중등영재교육원 대비 수학 특강]기름을 아껴라

빈 차로 움직이는 거리 줄이기
진섭이네 아버지께서는 트럭을 이용하여 화물을 운송하는 회사를 하고 계십니다. 이 회사에는 총 20대의 트럭이 있는데, 주로 철근이나 모래 등 건설 자재 수송을 주로 하고 있습니다.

어느 날 어두운 표정으로 집으로 돌아온 진섭이 아버지께서 한숨을 내쉬며 매일 같이 오르는 기름값 때문에 회사가 어려워지고 있다고 걱정을 하셨습니다. 옆에서 지켜보던 진섭이는 아버지를 도울 방법이 혹시 있지 않을까해 화물 운반 노선도를 살펴보았습니다.

이 노선도를 따라 20대 중 10대는 A에 있는 모래 채취장에서 B에 있는 공사 현장까지 60대분의 모래를 운반하고, 나머지 10대는 C에 있는 제철소에서 D에 있는 창고까지 40대분의 철근을 운반하고 있었습니다. 평소 수학을 좋아하던 진섭이가 노선도를 자세히 살펴보더니 지금의 연료비를 확 줄일 수 있는 방법이 있다며, 그러기 위해서는 빈 차로 움직이는 트럭이 되도록 적어야 한다고 했습니다. 과연 진섭이의 아이디어는 무엇일까요?

수학은 일상생활에서 발생할 수 있는 여러 가지의 경우 가운데 가장 효율적인 방법을 찾는데 있어 매우 효과적인 도구이며, 이러한 유형의 문제를 최적 계획이라고 합니다. 위 문제에서 10대의 트럭으로 각각 모래와 철근을 운반하면 한 대분의 모래와 철근을 운반하는데 각각 30㎞, 36㎞를 빈 차로 달리게 됩니다. 이 방법으로 각 수송량을 모두 운반하려면 30×50+36×30=2580㎞를 빈 차로 달려야 합니다. (마지막에는 돌아올 필요가 없다고 생각합니다.) 그런데 한 대가 길을 따라 A→B→C→D→A로 돌면서 모래와 철근을 순서대로 운반하면 빈 차로 24+9=33㎞를 달리게 됩니다. 트럭 20대로 A에서 B로 모래를, C에서 D로 철근을 운반하고 A로 오는 것을 두 번 반복하면 철근은 모두 운반하게 되므로 다시 A에서 B로 모래만 한 번 운반하면 됩니다. 이 때 빈 차로 달린 총 거리는 33×40=1320㎞이므로 종전보다 무려 1260㎞, 약 49%의 거리만큼의 이익을 볼 수 있습니다.

<1> 경화는 사과, 감, 포도 모양을 점토로 빚고, 석이는 그 점토를 색칠합니다. 경화가 세 모양을 만드는 데 걸리는 시간은 순서대로 각각 4분, 9분, 6분이고 석이가 색칠하는 데 걸리는 시간은 순서대로 각각 8분, 7분, 5분입니다. 세 가지 모양을 만들고 색칠하는 데 걸리는 최소 시간을 구하시오.

<2> 길이가 10m인 철근을 길이가 각각 3m, 4m인 두 가지 길이로 잘라 각각 100개씩을 만들어야 합니다. 길이가 10m인 철근은 적어도 몇 개가 필요합니까?

<3> 자동차 경주 대회가 사막에서 열립니다. 6일을 달려야 하고, 차에는 4일간의 연료를 실을 수가 있습니다. 한 차가 통과하기 위해 다른 차가 사막에서 연료를 공급하는데, 이 차들도 기름이 없어서 사막에서 멈추면 안 됩니다. 몇 대의 차가 며칠 동안의 연료를 써야 차 한 대가 사막을 통과할 수 있습니까?


<4> 한 번에 운반할 수 있는 짐이 대형 트럭은 30개, 소형 트럭은 20개이며, 각각의 운송 요금은 대형 트럭이 4만원, 소형 트럭이 3만원입니다. 50만원으로 대형 트럭과 소형 트럭을 사용하여 운반할 수 있는 가장 많은 짐의 개수를 구하시오.
경향신문

중등영재교육원 대비 수학 특강]놀이공원 입장객

재용이네 아버지께서 일하시는 놀이공원은 오전 10시에 개장을 합니다. 이 놀이공원은 워낙 인기가 좋아 늘 입장 시작 전부터 와서 기다리는 사람들이 많을뿐더러 이후로도 꾸준히 사람들이 몰려옵니다. 고객들의 불만 사항을 개선하는 업무를 담당하는 재용이네 아버지께서는 접수된 불만 사항 중 입장하기 위해 줄을 서서 기다리는 시간이 너무 길다는 것에 대한 불만이 많다는 것을 알고 실태 조사를 해보았습니다.

