논리수학학원 053-290-7786 수학기초영재교육

2014년 1월 5일 일요일

2013 AMC 8 Problems

Problem 1

Danica wants to arrange her model cars in rows with exactly 6 cars in each row. She now has 23 model cars. What is the smallest number of additional cars she must buy in order to be able to arrange all her cars this way?

$\textbf{(A)}\ 1 \qquad \textbf{(B)}\ 2 \qquad \textbf{(C)}\ 3 \qquad \textbf{(D)}\ 4 \qquad \textbf{(E)}\ 5$

Solution

Problem 2

A sign at the fish market says, "50% off, today only: half-pound packages for just $3 per package." What is the regular price for a full pound of fish, in dollars?

$\textbf{(A)}\ 6 \qquad \textbf{(B)}\ 9 \qquad \textbf{(C)}\ 10 \qquad \textbf{(D)}\ 12 \qquad \textbf{(E)}\ 15$

Solution

Problem 3

What is the value of $4 \cdot (-1+2-3+4-5+6-7+\cdots+1000)$ ?

$\textbf{(A)}\ -10 \qquad \textbf{(B)}\ 0 \qquad \textbf{(C)}\ 1 \qquad \textbf{(D)}\ 500 \qquad \textbf{(E)}\ 2000$

Solution

Problem 4

Eight friends ate at a restaurant and agreed to share the bill equally. Because Judi forgot her money, each of her seven friends paid an extra $2.50 to cover her portion of the total bill. What was the total bill?

$\textbf{(A)}\ \text{\textdollar}120\qquad\textbf{(B)}\ \text{\textdollar}128\qquad\textbf{(C)}\ \text{\textdollar}140\qquad\t...$

Solution

Problem 5

Hammie is in the $6^\text{th}$ grade and weighs 106 pounds. His quadruplet sisters are tiny babies and weigh 5, 5, 6, and 8 pounds. Which is greater, the average (mean) weight of these five children or the median weight, and by how many pounds?

$\textbf{(A)}\ \text{median, by 60} \qquad \textbf{(B)}\ \text{median, by 20} \qquad \textbf{(C)}\ \text{average, by 5} \qquad...$

Solution

Problem 6

The number in each box below is the product of the numbers in the two boxes that touch it in the row above. For example, $30 = 6\times5$ . What is the missing number in the top row?

unitsize(0.8cm);draw((-1,0)--(1,0)--(1,-2)--(-1,-2)--cycle);draw((-2,0)--(0,0)--(0,2)--(-2,2)--cycle);draw((0,0)--(2,0)--(2,2...

$\textbf{(A)}\ 2 \qquad \textbf{(B)}\ 3 \qquad \textbf{(C)}\ 4 \qquad \textbf{(D)}\ 5 \qquad \textbf{(E)}\ 6$

Solution

Problem 7

Trey and his mom stopped at a railroad crossing to let a train pass. As the train began to pass, Trey counted 6 cars in the first 10 seconds. It took the train 2 minutes and 45 seconds to clear the crossing at a constant speed. Which of the following was the most likely number of cars in the train?

$\textbf{(A)}\ 60 \qquad \textbf{(B)}\ 80 \qquad \textbf{(C)}\ 100 \qquad \textbf{(D)}\ 120 \qquad \textbf{(E)}\ 140$

Solution

Problem 8

A fair coin is tossed 3 times. What is the probability of at least two consecutive heads?

$\textbf{(A)}\ \frac18 \qquad \textbf{(B)}\ \frac14 \qquad \textbf{(C)}\ \frac38 \qquad \textbf{(D)}\ \frac12 \qquad \textbf{(...$

Solution

Problem 9

The Incredible Hulk can double the distance he jumps with each succeeding jump. If his first jump is 1 meter, the second jump is 2 meters, the third jump is 4 meters, and so on, then on which jump will he first be able to jump more than 1 kilometer?

$\textbf{(A)}\ 9^\text{th} \qquad \textbf{(B)}\ 10^\text{th} \qquad \textbf{(C)}\ 11^\text{th} \qquad \textbf{(D)}\ 12^\text{t...$

Solution

Problem 10

What is the ratio of the least common multiple of 180 and 594 to the greatest common factor of 180 and 594?

$\textbf{(A)}\ 110 \qquad \textbf{(B)}\ 165 \qquad \textbf{(C)}\ 330 \qquad \textbf{(D)}\ 625 \qquad \textbf{(E)}\ 660$

Solution

Problem 11

Ted's grandfather used his treadmill on 3 days this week. He went 2 miles each day. On Monday he jogged at a speed of 5 miles per hour. He walked at the rate of 3 miles per hour on Wednesday and at 4 miles per hour on Friday. If Grandfather had always walked at 4 miles per hour, he would have spent less time on the treadmill. How many minutes less?

