논리수학학원 053-290-7786 수학기초영재교육 : 영재교육원 수학특강] 도형의 개수(1)

점 연결해 도형 만드는 방법의 수는?-

도형의 개수를 세는 문제는 도형의 개념과 성질뿐만 아니라 과제해결 방법을 알고 있어야 하기에 교과 지식의 바탕 위에 사고력을 측정하는 영재교육원 선발 시험에 자주 출제되는 유형 중의 하나이다. 하지만 도형의 개수를 세는 전형적 문제는 공식만 알면 푸는 문제가 많다 보니 출제 의도와는 달리 문제 유형과 푸는 방법을 외워버리는 경우를 종종 보아왔다.

다음 그림과 같이 원 위에 7개의 점이 있습니다. 이 중 세 개의 점을 연결하여 삼각형을 만드는 방법은 모두 몇 가지인지 쓰시오.

필자 또한 이 문제를 필자가 관여하는 어떤 시험에서 서술형으로 출제한 적이 있다. 아이들이 어떤 식으로 푸는지 보기 위함이었다. 결론적으로 이 문제의 정답률은 3% 이내로 극히 저조했다. 이 문제에서 정답을 쓴 초등학생들은 대부분 상위권이었지만 답은 맞았더라도 풀이 과정이 맞지 않아 실제로는 한 명도 이 문제를 제대로 풀었다고는 볼 수 없었다.

대부분의 아이들은 직접 삼각형을 그려보며 세었다. 나름대로 기준을 잡고 열심히 그리면서 중복이 되지 않게 세었지만 안타깝게도 정답인 35개를 다 찾아낸 아이는 없었다. 소수지만 답을 맞게 쓴 아이들은 그래도 직접 삼각형을 그려 세지는 않았다. 단지 다음과 같은 식이 써 있었다.

물론 조합을 배운 고등학생의 풀이가 이렇다면 당연히 맞는 풀이와 답이지만 초등학생의 경우에는 단지 푸는 방법만을 외운 것으로밖에 볼 수 없기에 점수를 주지 않았다. 이 문제는 2004년에 교육청 영재교육원 시험 문제로 다시 출제되었다. 하지만 위에서와는 약간 다르게 곧장 삼각형의 개수를 묻지 않고 중간 단계를 한 번 거쳐 물음으로써 답을 찾는 원리를 암시해 주었다.

[2004 교육청 영재교육원]
다음 그림과 같이 원 위에 7개의 점을 찍었습니다. 물음에 답하시오.

(1) 각 점에서 남은 6개의 점에 각각 연결하여 만들 수 있는 선분은 모두 몇 개입니까?
(2) 원 위의 7개의 점 중에서 3개의 점을 이어 만들 수 있는 서로 다른 삼각형은 모두 몇 개입니까?

먼저 교육청 문항과는 관계없이 7개의 점 중에서 3개의 점을 이어 그릴 수 있는 삼각형의 개수를 구해 보자.

▶ 방법 1 - 조합을 배운 고등학생의 경우
문제에서 원 위에 점을 찍은 이유는 원의 성질상 원 위의 어떤 세 점도 일직선상에 있지 않다는 것이다. 그래서 어떤 세 점을 잇더라도 일직선이 되지 않고, 삼각형이 된다는 것이다. 따라서 삼각형의 개수는 원 위의 7개의 점 중에서 3점을 택하는 방법의 수와 같다.

▶ 방법 2 - 초등학생의 경우
① 7개의 점 중에서 2개의 점을 이어 만들 수 있는 선분의 개수를 먼저 구한다. 점 ㄱ에서 다른 6개의 점을 이으면 6개의 선분이 만들어진다. 즉 한 개의 점에서 다른 6개의 점을 이으면 6개씩의 선분이 만들어진다.

그런데 7개의 점이 있으므로 선분은 모두 7×6＝42(개) 이다. 그런데 점 ㄱ 에서 점 ㄴ 에 그은 선분은 점 ㄴ에서 점 ㄱ으로 그은 선분과 같으므로 위에서 만든 항상 2개씩 중복된다. 따라서 선분의 개수는 (7×6)÷2＝21(개)가 된다.
② 선분과 선분위에 있지 않은 다른 한 점을 이어서 만들 수 있는 삼각형의 개수를 구한다.

선분 ㄱㄴ과 점 ㄱ, ㄴ을 제외한 어느 한 점을 이으면 삼각형이 만들어진다. 따라서 선분 ㄱㄴ과 다른 점을 이어서 만들 수 있는 삼각형은 모두 5개가 된다. 즉 한 선분으로 만들 수 있는 삼각형은 각각 5개씩이고, ①에서 만든 선분은 모두 (7×6)÷2＝21(개)이므로 만들 수 있는 삼각형은 21×5＝105 (개) 가 된다. 그런데 위의 그림에서 보는 것과 같이 선분 ㄱㄴ과 점 ㅁ, 선분 ㄴㅁ과 점 ㄱ, 선분 ㅁㄱ과 점 ㄴ으로 만들어지는 삼각형은 모두 같은 삼각형이다. 이런 식으로 전체 만들 수 있는 105개의 삼각형 중에서 3개씩은 중복되므로 결국 삼각형의 개수는 105÷3＝35(개)가 되는 것이다. 이것을 순차적으로 식으로 나타내면 [방법 1]에서 구한 식과 같다.

도형의 개수를 구하는 문제는 무작정 그려 보고 개수를 세어서는 정답을 맞히기가 어렵다. 뿐만 아니라 설령 문제를 푸는 공식(조합)을 외워서 풀었더라도 그 과정이 없으면 점수를 얻기는 어렵다. 따라서 위에서 제시한 [방법 2]처럼 수학적 원리를 써서 문제를 해결해야 하고, 그것이 문제를 출제한 의도인 것이다. 그런 면에서 [2004년 교육청 문제]의 소 문항 (1)은 바로 도형의 개수를 세는 원리를 제시한 것이다.
이번 주제는 이처럼 도형의 개수를 정확하게 세는 원리와 그 방법에 대해 알아보려고 한다. 이제 최근에 나왔던 여러 가지 기출문제들을 살펴보자.

[2007 서울교대]
다음 그림에서 ♣를 포함하는 직사각형은 모두 몇 가지입니까? 단, 돌리거나 뒤집어서 같은 모양은 한 가지로 보되 ♣의 위치가 다르면 다른 모양으로 봅니다.