10번의 주사위 놀이… 몇 번이나 이길 수 있을까?

선생님과 함께 주사위 놀이를 해볼까요
주사위 놀이를 해봅시다. 그냥 하면 재미가 없으니 내기를 해볼까요? 여러분이 이기면 선생님이 피자를 살게요. 반대로 여러분이 지면 아껴 두고 있던 초콜릿이나 사탕을 제게 줘야 해요. "선생님, 어떤 내기인지 내용을 알아야죠?"

자, 시작해 볼게요. 여기 하얀 주사위와 노란 주사위가 있어요. 우선 하얀 주사위에서 숫자 4개를 고르세요. 주사위니까 1~6 사이에서 골라야겠지요? 노란 주사위에서도 같은 방법으로 숫자 4개를 선택하세요. 하얀 주사위에서 1·2·3·4, 노란 주사위에서 2·4·5·6, 이렇게 달라도 되고 두 주사위에서 고른 숫자를 2·3·4·5로 통일해도 상관없어요.

▲ 그림=이영호

다 골랐나요? 이제 시작합니다. 두 주사위를 던져서 각각의 주사위에서 여러분이 고른 숫자가 나오면 선생님이 지는 것이고, 반대로 고르지 않은 숫자가 나오면 선생님이 이기는 거예요. 예를 들어 하얀 주사위에서 1·2·3·4, 노란 주사위에서 3·4·5·6을 고른 다음 던졌을 때 두 주사위에서 각각 여러분이 고른 숫자가 나오면 이기는 것이지요.

"저는 하얀 주사위에서 1부터 4까지의 숫자를 고르고, 노란색 주사위에선 1·3·5·6을 택하겠어요."

자, 그럼 주사위를 던집시다. 보다 정확한 결과를 위해 주사위는 열 번을 던지기로 해요. 처음에 주사위를 던지니 하얀 주사위는 1, 노란 주사위는 3이 나왔네요. 여러분이 이겼습니다. 주사위를 또 던집니다. 이번엔 하얀 주사위에선 4, 노란 주사위는 6이 나왔습니다. 오우, 또 여러분이 이겼네요. 이제 주사위를 열 번까지 계속 던집니다. 과연 누가 이겼을까요? 당연히 여러분들일까요? 어! 그런데 제가 이겼어요. 자, 사탕을 주세요. 아무래도 이상하니 다시 하자고요?

그럼 한 번 더 하죠. 또 주사위를 열 번 던졌습니다. 결과는? 선생님이 이번에도 이겼습니다. 초콜릿이 입에서 사르르 녹는군요. 여러분들에게 피자를 사주고 싶었는데 두 번 모두 선생님이 이겼어요. 도대체 이유가 뭘까요?

"그 주사위엔 특수 장치가 돼 있어서 선생님이 원하는 번호가 나오는 거예요." 이런 답도 나오는군요.

하지만 저는 마술도 할 줄 모르고 주사위에 특수 장치를 다는 법도 몰라요. 이 주사위는 아주 아주 평범한 주사위입니다. 동네 문방구에서 누구나 구할 수 있는 보통 주사위니까요.

여러분이 이길 확률을 알아봅시다
자, 이제 이런 결과가 나온 이유를 차근차근 따져봅시다. 하얀 주사위에서 여러분이 고른 1~4까지의 숫자가 나올 확률은 6분의 4입니다. 그리고 노란 주사위에서 여러분이 택한 1·3·5·6이 나올 확률도 마찬가지로 6분의 4이고요. 여러분이 내기에서 저를 이길 확률이 6분의 4나 되는 것 같은데 왜 졌을까요? 확실히 알아보기 위해 주사위를 던져 나올 수 있는 모든 결과를 적어 볼게요. 이것만큼 확실한 건 없겠죠?