$\textbf{(A)}\ 1 \qquad \textbf{(B)}\ 2 \qquad \textbf{(C)}\ 3 \qquad \textbf{(D)}\ 4 \qquad \textbf{(E)}\ 5$

Solution

Problem 12

At the 2013 Winnebago County Fair a vendor is offering a "fair special" on sandals. If you buy one pair of sandals at the regular price of $50, you get a second pair at a 40% discount, and a third pair at half the regular price. Javier took advantage of the "fair special" to buy three pairs of sandals. What percentage of the $150 regular price did he save?

$\textbf{(A)}\ 25 \qquad \textbf{(B)}\ 30 \qquad \textbf{(C)}\ 33 \qquad \textbf{(D)}\ 40 \qquad \textbf{(E)}\ 45$

Solution

Problem 13

When Clara totaled her scores, she inadvertently reversed the units digit and the tens digit of one score. By which of the following might her incorrect sum have differed from the correct one?

$\textbf{(A)}\ 45 \qquad \textbf{(B)}\ 46 \qquad \textbf{(C)}\ 47 \qquad \textbf{(D)}\ 48 \qquad \textbf{(E)}\ 49$

Solution

Problem 14

Abe holds 1 green and 1 red jelly bean in his hand. Bea holds 1 green, 1 yellow, and 2 red jelly beans in her hand. Each randomly picks a jelly bean to show the other. What is the probability that the colors match?

$\textbf{(A)}\ \frac14 \qquad \textbf{(B)}\ \frac13 \qquad \textbf{(C)}\ \frac38 \qquad \textbf{(D)}\ \frac12 \qquad \textbf{(...$

Solution

Problem 15

If $3^p + 3^4 = 90$ , $2^r + 44 = 76$ , and $5^3 + 6^s = 1421$ , what is the product of $p$ , $r$ , and $s$ ?

$\textbf{(A)}\ 27 \qquad \textbf{(B)}\ 40 \qquad \textbf{(C)}\ 50 \qquad \textbf{(D)}\ 70 \qquad \textbf{(E)}\ 90$

Solution

Problem 16

A number of students from Fibonacci Middle School are taking part in a community service project. The ratio of $8^\text{th}$ -graders to $6^\text{th}$ -graders is $5:3$ , and the ratio of $8^\text{th}$ -graders to $7^\text{th}$ -graders is $8:5$ . What is the smallest number of students that could be participating in the project?

$\textbf{(A)}\ 16 \qquad \textbf{(B)}\ 40 \qquad \textbf{(C)}\ 55 \qquad \textbf{(D)}\ 79 \qquad \textbf{(E)}\ 89$

Solution

Problem 17

The sum of six consecutive positive integers is 2013. What is the largest of these six integers?

$\textbf{(A)}\ 335 \qquad \textbf{(B)}\ 338 \qquad \textbf{(C)}\ 340 \qquad \textbf{(D)}\ 345 \qquad \textbf{(E)}\ 350$

Solution

Problem 18

Isabella uses one-foot cubical blocks to build a rectangular fort that is 12 feet long, 10 feet wide, and 5 feet high. The floor and the four walls are all one foot thick. How many blocks does the fort contain?

$\textbf{(A)}\ 204 \qquad \textbf{(B)}\ 280 \qquad \textbf{(C)}\ 320 \qquad \textbf{(D)}\ 340 \qquad \textbf{(E)}\ 600$

Solution

Problem 19

Bridget, Cassie, and Hannah are discussing the results of their last math test. Hannah shows Bridget and Cassie her test, but Bridget and Cassie don't show theirs to anyone. Cassie says, 'I didn't get the lowest score in our class,' and Bridget adds, 'I didn't get the highest score.' What is the ranking of the three girls from highest to lowest?

$\textbf{(A)}\ \text{Hannah, Cassie, Bridget} \qquad \textbf{(B)}\ \text{Hannah, Bridget, Cassie} \\ \qquad \textbf{(C)}\ \tex...$

Solution

Problem 20

A $1\times 2$ rectangle is inscribed in a semicircle with longer side on the diameter. What is the area of the semicircle?

$\textbf{(A)}\ \frac\pi2 \qquad \textbf{(B)}\ \frac{2\pi}3 \qquad \textbf{(C)}\ \pi \qquad \textbf{(D)}\ \frac{4\pi}3 \qquad \...$

Solution

Problem 21

Samantha lives 2 blocks west and 1 block south of the southwest corner of City Park. Her school is 2 blocks east and 2 blocks north of the northeast corner of City Park. On school days she bikes on streets to the southwest corner of City Park, then takes a diagonal path through the park to the northeast corner, and then bikes on streets to school. If her route is as short as possible, how many different routes can she take?

$\textbf{(A)}\ 3 \qquad \textbf{(B)}\ 6 \qquad \textbf{(C)}\ 9 \qquad \textbf{(D)}\ 12 \qquad \textbf{(E)}\ 18$

Solution

Problem 22

Toothpicks are used to make a grid that is 60 toothpicks long and 32 toothpicks wide. How many toothpicks are used altogether?

picture corner;draw(corner,(5,0)--(35,0));draw(corner,(0,-5)--(0,-35));for (int i=0; i<3; ++i){for (int j=0; j>-2; --j)...