이 놀이공원에서는 평소 두 개의 입구를 통해 손님들이 입장을 합니다. 가장 많은 사람이 찾는 일요일의 경우, 일정한 시간 간격으로 계속하여 손님들이 온다고 생각할 때, 오전 10시부터 입장을 시작하면 오전 10시24분이 되어서야 먼저 와서 기다리던 사람들 및 꾸준히 오고 있는 사람들의 대기 줄이 모두 사라져 기다리지 않고 바로바로 들어간다는 것을 알 수 있었습니다. 고민을 하며 열심히 계산을 하던 재용이네 아버지는 똑같은 상황에서 하나의 입구를 더 열어 모두 세 개의 입구를 통해 입장을 한다면 10시8분이면 대기 줄이 모두 사라져 기다리지 않고 바로 입장할 수 있다는 결론을 내렸습니다.

이 말은 들은 재용이는 먼저 와서 기다리는 사람이 몇 명인지 궁금하여 아버지께 여쭤보았더니 아버지께서는 한 개의 입구로 1분에 10명씩 입장할 수 있다는 말씀만을 하셨습니다. 재용이의 궁금증을 해결하여 보세요.

수나 양이 일정하게 계속해서 증가하며 단위 시간마다 일정하게 소비하는 문제 유형을 뉴튼산이라고 합니다. 뉴튼산의 대표적인 유형으로는 일정한 속도로 풀이 자라는 목장에서 소에게 풀을 먹이는 문제, 매표소의 줄 서기 문제, 물 퍼내기 문제 등이 있습니다. 뉴튼산 문제를 해결할 때는 단위 시간 당 증가하는 양을 가정한 다음, 단위 시간 당 소비되는 양과 비교합니다.

위 문제에서 24분 동안 2개의 입구를 통해 입장하는 사람은 10×2×24=480(명)이고, 8분 동안 3개의 입구를 통해 입장하는 사람은 10×3×8=240(명)입니다. 24분 동안 입장한 사람 수와 8분 동안 입장한 사람 수의 차이는 바로 16분 동안 꾸준히 찾아온 사람 수입니다. 따라서 1분 동안 찾아오는 사람 수는 (480-240)÷16=15(명)입니다. 따라서 8분 동안 입장한 사람 수에서 8분 동안 찾아온 사람 수를 빼면 10시 이전부터 기다린 사람 수를 구할 수 있습니다. 8분 동안 입장한 사람 수가 240명이므로 240-15×8=120(명)의 사람들이 먼저 와서 기다리고 있음을 알 수 있습니다.

<1> 일정한 속력으로 위로 올라가는 에스컬레이터가 있습니다. 현정이와 재영이가 에스컬레이터에서 걸어서 올라갑니다. 현정이는 1분에 20계단씩 올라가서 5분 만에, 재영이는 1분에 15계단씩 올라가서 6분 만에 위에 도착하였습니다. 위층으로 올라가는 데 몇 개의 계단이 있습니까?

<2> 어느 목장에서는 20마리의 소가 6일 동안 3헥타르의 풀을 먹고, 25마리의 소가 14일 동안 7헥타르의 풀을 먹는다고 합니다. 매일 풀이 자라는 양이 일정하다고 할 때, 10헥타르의 풀을 45마리의 소가 먹는다면 며칠 동안 먹을 수 있습니까?

<3> 지구에서 매년 새로 만들어지는 자원의 양이 일정하다면, 지구상의 모든 자원으로 110억 인구가 90년을 생활할 수 있거나, 90억 인구가 210년을 생활할 수 있다고 합니다. 세계 인구가 최대 몇 명일 때 지구상의 자원으로 영원히 살 수 있습니까?


