2013년 12월 10일 화요일

창의적 문제해결·과제집착력이 영재의 요건

최근 정부의 지속적인 영재교육 확대 정책에 따라 ‘영재’라는 말이 교육에서 아주 익숙한 단어가 되고 있다. 학부모의 관심도 높아져 영재 판별에 대한 문의도 늘고, 국가 영재교육기관에 입학을 원하는 학생의 수도 매년 증가하고 있다.


그렇다면 누가 영재인가? 이에 대해서는 절대적으로 정확한 기준은 없다. 역사적으로도 영재에 대한 정의와 선발 방법은 시대나 나라에 따라서 지속적으로 변화하고 수정되었다. 다만, 우리나라 영재교육진흥법에서는 ‘재능이 뛰어난 사람으로서 타고난 잠재력을 계발하기 위하여 특별한 교육을 필요로 하는 사람’을 영재라고 정의하고 있다.

즉, 영재는 한 가지 이상의 분야에서 뛰어난 잠재력을 가진 사람을 말하며, 그 잠재력은 특별한 교육을 통해 키워지고 발현될 수 있다는 것이다.

그러나 영재를 이해하고 판별하는 일은 쉽지 않으며, 많은 사람들이 영재는 지능이 대단히 높거나 학습 능력이 대단히 우수하다는 오해를 하기도 한다. 영재의 특성을 설명하는 이론 중에 가장 많은 지지를 받고 있는 렌줄리 박사의 모형에 따르면 영재는 평균 이상의 지능, 뛰어난 창의적 문제해결력과 과제집착력을 가진 사람을 말한다. 이는 이전의 지능 위주의 판별과는 큰 차이를 보인다.

그렇다면 일반적으로 비교, 관찰할 수 있는 특징은 어떤 차이가 있는지 다음 표를 통해 살펴보자.

위의 특성을 보면 영재아는 스스로 늘 의문을 갖고 그것을 해결하기 위해 탐구하고 생각을 만들어 가는 아이들이다. 특히 자기가 좋아하는 분야에는 왕성한 호기심을 보이고 내적 동기를 갖고 몰입한다. 이 학생들에게 꼭 필요한 교육은 새로운 지적 자극과 몰입할 수 있는 환경이다. 우리나라에서도 영재교육 실시를 통해 영재아들을 위한 교육 환경을 제공하고 있으나, 그 수혜자는 1% 정도이다. 와이즈만 영재교육에서는 2001년부터 가능성 있는 모든 학생들의 잠재력을 계발하기 위한 영재교육을 실시하고 있다. 기업 부설 영재교육연구소의 연구 활동을 통해 지속적으로 우수한 프로그램을 개발하는 것은 물론, 특히 영재아들이 지닌 특성에 맞는 교수법의 연구 및 교사 양성에 주력하고 있다. 와이즈만 영재교육은 영재아들이 특히 선호하는 구성주의 교수학습이론을 기반으로 수업을 진행한다.

영재아들이 도전하고 몰입할 수 있는 과제를 던지고 질문하면서 과제를 해결해 가도록 한다. 구성주의 학습법은 학생의 선개념에서부터 출발한다. 이미 알고 있는 사실과 모순된 상황이나 정보를 통해 올바른 개념을 이해하는 방식이다. 이 때 교사는 학생들이 올바른 방향으로 탐구할 수 있도록 도와주는 역할을 하게 된다.

학생과의 의사소통을 기본으로 하는 수업방식은 일상생활 속의 여러 흥미 있는 소재들을 교실로 끌어오게 된다. 아래는 와이즈만 3학년수업에서 제시된 해외여행을 계획할 때 발생하는 시차를 다룬 문제다.



아래 시계는 서울이 10월 1일 오후 6시 15분일 때, 인도 뉴델리와 프랑스 파리의 시각을 나타낸 것입니다.
서울 10월 1일 뉴델리10월 1일 파리 10월 1일 오후 6시 15분 오후 2시 45분 오전 10시 15분

은경이는 서울에서 10월 8일 오전 10시 25분에 비행기를 타고 출발하여 인도 뉴델리에 도착했습니다. 그때 뉴델리의 시계는 10월 8일 오후 3시 10분을 가리키고 있었습니다.

뉴델리에서 2시간 40분 동안 머문 후, 다시 비행기를 타고 프랑스 파리에 도착했을 때 파리의 시계는 10월 8일 오후 10시 43분을 가리키고 있었습니다. 은경이가 비행기를 탄 시간은 모두 얼마인지 구해 봅시다.