$\textbf{(A)}\ 1920 \qquad \textbf{(B)}\ 1952 \qquad \textbf{(C)}\ 1980 \qquad \textbf{(D)}\ 2013 \qquad \textbf{(E)}\ 3932$

Solution

Problem 23

Angle $ABC$ of $\triangle ABC$ is a right angle. The sides of $\triangle ABC$ are the diameters of semicircles as shown. The area of the semicircle on $\overline{AB}$ equals $8\pi$ , and the arc of the semicircle on $\overline{AC}$ has length $8.5\pi$ . What is the radius of the semicircle on $\overline{BC}$ ?

import graph;pair A,B,C;A=(0,8);B=(0,0);C=(15,0);draw((0,8)..(-4,4)..(0,0)--(0,8));draw((0,0)..(7.5,-7.5)..(15,0)--(0,0));rea...

$\textbf{(A)}\ 7 \qquad \textbf{(B)}\ 7.5 \qquad \textbf{(C)}\ 8 \qquad \textbf{(D)}\ 8.5 \qquad \textbf{(E)}\ 9$

Solution

Problem 24

Squares $ABCD$ , $EFGH$ , and $GHIJ$ are equal in area. Points $C$ and $D$ are the midpoints of sides $IH$ and $HE$ , respectively. What is the ratio of the area of the shaded pentagon $AJICB$ to the sum of the areas of the three squares?

pair A,B,C,D,E,F,G,H,I,J;A = (0.5,2);B = (1.5,2);C = (1.5,1);D = (0.5,1);E = (0,1);F = (0,0);G = (1,0);H = (1,1);I = (2,1);J ...

$\textbf{(A)}\hspace{.05in}\frac{1}{4}\qquad\textbf{(B)}\hspace{.05in}\frac{7}{24}\qquad\textbf{(C)}\hspace{.05in}\frac{1}{3}\...$

Solution

Problem 25

A ball with diameter 4 inches starts at point A to roll along the track shown. The track is comprised of 3 semicircular arcs whose radii are $R_1 = 100$ inches, $R_2 = 60$ inches, and $R_3 = 80$ inches, respectively. The ball always remains in contact with the track and does not slip. What is the distance the center of the ball travels over the course from A to B?

pair A,B;size(8cm);A=(0,0);B=(480,0);draw((0,0)--(480,0),linetype("3 4"));filldraw(circle((8,0),8),black);draw((0,0...

$\textbf{(A)}\ 238\pi\qquad\textbf{(B)}\ 240\pi\qquad\textbf{(C)}\ 260\pi\qquad\textbf{(D)}\ 280\pi\qquad\textbf{(E)}\ 500\pi$

Solution

New Year's Concert 2014, Vienna / Concert du Nouvel An 2014, Vienne

르네상스 꽃 피운 메디치家… 한국엔 어디 없나

산 로렌초 성당과 메디치, 피렌체에 갑부 많았지만 학문과 예술 발달에 돈 쓴 메디치家만…
그 중 가장 크게 공헌한, 코시모와 로렌초의 무덤도 메디치家의 다른 사람 처럼산 로렌초…
창조, 말로만 이뤄지진 않아, 혁신적 사고를 수용할 열린 마음을 갖고 전폭적 지원 아끼지…

지난 10년 사이에 우리에게 가장 친숙해진 단어 하나를 꼽으라면 '창조(創造)'일 것이다. 지겨울 정도로 '창조'는 우리 일상에 파고들고 있다. 그러나 이제 시작에 불과하다는 생각이 든다. '창조'라는 단어는 앞으로 더 많이 듣게 될 것이고, '창조'에 익숙해지지 않은 사람은 도태될 수밖에 없는 무서운(?) 세상이 펼쳐질 것이다.

사실 역사는 언제나 창조를 통해 발전해 왔다. 오늘날은 지식의 개방과 확산으로 그러한 사실이 널리 알려졌을 뿐이다. 그렇다면 역사적으로 가장 위대한 창조 시대는 언제였을까? 서구(西歐)는 기원전 5세기 전후의 고대 그리스 시대, 14~16세기 르네상스 시대, 18~19세기 프랑스혁명과 산업혁명 시대를 꼽을 수 있다. 오늘은 그중에서도 우리에게 언제나 거부할 수 없는 매력으로 다가오는 르네상스 시대의 모태, 피렌체를 찾아가려 한다.

