누나가 집을 비우기만을 기다리던 장난꾸러기 동생 성준이는 절대 건드리지 말라고 신신당부한 선경이의 말에 오히려 호기심이 생겨 각각의 상자에 들어있는 선물들을 뒤적거리더니 개수를 세어 보고는 선물이 가장 적게 들은 상자를 제외한 나머지 상자에서 각각 1개씩의 선물을 꺼내어 가장 적게 든 상자에 담아 놓고 상자들을 뒤섞어 놓았습니다.
평소 성준이의 성격을 잘 아는 선경이는 집에 돌아오자마자 상자들이 제대로 있나 확인하려고 각 상자에 들어 있는 선물의 개수를 세어 보기 시작했습니다. 누나에게 혼이 날까 봐 무서워하던 성준이는 옆에서 텔레비전을 보는 척하며 눈치를 살피고 있었습니다. 그런데 모든 상자의 선물의 개수를 세어 본 선경이가 “전부 그대로 있네.”라며 성준이가 상자들을 건드렸다는 사실을 전혀 눈치 채지 못하였습니다. 과연 어떻게 된 일일까요?
성준이가 개수가 가장 적은 상자를 제외한 나머지 상자에서 한 개씩을 꺼내어 가장 적게 든 상자에 담고 상자를 섞어 놓았는데도 눈치 채지 못한 것은 상자에 들어 있는 선물의 개수가 변하지 않은 것처럼 보이기 때문입니다. 즉, 처음 각 상자의 선물의 개수가 1개씩 차이 나는 연속수였기 때문에 성준이의 장난 후에는 가장 적게 들었던 상자가 가장 많이 든 상자가 되면서 나머지 상자들은 한 개씩 줄어 전체적으로는 변화가 없는 것처럼 보이게 됩니다. 42를 연속하는 수의 합으로 나타내는 방법은 (13+14+15), (9+10+11+12), (3+4+5+6+7+8+9)의 세 가지이므로 선경이는 처음에 3개, 4개 또는 7개의 상자에 선물을 각각 한 개씩 차이 나도록 담은 것입니다.
연속하는 자연수는 여러 가지 재미있는 성질을 갖고 있습니다. 그 중 아래에 제시된 문제들에 사용된 성질은 연속수의 개수와 합 사이의 배수 관계입니다. 연속하는 자연수의 합을 S라고 할 때, 만일 연속수의 개수가 홀수 개이면 S는 연속수의 중간 수의 배수이면서 동시에 연속수의 개수의 배수가 됩니다. 반대로 연속수의 개수가 짝수 개이면 S를 2배한 수는 연속수의 개수의 배수가 됩니다. 이를 이용하여 다음 문제들을 해결하여 봅시다.
<1> 9개의 연속하는 자연수의 합으로 나타낼 수 있는 수가 있습니다. 또한 이 수는 10개의 연속수의 합으로도 나타낼 수 있고, 11개의 연속수의 합으로도 나타낼 수 있다고 합니다. 이러한 조건을 만족하는 가장 작은 수를 구하시오.
<2> 10개의 연속하는 자연수가 있습니다. 이 중에서 짝수인 수를 모두 더하였더니 250이고, 3의 배수인 수를 모두 더하였더니 153입니다. 10개의 연속수 중 가장 작은 수는 얼마입니까?
<3> 1부터 차례대로 자연수가 쓰여진 종이 테이프가 있습니다. 이 테이프의 중간에서 연속하는 6개의 수가 들어가도록 일부분을 잘라내었더니 6개의 수의 합이 테이프의 마지막 수와 같아졌습니다. 같은 모양의 테이프를 이용하여 마찬가지 방법으로 각각 10개, 13개의 수가 들어가도록 테이프를 잘라낸 다음 그 합을 구하였더니 테이프의 마지막 수와 모두 같았습니다. 이 테이프의 마지막 수를 구하시오. 단, 500보다는 작은 수입니다.
<4> 지상이가 살고 있는 아파트 단지에는 동 번호가 1동부터 차례대로 매겨져 있습니다. 지상이네 집을 찾아 나선 병요가 지상이에게 몇 동이냐고 물었더니 “내가 살고 있는 아파트 단지의 동 번호를 모두 더하면 60이야.”라고 대답하였습니다. 하지만 병요는 지상이가 자기가 살고 있는 아파트 동 번호는 빼고 더하였다는 것을 알았습니다. 지상이네 아파트는 몇 동입니까?
<5> 하루 단위로 날짜가 표시되어 있어 매일매일 한 장씩 찢어내는 달력이 있습니다. 지난 2000년에 경화네 아버지께서 지방으로 7일간 출장을 다녀오셨습니다. 경화가 아버지께서 출장을 떠나신 날부터 찢어놓은 달력의 날짜를 아버지께서 돌아오신 날까지 모두 더해 보았더니 50이 되었습니다. 아버지께서 돌아오신 날은 몇 월 며칠입니까?
경향신문
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