<4> 어떤 목장은 날씨가 너무 추워서 매일 일정한 양의 풀밭이 줄어듭니다. 이 목장에서 20마리의 소는 5일 동안, 15마리의 소는 6일 동안 풀을 먹을 수 있습니다. 10일 동안 풀을 먹이려면 소는 몇 마리가 있어야 합니까?
경향신문

 

중등영재교육원 대비 수학 특강] 욕심쟁이와 뱃사공

표 이용한 문제해결
도박과 내기를 좋아하는 욕심쟁이 최씨는 어느 날 한 번 건너갔다 오면 가지고 있던 돈이 2배로 늘어나는 신비한 강이 있다는 소문을 들었습니다. 다른 사람들은 모두 헛소문일 것이라며 관심을 갖지 않았지만, 호기심이 생긴 최씨는 수소문을 하여 그 강을 건너는 나루터가 있는 장소를 알게 되었습니다. 처음 길을 나설 때는 제법 많은 돈을 챙겨갔으나 가는 길이 워낙 멀고 험해 막상 나루터에 도착하였을 때는 수중에 돈이 얼마 남아있지 않았습니다. 하지만 이제 곧 큰 돈을 벌게 될 것이라는 기대에 찬 최씨는 나루터에서 허름한 배 한 척과 늙은 뱃사공을 발견하였습니다. 뱃사공에게 강을 건너갔다 오도록 태워 달라고 하자 그 늙은 뱃사공이 다음과 같이 말하였습니다.

“한 번 왕복 뱃삯이 3200원이라네. 자네 행색을 보아 하니 뱃삯도 모자라는 것 같은데, 지금까지 여러 사람이 왔다 갔지만 여기까지 오는 동안 돈을 거의 써버려 대부분 뱃삯이 모자라게 되었고, 그 사람들은 결국 후회하며 돌아갔다네. 자네도 후회하지 말고 쉬었다가 그냥 돌아가게나.”

하지만 욕심쟁이 최씨는 돈을 불릴 욕심에 뱃삯은 건너갔다 와서 주기로 하고 무조건 태워달라고 하였습니다. 늙은 뱃사공을 할 수 없이 최씨를 태워주었고, 강을 건너갔다 돌아온 최씨는 정말로 돈이 2배로 늘어난 것을 알고는 기쁜 마음에 3200원을 주고는 계속하여 태워달라고 하였습니다. 이렇게 한 번 건너갔다 올 때마다 3200원씩 주었던 최씨는 5번을 건너갔다 왔을 때 수중에 돈이 한 푼도 남지 않게 되었습니다. 이를 불쌍히 여긴 뱃사공이 다시는 이곳을 찾지 않겠다는 약속을 받은 뒤, 최씨에게 얼마간의 차비를 주어 돌려보냈습니다. 강을 처음으로 건너기 전 최씨는 얼마를 가지고 있었을까요?

이 문제의 경우, 최씨가 처음에 가지고 있던 돈을 ⅹ라 하여 방정식을 세워 해결할 수 있습니다. 하지만 때로는 직접 단계를 밟아가며 구하는 것이 더 정확하면서도 빠른 경우가 있습니다. 초등학교 교과 과정에서 나오는 거꾸로 해결하기로 문제를 풀어 봅시다.

5번째 건넌 후 뱃삯 3200원을 내고 돈이 모두 떨어졌으므로 건너기 전에는 1600원이 있었습니다. 같은 방법으로 생각하여 표를 그려 보면 위의 표와 같습니다.

따라서 처음에는 3100원을 가지고 있었습니다. 이 강을 건너면서 돈이 늘어나기 위해서는 건너기 전에 가지고 있는 금액이 뱃삯보다 많아야 합니다. 또, 한 번의 왕복으로 추가로 생기는 금액은 건너기 전에 가지고 있던 금액 중에서 뱃삯을 제외한 것과 같습니다. 즉, 4000원을 가지고 강을 건넜다면 뱃삯과의 차이인 800원만큼을 벌게 됩니다.

<1> 떡장수 할머니가 하루 종일 떡을 팔다가 남은 떡을 갖고서 집으로 돌아가고 있었습니다. 첫째 번 고개를 넘어가는데 갑자기 호랑이가 나타나더니 “할멈이 갖고 있는 떡의 절반과 2개를 더 주면 살려주지.”라고 하여 시키는 대로 떡을 주고서 무사히 고개를 넘을 수 있었습니다. 그런데 둘째 번 고개를 지나가는데 아까 그 호랑이가 또 나타나 첫째 번 고개에서와 마찬가지의 요구를 하여 떡을 주고 고개를 넘었습니다. 셋째 번 고개에서도 마찬가지로 호랑이가 나타났고, 할머니는 같은 방법으로 떡을 주고서 집으로 돌아올 수 있었습니다. 할머니가 집에 와서 보니 남은 떡이 단 한 개뿐이었습니다. 떡장수 할머니가 처음에 떡을 팔고 남은 떡은 몇 개입니까?

