡한 도형에서 여러 가지 원하는 모양의 가짓수를 찾는 대부분의 문제가 다 그렇듯이 일시에 모든 경우를 생각해내기란 무리다. 하지만 일정한 기준으로 범위를 나누어 생각한다면 그만큼 집중력이 높아지므로 세밀한 판단이 가능해지는 법이다. 복잡한 상황을 단순화시켜 해결하는 능력 그것이 수학을 통해 우리가 배우는 지혜가 아닐까 싶다.
경향신문
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