피렌체는 도시 전체가 예술품이고 창조의 산물이다. 박물관에 들어가 있어야 할 작품이 노천에 지천으로 깔렸다는 표현이 어색하지 않다. 매년 전 세계에서 '순례자'가 수백만 명 찾아오는 게 당연하다. 그들은 언제나 피렌체의 중심인 대성당 두오모(Duomo)와 르네상스의 보고(寶庫)인 우피치 미술관을 제일 먼저 찾는다. 그곳에서 순례자들은 브루넬레스키, 보티첼리, 미켈란젤로, 레오나르도 다빈치 등 천재들의 작품을 쉽게 발견할 수 있고, 피렌체의 위대함에 감동하게 된다. 우리나라의 순례자들도 예외는 아니다.

하지만 두오모와 우피치에서 걸음을 멈춰서는 안 된다. 여기서 걸음을 멈추면 르네상스의 정수를 보았다고 얘기할 수 없고, 르네상스라는 위대한 창조 시대가 어떻게 시작됐는지 알 수 없다.

르네상스의 비밀이 숨겨진 곳까지는 두오모와 우피치에서 걸어서 5분도 걸리지 않는다. 그곳은 바로 산 로렌초(San Lorenzo) 성당이다. 성당은 크게 본당과 메디치 예배당, 메디치 도서관 등으로 구성돼 있다. 메디치(Medici)라는 이름이 많이 들어간 이유는 메디치 가문 사람들이 생전에는 이곳에서 예배를 드렸고, 사후에는 이곳에 묻혔기 때문이다.

메디치는 르네상스라는 화려하고 혁명적이었던 한 시대와 동전의 양면처럼 인식되는 가문의 이름이다. 그들이 역사에 처음 등장한 것은 13세기였다. 상업으로 출발한 이 가문은 금융업을 통해 거부(巨富)를 쌓았다. 14~15세기 일이다. 그러나 당대 유럽에 그만한 부를 소유한 가문은 메디치뿐만이 아니었다. 교황과 신성로마제국의 황제, 프랑스와 영국의 왕, 부르고뉴 공작(오늘날 네덜란드와 벨기에에 해당하는 지역을 다스렸던 프랑스의 대귀족)은 물론이고 피렌체에만도 메디치에 필적하는 부자가 많았다.

그런데 왜 역사는 메디치만을 기억하는 것일까? 답은 간단하다. 메디치만이 부(富)를 제대로 썼기 때문이다. 메디치는 축적한 부 대부분을 학문과 예술 발전에 쏟아부었다. 한 사람, 한 세대만의 일이 아니라 세대를 뛰어넘어서 가문 구성원 대부분이 그러했다. 이건 돈이 있다고 아무나 할 수 있는 일이 아니다. 자손들에게 교육을 통해 학문과 예술의 중요성을 가르쳐 사랑하도록 했고, 혁신적 사조를 받아들일 수 있는 열린 마음을 갖추도록 했기 때문에 가능했다.

그 결과 미켈란젤로, 레오나르도 다빈치, 도나텔로, 브루넬레스키, 보티첼리 등 셀 수 없이 많은 예술가가 메디치 가문의 후원을 받았고, 폴리치아노, 피치노, 피코 델라 미란돌라 같은 탁월한 인문주의자들이 메디치 가문 주변에서 활동할 수 있었다. 예를 들면 우피치가 자랑하는 소장품인 동시에 르네상스를 상징하는 작품인 보티첼리의 '봄의 귀환'과 '비너스의 탄생'은 메디치 가문의 주문으로 만들어졌다. 미켈란젤로의 천재성을 발견하고 그에게 교육과 작품 활동 기회를 준 것도 메디치였다.

그러나 개인적 후원은 메디치가 했던 일 중 일부에 불과하다. 메디치 가문은 동방으로 사람을 보내 그리스·로마 시대 이후 유럽에서 사라졌던 수없이 많은 서책을 사왔고, 도서관을 지어 보관했다. 도서관은 지식인과 예술가, 시민에게 개방됐다. 예술이 만개했고, 지식이 전파됐으며, 혁신과 창조를 위한 경쟁이 피렌체 사회에서는 일상이 됐다. 르네상스는 그렇게 탄생했다. 메디치 가문 중에서도 르네상스에 가장 크게 공헌한 두 사람은 '국부(國父)'라 불리는 코시모와 '위대한 자'로 추앙받는 로렌초다. 이 두 사람의 마지막 안식처 역시 다른 메디치와 마찬가지로 산 로렌초 성당이다. 코시모의 무덤은 본당에, 로렌초의 무덤은 신성물실에 안치돼 있다. 무덤은 두 사람이 역사에 끼친 공로와 명성에 비하면 소박하다 못해 허름하다. 그러나 실망스럽지는 않다. 차분하게 둘러보면 그 어떤 천재의 작품으로도 대신할 수 없는 위대한 정신이 무덤에 깃들어 있다는 것을 느낄 수 있기 때문이다.

창조는 절대 말만으로 이뤄지지 않는다. 누군가가 제2의 메디치가 되겠노라 결연히 나서야만 가능한 일이다. 대한민국에 21세기 르네상스를 가져다줄 제2의 메디치는 과연 존재할까? 있다면 그는 누구일까?