<2> 상자에 사과가 들어있습니다. 경원이네 반 학생 40명이 번호 순서대로 상자에서 사과의 절반을 꺼내고 한 개를 집어넣습니다. 40명이 모두 꺼내고 집어넣기를 반복하였더니 상자에는 2개의 사과만이 남게 되었습니다. 처음에 상자에 들어있던 사과는 몇 개입니까?

<3> 사탕이 바구니에 담겨 있습니다. 달모가 3등분을 하였더니 1개가 남아서 1개를 먹고 나머지의 ⅓을 가져갔습니다. 원주가 남은 것을 4등분하였더니 2개가 남아서 2개를 먹고 나머지의 ¼을 가져갔습니다. 준영이가 와서 남은 사탕을 5등분하였더니 3개가 남았습니다. 사탕은 최소한 몇 개 있었을까요? 단, 20개보다는 많았다고 합니다.
경향신문

 

중등영재교육원 대비 수학 특강] 봉사활동 따라가기

진경이네 학교에 새로 오신 수학 선생님은 학생들에게 인기가 대단합니다. 이 선생님은 매주 2번 형편이 어려운 학생들을 위해 방과 후 봉사 활동을 하고 있었습니다. 수학 선생님의 눈에 띄고 싶었던 진경이는 선생님이 하시는 봉사 활동에 참여할 방법을 궁리하다가 교무실 청소를 하던 중 선생님의 책상에 있던 달력에서 다음과 같은 사실을 알게 되었습니다.

도대체 무슨 요일에 봉사 활동을 간다는 표시인지 알 수 없었던 진경이는 마침 교무실로 들어오신 수학 선생님께 용기를 내어 여쭈어 보았습니다. 난처한 표정을 지으시던 선생님께서는 진심으로 봉사 활동에 참여하고 싶다는 진경이의 말에 다음과 같이 힌트를 주셨습니다. “이건 나만의 요일 계산 방법이란다. 이 방법으로 계산하면 (금+화=목)이고, (목-월=토)가 되지.” 진경이는 봉사 활동가는 요일을 찾아낼 수 있을까요?

핏 복잡해 보이는 암호들 중에는 나머지를 이용한 것이 제법 많이 있습니다. 7일을 단위로 요일이 반복되면서 28~31일을 주기로 날짜가 반복되는 달력의 특징은, 나머지를 이용한 문제의 소재로 사용하기에 적합하여 여러 가지 변형 형태로 자주 출제됩니다.

위 달력에서 각 요일에 해당하는 날짜를 7의 배수와 나머지의 합으로 나타내어 봅시다. 예를 들어, 금요일의 날짜는 2+7n, 화요일의 날짜는 6+7m과 같이 나타냅니다. 그러면 금요일+화요일=8+7(n+m)=1+7l로 표시할 수 있는데, 목요일의 날짜는 1+7k로 나타낼 수 있으므로 (금+화=목)이라고 쓸 수 있습니다. (단, n, m, l, k는 정수입니다.) 이와 같은 방법으로 나타나면, 금+일=(2+7n)+(4+7m)=6+7k이므로 (금+일=화)이고, 화×월=(6+7n)×(5+7m)=30+42m+35n+49mn=2+7(6m+5n+7mn+4)=2+7k이므로 (화×월=금)입니다. 즉, 수학 선생님이 봉사 활동을 가시는 요일은 화요일, 금요일입니다.<1> 1부터 1000까지의 자연수 중에서 5로 나누면 3이 남고, 7로 나누면 6이 남고, 9로 나누면 8이 남는 수를 모두 구하시오.

<2> 화요일이 5번 있는 달이 있습니다. 첫날과 마지막 날이 화요일이 아닐 때, 마지막 날은 무슨 요일입니까?

<3> 1의 3제곱+2의 3제곱+3의 3제곱+…+2006의 3제곱+2007의 3제곱+2008의 3제곱을 3으로 나눈 나머지를 구하시오.