주사위 2개를 동시에 던지면 총 36가지의 결과가 나옵니다. 두 개의 주사위에서 여러분이 고른 4개의 숫자 중 하나가 각각 나오는 경우의 수는 모두 16가지입니다. 36분의 16이니까 약분하면 9분의 4의 확률이지요. 여러분이 이길 확률이 9분의 4이니, 질 확률은? 9분의 5가 되겠죠. 오우! 뜻밖에도 애당초 여러분이 이길 확률이 질 확률보다 낮은 게임이었군요. 여러분에게 불리한 게임이지요.

이번에는 공으로 순서쌍을 만들어봐요
여기 검은 공 2개와 흰 공 1개가 있습니다. 여러분은 이 중에서 공 2개를 고를 수 있어요. 검은 공이 2개나 되니 검은 공 2개를 택하겠다고요? 그러면 선생님은 검은 공과 흰 공을 고를게요. 보이지 않는 주머니에 공 3개를 넣고 주사위처럼 10번 꺼내보도록 하겠습니다. 그런데 이번에도 선생님이 이겼어요. 오히려 주사위보다 훨씬 더 손쉽게 이겼네요.

검은 공A, 검은 공B, 흰공, 이렇게 3개의 공 중에서 2개를 꺼낼 순서쌍을 만들어 볼까요?

이렇게 공 3개 중에서 2개를 꺼낼 때 둘 다 검은 공이 나올 확률이 3분의 1에 불과하군요. 검은 공과 흰 공이 나올 확률은 3분의 2나 되니 선생님이 이긴 게 당연하지요?
이제 숫자가 적힌 공으로 로또와 비슷한 게임을 해볼까요? 여기 1·2·3·4·5·6 숫자가 적혀 있는 공이 있어요. 여러분은 6개의 공 중에서 3개를 고릅니다. 그다음에 공 3개를 꺼냈을 때 여러분이 고른 숫자 3개가 그대로 나오면 선물을 받는 방식이지요. 선물은 도넛으로 드릴게요. 당첨될 확률이 너무 낮을 것 같다고요? 그렇다면 기회를 다섯 번 드릴게요. 숫자 3개씩 다섯 번을 꺼낼 수 있다는 얘기지요. 이제 누구나 당첨된다고요? 음, 그런데 실제로 해보니 당첨된 어린이들이 훨씬 적네요. 이번에도 경우의 수를 모두 써서 알아볼게요.

이렇게 모두 스무 가지의 경우가 있군요. 이 중에서 다섯 가지는 여러분이 고른 경우가 되겠군요. 스무 가지 중에서 다섯 가지이니 20분의 5. 숫자 3개를 여러분이 정확히 맞힐 확률은 4분의 1밖에 되지 않는군요. 그렇다면 45개의 숫자 중 6개의 숫자를 맞히는 로또복권 1등에 당첨될 확률은 얼마일까요? 무려 814만5060분의 1이랍니다. 로또 1등에 당첨되길 바라느니 공부를 열심히 해 반에서 1등 하는 게 더 쉽겠지요?

[관련교과]
6학년 2학기 '경우의 수'

[함께 풀어볼까요]
1. '경우의 수'는 한 번의 시행으로 일어날 수 있는 어떤 사건의 가짓수를 말해요. 그럼 동전을 던졌을 때 경우의 수는 무엇인지 말해보세요. 가위바위보의 경우의 수는 무엇일까요?

2. 철희와 민수가 가위바위보 놀이를 합니다. 자, 이제 둘이 가위바위보를 할 때 나올 수 있는 경우를 모두 적어보세요. 이 중에서 철희가 가위, 민수가 보를 내는 경우는 몇 가지인가요?

3. 확률은 특정 사건이 일어나는 가짓수를 모든 경우의 수로 나눈 것이에요. 가위바위보에서 철희와 민수가 비길 확률을 구해보세요.

4. 홍림이는 혼자 동전과 주사위를 동시에 던지는 놀이를 하고 있습니다. 동전의 앞면과 주사위의 홀수가 나올 확률은 얼마인지 계산해 보세요.
조선일보