조선일보

2013년 12월 10일 화요일

창의적 문제해결·과제집착력이 영재의 요건

최근 정부의 지속적인 영재교육 확대 정책에 따라 ‘영재’라는 말이 교육에서 아주 익숙한 단어가 되고 있다. 학부모의 관심도 높아져 영재 판별에 대한 문의도 늘고, 국가 영재교육기관에 입학을 원하는 학생의 수도 매년 증가하고 있다.

그렇다면 누가 영재인가? 이에 대해서는 절대적으로 정확한 기준은 없다. 역사적으로도 영재에 대한 정의와 선발 방법은 시대나 나라에 따라서 지속적으로 변화하고 수정되었다. 다만, 우리나라 영재교육진흥법에서는 ‘재능이 뛰어난 사람으로서 타고난 잠재력을 계발하기 위하여 특별한 교육을 필요로 하는 사람’을 영재라고 정의하고 있다.

즉, 영재는 한 가지 이상의 분야에서 뛰어난 잠재력을 가진 사람을 말하며, 그 잠재력은 특별한 교육을 통해 키워지고 발현될 수 있다는 것이다.

그러나 영재를 이해하고 판별하는 일은 쉽지 않으며, 많은 사람들이 영재는 지능이 대단히 높거나 학습 능력이 대단히 우수하다는 오해를 하기도 한다. 영재의 특성을 설명하는 이론 중에 가장 많은 지지를 받고 있는 렌줄리 박사의 모형에 따르면 영재는 평균 이상의 지능, 뛰어난 창의적 문제해결력과 과제집착력을 가진 사람을 말한다. 이는 이전의 지능 위주의 판별과는 큰 차이를 보인다.

그렇다면 일반적으로 비교, 관찰할 수 있는 특징은 어떤 차이가 있는지 다음 표를 통해 살펴보자.

위의 특성을 보면 영재아는 스스로 늘 의문을 갖고 그것을 해결하기 위해 탐구하고 생각을 만들어 가는 아이들이다. 특히 자기가 좋아하는 분야에는 왕성한 호기심을 보이고 내적 동기를 갖고 몰입한다. 이 학생들에게 꼭 필요한 교육은 새로운 지적 자극과 몰입할 수 있는 환경이다. 우리나라에서도 영재교육 실시를 통해 영재아들을 위한 교육 환경을 제공하고 있으나, 그 수혜자는 1% 정도이다. 와이즈만 영재교육에서는 2001년부터 가능성 있는 모든 학생들의 잠재력을 계발하기 위한 영재교육을 실시하고 있다. 기업 부설 영재교육연구소의 연구 활동을 통해 지속적으로 우수한 프로그램을 개발하는 것은 물론, 특히 영재아들이 지닌 특성에 맞는 교수법의 연구 및 교사 양성에 주력하고 있다. 와이즈만 영재교육은 영재아들이 특히 선호하는 구성주의 교수학습이론을 기반으로 수업을 진행한다.

영재아들이 도전하고 몰입할 수 있는 과제를 던지고 질문하면서 과제를 해결해 가도록 한다. 구성주의 학습법은 학생의 선개념에서부터 출발한다. 이미 알고 있는 사실과 모순된 상황이나 정보를 통해 올바른 개념을 이해하는 방식이다. 이 때 교사는 학생들이 올바른 방향으로 탐구할 수 있도록 도와주는 역할을 하게 된다.

학생과의 의사소통을 기본으로 하는 수업방식은 일상생활 속의 여러 흥미 있는 소재들을 교실로 끌어오게 된다. 아래는 와이즈만 3학년수업에서 제시된 해외여행을 계획할 때 발생하는 시차를 다룬 문제다.

아래 시계는 서울이 10월 1일 오후 6시 15분일 때, 인도 뉴델리와 프랑스 파리의 시각을 나타낸 것입니다.

서울 10월 1일 뉴델리10월 1일 파리 10월 1일 오후 6시 15분 오후 2시 45분 오전 10시 15분

은경이는 서울에서 10월 8일 오전 10시 25분에 비행기를 타고 출발하여 인도 뉴델리에 도착했습니다. 그때 뉴델리의 시계는 10월 8일 오후 3시 10분을 가리키고 있었습니다.

뉴델리에서 2시간 40분 동안 머문 후, 다시 비행기를 타고 프랑스 파리에 도착했을 때 파리의 시계는 10월 8일 오후 10시 43분을 가리키고 있었습니다. 은경이가 비행기를 탄 시간은 모두 얼마인지 구해 봅시다.

이 문제는 나라들 사이의 시차를 구한 다음, 이를 적용하여 시각을 구하는 문제이다. 이런 문제를 해결하기 위해서는 시간과 시각의 개념을 이해하고 시간과 시각 사이의 계산 방법을 알고 있어야 한다. 학생들에게는 나름대로의 시간과 시각의 개념이 있지만 문제에 도전하고 스스로 문제를 해결하는 과정에서 정확한 개념을 인지하게 된다. 실생활과 밀접한 유형의 문제는 수학 사고력 계발과 통합적 사고에 도움이 되기 때문에 와이즈만 수업에서 다양한 변형으로 다루어지고 있다.