경향신문

 

중등영재교육원 대비 수학 특강] 전화요금 비교

ㆍ상황을 기호·수식으로 바꾸기
휴대폰이 없는 진욱이는 걸핏하면 부모님께 휴대폰을 사 달라고 조르곤 했습니다. 평소에는 들은 척도 안 하시던 부모님께서 어느 날 진욱이에게 흥미로운 조건을 제시하셨습니다.
“세 통신회사의 요금 체계를 비교해서 C 통신회사의 요금 체계로 100분을 사용했을 때의 요금을 정확히 계산할 수 있으면 휴대폰을 사 주마.”

들뜬 마음에 세 통신회사의 요금 체계를 조사한 진욱이는 각 회사의 요금 체계가 다음과 같다는 사실을 알아내었습니다.

A 통신회사: 기본요금 없이 분당 200원
B 통신회사: 120분까지 기본요금, 초과시에는 분당 80원
C 통신회사: 기본요금과 분당 통화요금이 별도 책정

하지만 이것만으로는 구체적으로 요금이 어떠한지 알 수 없었기 때문에 주변에서 세 통신회사를 이용하는 친구들에게 물어서 좀 더 자세한 내용을 알아보았습니다. 170분을 사용하면 A 회사와 B 회사의 요금이 같고, 45분을 사용하면 B 회사와 C 회사의 요금이 같습니다. 또한 245분을 사용했을 때도 B 회사와 C 회사의 요금이 같습니다. 그리고 246분 이상을 사용하면 C 회사의 요금이 가장 저렴하다고 합니다. 부모님께서 이 정도 자료면 충분히 C 회사의 100분 사용요금을 구할 수 있다며 조사는 그만하라고 하십니다. 진욱이가 휴대폰을 가질 수 있도록 문제를 해결해 봅시다. 수학 문제집과는 다르게 생활에서 접하게 되는 상황은 대부분 말과 숫자로만 제시됩니다. 하지만 이러한 상황을 정확하게 분석하여 올바른 방향을 제시하기 위해서는 늘 수학을 이용해야 합니다. 따라서 평소에 여러 상황들을 제대로 이해하기 위해서는 수학적 기호와 수식을 사용하여 표현하고 이를 문제 해결을 위해 적재적소에 활용하는 연습을 꾸준히 하여 수학적 사고의 힘을 기르는 것이 중요합니다.

위 문제에서 B 통신회사의 기본요금을 라고 합니다. 170분 통화 시 A 회사의 요금은 170x200=34000(원)이고, B 통신회사의 요금은 x+(170-120)X80=x+4000으로 나타낼 수 있고, 두 요금이 같으므로 x+4000=34000에서 B 회사의 기본요금은 30000원입니다. 따라서 B 회사의 245분 통화요금은 (원)입니다. B, C 회사의 45분, 245분 통화요금이 각각 같고, C 회사의 45분 통화요금 30000원에는 기본요금이 포함되어 있는 것이므로 분당 통화료는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

(40000-30000)÷(245-45)=10000÷200=50(원). 따라서 C 회사의 100분 통화료는 45분까지의 통화료에 이후 55분 동안의 통화료 2750원을 더하면 되므로 32750원입니다.

<1> 원주와 치선이는 편지지와 봉투를 똑같이 나누어 가졌습니다. 원주는 편지 한 통을 쓰는데 편지지를 한 장 쓰고, 치선이는 한 통을 쓰는데 편지지를 3장 씁니다. 만약 원주가 봉투를 다 썼을 때 편지지가 아직 50장 남아 있고, 치선이가 편지지를 다 썼을 때 봉투가 50장 남아 있다면, 원래 편지지와 봉투는 몇 장이 있었습니까?

<2> 10명으로 이루어진 철호네 분단의 수학 평균점수는 80.5점이고, 철호, 지상, 병요를 제외하면 평균이 85점으로 올라갑니다. 병요의 점수는 50점이고, 철호의 점수는 지상이의 점수의 1.5배보다 높거나 같습니다. 철호의 점수는 최하 몇 점입니까?

<3> 현주네 지역의 전기요금은 한 가구에서 24kWh를 넘지 않게 사용하면 1kWh에 900원씩 요금을 부과하고, 24kWh를 넘게 사용하면 넘는 부분은 1kWh에 200원씩 더 부과합니다. 어느 달 현주네는 지웅이네보다 전기요금을 9600원 더 냈다고 합니다. 현주네와 지웅이네는 각각 전기요금을 얼마씩 냈습니까?