국가 영재교육기관도 와이즈만과 ‘창의적 문제해결력 향상’이라는 같은 교육 목표를 가지고 있기 때문에 비슷한 유형의 문제가 선발 시험에 출제된다.

국가 영재교육기관은 현재 수학, 과학 위주의 교육 분야로 운영되고 있지만 언어, 예술 등의 분야로 점차 확대될 방침이다. 따라서 수학, 과학 이외에도 다른 학생들과 비교되는 재능이 있다면 관련된 영재교육 선발에 도전해 보는 것이 좋다. 좋은 교육 프로그램과 더불어 같은 관심사를 가진 친구들을 만날 수 있기 때문이다.

영재교육 대상자 선발과 관련해 학부모가 명심해야 될 사실이 있다면 영재교육 대상자 선발은 입시가 아니라는 점이다. 많은 학부모가 자식을 영재교육원에 보내고 싶어 하지만 아직 그 수가 충분하지 않아 때로는 실망으로 이어진다. 하지만 실망의 가장 큰 이유는 영재교육에 대한 이해 부족인 경우가 많다. 어린 시절 과학, 수학 영재교육 대상자가 아니라고 해서 그 학생의 가능성이나 잠재력이 부족하다고 단정할 수 없기 때문이다. 사실 영재아 선발에 가장 좋은 방법은 꾸준한 관찰이다. 아이가 어떤 것에 흥미를 느끼고 몰입하고 좋아하는지 지속적으로 지켜보고 그 길을 열어주는 것이 가장 이상적인 영재교육 대상자 선발인 셈이다. 따라서 영재교육에 가장 적합한 교육은 가정에서 가능하다. 즉 호기심을 갖게 하는 작은 질문을 하거나 아이의 엉뚱한 이야기를 들어주고 같이 생각해 보는 태도, 그리고 문제의 해답을 이야기해 주기보다는 아이와 함께 탐구해 보는 활동 등이 아이의 잠재력을 깨울 수 있다.
경향신문

왜? 어떻게? 수학적 추론 능력 키워라

다음은 법학적성시험(LEET) 문제 중의 하나이다.

어느 모임에서 지갑 도난 사건이 있었다. 여러 가지 증거를 근거로 혐의자는 A, B, C, D, E로 좁혀졌다. A, B, C, D, E 중 한 명이 범인이고, 그들의 진술은 다음과 같다.

A: 나는 훔치지 않았다. C도 훔치지 않았다. D가 훔쳤다.

B: 나는 훔치지 않았다. D도 훔치지 않았다. E가 진짜 범인을 알고 있다.

C: 나는 훔치지 않았다. E는 내가 모르는 사람이다. D가 훔쳤다.

D: 나는 훔치지 않았다. E가 훔쳤다. A가 내가 훔쳤다고 말한 것은 거짓말이다.

E: 나는 훔치지 않았다. B가 훔쳤다. C와 나는 오랜 친구이다.

각각의 혐의자들이 말한 세 가지 진술 중에 두 가지는 참이지만 한 가지는 거짓이라고 밝혀졌다. 지갑을 훔친 사람은 누구인가?

① A ② B ③ C ④ D ⑤ E

위 문제는 수학에서 다루는 대표적인 추론 문제이다. 세 가지 진술 중 두 가지는 참이고 한 가지만 거짓이라는 조건에 따라, A의 진술 세 가지를 각각 참-참-거짓, 참-거짓-참, 거짓-참-참의 경우로 따져 모순을 따져 본다면, A의 진술만을 통해서 적어도 A, C, D는 범인이 아니라는 것을 밝혀낼 수 있다.

수학은 분명 교과서 밖에서도 통하며 위력을 발휘한다. 법관이 주어진 상황을 바탕으로 이치를 따져 검증하고 결론을 내리는 일련의 사고 과정이 뛰어나지 않다면 법정에서 올바른 판결을 내릴 수 없을 것이다. 추론은 모든 학문 연구의 기본 방법이지만 수학처럼 분명하거나 잘 형성되어 있는 학문은 없다. 수학이 모든 학문의 기초가 되는 것은 이 때문이다.

이런 수학적 추론 능력과 관련된 문제는 초·중등 영재교육원 대상자 선발 과정은 물론 대학 진학을 위한 대학수학능력시험, 로스쿨 입학을 위한 법학적성 검사의 주요 출제 유형이며, 학생들이 가장 어려워하는 구술문제 방식 중 하나이다. 학생들은 왜 이런 유형이 낯설고 어려울까?

그 이유는 첫째 자신의 머리로 스스로 논리를 수립해야만 해결되는 방식의 문제 해결 방법이 익숙하지 않기 때문이다. 가설의 논리적인 타당성을 추정하고 증명하는 것은 수학을 행하는 창조적 행위의 본질이다. 경제학의 법칙이나 과학 속의 수학도 결국 현상에 대한 논리적이고 창의적인 해결 방식이기 때문이다.

<그림1>

<그림2>

20세기 후반부터 학생들의 수학 교육에서 창의력이 강조되는 이유도 여기서 찾을 수 있다. 정보화 사회의 기술 발전과 돌발성이 이전 산업사회의 방식으로 해결이 되지 않는 수많은 문제를 야기하기 때문이다. 더욱 다양하고 새로운 방법으로 문제를 해결할 수 있는 개인, 혹은 사회가 경쟁력을 가질 수 있기에 창의적인 인재 양성이 교육의 화두가 된 것이다.

따라서 영재교육원을 비롯한 여러 교육기관들이 창의적인 인재를 선발하기 위한 영재성 검사와 창의적 문제 해결력 검사, 구술시험을 도입하는 것도 같은 이유인 셈이다. 그 둘째 이유는 논리적 추론의 발달은 학생들의 지적 및 언어적 발달과 깊은 관련이 있기 때문이다. 지적 발달이 구체적 조작기에 있는 초등학생 시기에는 형식적인 추론과 추상화를 하는 능력이 아직 충분히 발달되지 않았기 때문이다. 하지만 조금 지적 발달이 빠른 학생들은 초등단계에서도 논리적 추론 과정을 매우 흥미있어 하며 논리적인 사고 훈련이 되면 능숙하게 문제를 해결해 낸다.

LEET 문제와 비슷한 유형의 와이즈만 5학년 수학 문제를 살펴보자.

[말 속에 숨은 뜻 찾기]

경진, 지원, 창민, 경아, 현정이는 오늘 수학 시험을 보았습니다. 수학 시험을 성적순으로 늘어놓고 다음과 같이 각각 두 가지씩 이야기를 했습니다. 두 가지의 이야기 중 한 가지는 진실이고 다른 한 가지는 거짓입니다. 점수가 제일 잘 나온 학생은 누구입니까?

경진: 나는 세 번째로 점수가 높고, 창민이는 두 번째로 점수가 낮습니다.

지원: 나는 세 번째로 점수가 높고, 경아는 두 번째로 점수가 높습니다.창민: 내가 제일 점수가 높고, 경진이는 두 번째로 점수가 낮습니다.

경아: 나는 두 번째로 점수가 높고, 경진이가 제일 점수가 높습니다.

현정: 나는 두 번째로 점수가 낮고, 경아가 제일 점수가 높습니다.

그렇다면 아주 어린 학생들과 함께 할 수 있는 추론 활동에는 어떤 것이 있을까? 우선 주변에서 발견할 수 있는 규칙을 찾아보고, 그 규칙의 관계성을 생각해 보는 활동은 어릴 때부터 추론 능력을 발달시킬 수 있는 아주 좋은 수학 활동이다.

다음은 와이즈만 1학년 수학문제로 빨랫줄을 이용한 논리 게임 활동의 예이다. <그림 1>

→ 빨랫줄에 널려 있는 옷들을 사진으로 찍은 후 사진들을 보고 널려 있는 옷들의 순서를 논리적으로 추론하여 결정해 보는 활동입니다. 학생들은 상황을 생각하며 전후 사진의 관계를 파악하고 자신이 가진 정보를 최대한 활용하여 옳은 결론에 이르도록 합니다.

위 문제의 사진을 보고 학생과 어떤 규칙이 발견되는지 얘기해 보자. 이런 문제의 변형은 바둑알, 동전, 쌓기나무, 성냥개비 등 주변의 다양한 소품을 가지고 연습할 수 있는 유형이다. 아이가 규칙찾기에 익숙해지고, 문장을 이해할 수 있으면 반대로 상황을 재구성해보는 심화 활동을 할 수 있다. <그림 2>

→ 학생들이 주어진 문장의 의미를 파악하고 자신이 활용할 수 있는 정보를 찾아낸 후 논리적으로 사고하여 옳은 결론에 이르도록 도와줍니다.

계산 문제를 풀 때도 추론의 기초가 되는 논리 학습을 우선해 보자. 정답만 맞혀줄 것이 아니라 한 문제를 오래 풀더라도 왜 그런 답을 냈는지 그 이유를 적거나 설명해 보도록 대화를 나누는 것도 좋다. 또한 어떤 문제를 만날 때 ‘어떻게?’ ‘왜?’라고 질문하는 습관을 갖게 한다면 수학적 추론 능력을 기를 수 있을 뿐만 아니라, 문제 풀이 실력도 크게 향상된다.
경향신문

수학 사고력

요즘 들어 수학이 부쩍 화제가 되고 있다. 최근 불어닥친 ‘금융 경제위기’ 속에서 수학의 효용성이 높아졌기 때문이라는 안타까운 분석도 있지만 서울대 수학교육학과의 인기가 의예과 전자공학과의 뒤를 잇는다니 수학의 인기가 실감나는 대목이다. 경제·과학·정보기술(IT) 등 바야흐로 수학 전성시대인 셈이다.