<4> 택시 정류장에 택시가 10대 서 있습니다. 첫째 번 택시가 떠난 후, 4분마다 택시가 한 대씩 떠납니다. 첫째 번 택시가 떠난 후 2분 뒤 택시 한 대가 정류장에 왔습니다. 그 후 6분마다 택시가 한 대씩 옵니다. 첫째 번 택시가 떠난 뒤 몇 분 후가 되면 택시 정류장이 텅 비게 됩니까?
경향신문

중등영재교육원 대비 수학 특강] 상자안 귤은 몇 개 일까요?

승준이네 학년 학생들이 모두 함께 야외수업을 떠나게 되어 간식으로 사과와 귤을 준비하기로 하였습니다. 여러 학생들이 가져온 사과와 귤을 두 개의 상자 A, B에 섞어서 담았더니 상자 A에 들어 있는 사과와 귤의 개수의 비는 5 : 3, 상자 B에 들어 있는 사과와 귤의 개수의 비는 7 : 8이 되었습니다. 각 상자에 든 사과와 귤의 개수가 궁금해진 승준이가 상자를 정리하던 선생님께 여쭤 보았더니 다음과 같은 단서를 말씀해 주셨습니다.
“상자 A와 B에 들어 있는 사과와 귤의 개수를 합하면 사과는 귤보다 42개 더 많고, 상자 A에 들어 있는 과일의 개수와 상자 B에 들어 있는 과일의 개수의 비가 2 : 3이란다.”
상자 B에 들어 있는 귤의 개수는 몇 개일까요?

전체에서 각 부분이 차지하는 비율을 차근차근히 따져가며 다음과 같은 순서로 문제를 해결합니다.
① 상자 A, B에 들어 있는 과일 전체를 1이라 할 때, A, B에 들어 있는 과일의 개수의 비가 2 : 3이므로 개수는 각각 전체의 2/5, 3/5입니다.

② 상자 A에 들어 있는 사과와 귤의 개수의 비가 5 : 3이므로 상자 A에 들어 있는 사과의 개수는 전체 과일의 2/5 x 5/8=1/4이고, 상자 A에 들어 있는 귤의 개수는 전체 과일의 2/5 x 3/8 =3/20입니다.

③ 상자 B에 들어 있는 사과와 귤의 개수의 비가 7 : 8이므로 상자 B에 들어 있는 사과의 개수는 전체 과일의 3/5 x 7/15=7/25이고, 상자 B에 들어 있는 귤의 개수는 전체 과일의 3/5 x 8/15=8/25입니다.

④ 전체 과일을 개수의 비로 나타내어 정리하면 다음과 같습니다.

⑤ 사과 전체의 개수가 귤 전체의 개수보다 42개 더 많으므로 전체 과일의 개수를 x라 하면 (53/100-47/100)x=42에서 과일 전체의 개수는 42 X 100/6=700(개)이므로 상자 B에 들어 있는 귤의 개수는 700 X 8/25=224(개)입니다.

<1> A 시의 인구가 작년에 비해 1년 동안 40% 증가하였습니다. 인구 증가로 인하여 작년에 A 시의 남녀 인구 비가 25 : 26이었던 것이 올해는 10 : 11이 되었습니다. 1년 동안 여성 인구는 몇 %나 증가하였습니까? 소수 첫째 자리에서 반올림하여 자연수로 나타내시오.

<2> 어떤 액체가 얼어서 얼음으로 될 때 부피가 1/11증가한다고 합니다. 다시 그 얼음이 녹아서 액체로 될 때, 부피의 몇 분의 몇이 감소합니까?

<3> 진경이네 학교 1, 2, 3학년 학생은 모두 920명입니다. 3학년 학생의 3/5이 2학년 학생의 2/3이고, 2학년 학생의 5/9가 1학년 3/7학생의 입니다. 2학년 학생은 모두 몇 명입니까?


<4> 병준이 어머니는 얼마 전 세일 기간을 통해 전자제품 하나를 구입했습니다. 병준이 어머니는 먼저 10만원짜리 상품권을 6% 할인하여 구입한 후, 20% 할인된 전자제품 값으로 10만원짜리 상품권을 주고 4만 4천원을 현금으로 받았습니다. 병준이 어머니는 이 전자제품을 세일 전 가격과 비교할 때 얼마나 싸게 구입한 것입니까?

경향신문

중등영재교육원 대비 수학 특강] 공원에서 마주친 친구들

명이 걸은 거리의 합을 찾자
화창한 일요일 오후, 같은 반 친구인 영선이와 가현이가 각자 집 앞의 호수공원으로 산책을 갔습니다. 오후 2시 정각에 공원 산책로의 정문에 도착한 영선이는 산책로를 따라 시계 반대 방향으로 일정한 속력으로 걷기 시작했습니다. 같은 시각, 정문의 반대쪽에 있는 후문에 도착한 가현이는 시계 방향으로 일정한 속력으로 걷기 시작했습니다. 정문을 향해 걷던 가현이가 350m를 걸어왔을 때, 맞은편에서 오던 영선이와 마주치게 되어 반갑게 인사하며 지나쳤습니다. 계속 산책을 하던 영선이는 후문을 지나 정문을 300m 남겨둔 지점에서 또다시 가현이와 마주치게 되었습니다. 두 사람이 각자 걷던 방향으로 각자의 속력을 유지하면서 걷는다면 세번째로 만나는 지점은 어디가 될까요? 후문에서 가까운 거리로 구해봅시다. 단, 정문에서 후문까지의 거리는 어떤 방향으로 가더라도 같습니다.

영선이와 가현이가 처음 만날 때까지와 두번째로 만날 때까지 두 사람이 걸은 거리의 합을 생각해봅시다. 두 사람이 출발하여 처음 만날 때까지 걸은 거리의 합은 호수 둘레의 절반이고, 처음 만난 후 두번째로 만날 때까지 걸은 거리의 합은 호수 한 바퀴와 같습니다.

두 사람이 걷는 속력이 일정하므로 두 사람이 걸은 거리의 합이 호수의 한 바퀴일 때 각자 걸은 거리는, 두 사람이 걸은 거리의 합이 호수의 반 바퀴일 때 각자 걸은 거리의 2배입니다. 따라서 가현이가 처음으로 영선이를 만날 때까지 걸은 거리가 350m이므로 처음 만난 후부터 두번째 만날 때까지 걸은 거리는 700m입니다.

한편 가현이가 후문에서 출발하여 두번째 만난 지점까지 걸어간 거리인 1050m는 호수의 반 바퀴보다 300m 더 간 것이므로 호수의 반 바퀴는 750m인 셈입니다. 두 사람이 두번째 만난 지점에서 출발하여 세번째로 만나려면 거리의 합이 한 바퀴가 되어야 하므로 가현이는 700m를 더 걸어가야 합니다. 즉, 처음 출발한 때부터 350m+700m+700m=1750m를 걸어갔을 때 영선이와 세번째로 만나게 되며, 한 바퀴가 1500m이므로 세번째로 만나는 지점은 가현이가 출발한 후문에서 250m 떨어진 지점이 됩니다.

<1> 원 모양의 산책로에서 지름의 양 끝에 해당하는 지점 A, B가 있습니다. 진경이는 A, 수연이는 B에서 동시에 출발하여 서로 반대 방향으로 일정한 속력으로 걷습니다. 두 사람이 A에서 80m 떨어진 지점에서 처음 만나고 B에서 60m 떨어진 지점에서 두번째로 만나게 될 때, 산책로 둘레의 길이를 구하시오.

<2> 승은이와 윤서가 시계 방향으로 원형 트랙을 따라 달리기를 합니다. 승은이가 한 바퀴를 도는 데는 15분이 걸리고, 윤서가 한 바퀴를 도는 데는 20분이 걸립니다. 두 사람이 반대 위치에서 동시에 출발하면 몇 분 후 승은이가 윤서를 따라잡을 수 있습니까?

<3> 둘레가 3㎞인 원 모양의 호수가 있습니다. 이 호수를 치선이와 아버지가 도는데, 아버지는 시속 4㎞의 속력으로 걷고, 치선이는 시속 16㎞의 속력으로 자전거를 탑니다. 처음에 아버지와 치선이가 동시에 같은 방향으로 출발하여 중간에 마주칠 때마다 치선이만 방향을 바꿔 반대로 향합니다. 이렇게 아버지와 치선이가 네번째로 만날 때까지 걸린 시간을 구하시오.
경향신문