그렇다면 수학 전성시대에 살아갈 학생들이 꼭 갖춰야 할 덕목은 무엇일까. 결론부터 말하자면 논리적으로 사고하는 힘을 키우며, 또한 다양한 문제해결 접근 방법을 익혀 가는 것이다. 수학은 모든 학문의 기초가 되는 생각하는 힘을 연마하는 학문이다.

수학을 처음으로 접하는 초등학교 시기에서부터 자연스럽게 논리적으로 사고하는 방법을 익히며 수학 문제를 해결하는 데도 다양한 방법이 가능하다는 것을 알아가는 것이 중요한데, 불행히도 우리 학생들은 대부분의 시간을 연산 훈련과 반복적인 문제 유형 연습에 매달리게 되며 고학년이 되면 선행 학습에 매달리게 된다.

그러나 그 결과는 어떤가. 가장 많은 시간을 수학 학습에 투자했음에도 생각하는 힘을 길러내지 못해 이제 본격적으로 수학적 사고력을 발휘해야 할 중·고등학생이 돼서는 수학이 너무 어렵고 지긋지긋한 과목이 돼 버리고 만다.

수학 점수가 높은 학생들은 수학적 사고력이 우수할까. 와이즈만 영재교육연구소에서는 학생들의 수학 사고력 평가를 위해 지난 2001년부터 ‘수학 사고력 진단 검사’를 개발해 적용하고 있다.

이 진단 검사의 특징은 선행 학습을 배제하고 자기 학년 이하의 개념만을 이용해 수학적 사고력과 창의적 문제 해결력을 측정한다는 점이다.

결과를 분석해 보면 학교에서는 수학 우등생인데 낮은 평가를 받는 일이 종종 발생한다. 다음의 한 문항을 보고 이야기해 보자.

가로와 세로에 있는 수는 각각 그 줄에 있는 구슬의 개수입니다.

서로 다른 방법으로 구슬이 들어갈 자리에 ○를 그리세요.

제시된 문제를 해결하기 위해서 필요한 개념은 사실 간단한 덧셈 개념 정도이다.

더 중요한 것은 각각의 경우를 따져 논리적으로 사고를 전개할 수 있는가 하는 능력, 즉 사고력이다.

또한 이 문제는 다양한 접근이 가능하며, 여러 형태의 정답이 나올 수 있는 문제다. 그러나 이런 유형의 문제는 일반적인 문제를 반복 훈련만 하던 학생들에게는 굉장히 낯설고 당황스러운 문제가 된다. 사고력 부분에서 낮은 평가를 받은 학생의 개념 영역 점수를 살펴보면 개념 영역에서도 유형화된 문제에는 익숙하지만 응용문제라든지 서술형 문제에 대해서는 낮은 이해도를 보인다.

그 이유는 앞서 말한 대로 아직도 시험을 위한 공식 암기와 유형화된 문제의 반복학습이 수학 공부의 대부분을 차지하고 있기 때문이다.

최근 교육청 영재교육원의 영재성 검사에서도 비슷한 유형의 문제가 출제되었다.

아래 빈칸에 동그라미 10개를 그리는데, 가로나 세로로 봤을 때, 동그라미 합이 2개 또는 4개가 되는 방법을 9가지 그리시오.

이 문항은 수학, 과학 분야의 영재아들을 판별하기 위한 문항으로 제시된 것이다. 이 문항을 통해 측정하려는 능력은 수학 문제를 얼마나 능숙하게 푸는가가 아니라, ‘논리적으로 사고를 전개하는 능력이 있는가?’ 그리고 ‘얼마나 다양한 방법으로 문제에 접근할 수 있는가’이다.

그러나 창의적인 사고력은 영재아들만의 전유물일 수 없다. 정도의 차이는 있지만 모든 아이들에게 사고력을 길러 주는 수학 교육이 필요하다. 수학 사고력은 한 문제를 여러 가지 방법으로 해결해 보고 그 문제를 분석해 보는 과정에서 키워질 수 있다.

a2+b2=c2이라고 무턱대고 외웠던 피타고라스 정리의 증명 방법은 300가지 이상이다.

하나의 정리를 도형의 넓이, 직각삼각형에서 닮음, 원의 접선, 극한의 이론 등 기초 수학에서 고등 수학까지의 개념을 이용해 증명해 보일 수 있다.

다양한 사고는 창의력을 구성하는 유창성과 융통성으로 연결이 된다. 그러므로 하나의 풀이를 외우는 것이 아니라 다양한 접근으로 사고력을 키우는 방법이 우리 아이의 수학 체력을 키울 수 있는 방법이다.
경향신문