이 문제는 나라들 사이의 시차를 구한 다음, 이를 적용하여 시각을 구하는 문제이다. 이런 문제를 해결하기 위해서는 시간과 시각의 개념을 이해하고 시간과 시각 사이의 계산 방법을 알고 있어야 한다. 학생들에게는 나름대로의 시간과 시각의 개념이 있지만 문제에 도전하고 스스로 문제를 해결하는 과정에서 정확한 개념을 인지하게 된다. 실생활과 밀접한 유형의 문제는 수학 사고력 계발과 통합적 사고에 도움이 되기 때문에 와이즈만 수업에서 다양한 변형으로 다루어지고 있다.

국가 영재교육기관도 와이즈만과 ‘창의적 문제해결력 향상’이라는 같은 교육 목표를 가지고 있기 때문에 비슷한 유형의 문제가 선발 시험에 출제된다.

국가 영재교육기관은 현재 수학, 과학 위주의 교육 분야로 운영되고 있지만 언어, 예술 등의 분야로 점차 확대될 방침이다. 따라서 수학, 과학 이외에도 다른 학생들과 비교되는 재능이 있다면 관련된 영재교육 선발에 도전해 보는 것이 좋다. 좋은 교육 프로그램과 더불어 같은 관심사를 가진 친구들을 만날 수 있기 때문이다.

영재교육 대상자 선발과 관련해 학부모가 명심해야 될 사실이 있다면 영재교육 대상자 선발은 입시가 아니라는 점이다. 많은 학부모가 자식을 영재교육원에 보내고 싶어 하지만 아직 그 수가 충분하지 않아 때로는 실망으로 이어진다. 하지만 실망의 가장 큰 이유는 영재교육에 대한 이해 부족인 경우가 많다. 어린 시절 과학, 수학 영재교육 대상자가 아니라고 해서 그 학생의 가능성이나 잠재력이 부족하다고 단정할 수 없기 때문이다. 사실 영재아 선발에 가장 좋은 방법은 꾸준한 관찰이다. 아이가 어떤 것에 흥미를 느끼고 몰입하고 좋아하는지 지속적으로 지켜보고 그 길을 열어주는 것이 가장 이상적인 영재교육 대상자 선발인 셈이다. 따라서 영재교육에 가장 적합한 교육은 가정에서 가능하다. 즉 호기심을 갖게 하는 작은 질문을 하거나 아이의 엉뚱한 이야기를 들어주고 같이 생각해 보는 태도, 그리고 문제의 해답을 이야기해 주기보다는 아이와 함께 탐구해 보는 활동 등이 아이의 잠재력을 깨울 수 있다.
경향신문

왜? 어떻게? 수학적 추론 능력 키워라

다음은 법학적성시험(LEET) 문제 중의 하나이다.

어느 모임에서 지갑 도난 사건이 있었다. 여러 가지 증거를 근거로 혐의자는 A, B, C, D, E로 좁혀졌다. A, B, C, D, E 중 한 명이 범인이고, 그들의 진술은 다음과 같다.

A: 나는 훔치지 않았다. C도 훔치지 않았다. D가 훔쳤다.

B: 나는 훔치지 않았다. D도 훔치지 않았다. E가 진짜 범인을 알고 있다.

C: 나는 훔치지 않았다. E는 내가 모르는 사람이다. D가 훔쳤다.

D: 나는 훔치지 않았다. E가 훔쳤다. A가 내가 훔쳤다고 말한 것은 거짓말이다.

E: 나는 훔치지 않았다. B가 훔쳤다. C와 나는 오랜 친구이다.

각각의 혐의자들이 말한 세 가지 진술 중에 두 가지는 참이지만 한 가지는 거짓이라고 밝혀졌다. 지갑을 훔친 사람은 누구인가?

① A ② B ③ C ④ D ⑤ E

위 문제는 수학에서 다루는 대표적인 추론 문제이다. 세 가지 진술 중 두 가지는 참이고 한 가지만 거짓이라는 조건에 따라, A의 진술 세 가지를 각각 참-참-거짓, 참-거짓-참, 거짓-참-참의 경우로 따져 모순을 따져 본다면, A의 진술만을 통해서 적어도 A, C, D는 범인이 아니라는 것을 밝혀낼 수 있다.

수학은 분명 교과서 밖에서도 통하며 위력을 발휘한다. 법관이 주어진 상황을 바탕으로 이치를 따져 검증하고 결론을 내리는 일련의 사고 과정이 뛰어나지 않다면 법정에서 올바른 판결을 내릴 수 없을 것이다. 추론은 모든 학문 연구의 기본 방법이지만 수학처럼 분명하거나 잘 형성되어 있는 학문은 없다. 수학이 모든 학문의 기초가 되는 것은 이 때문이다.

이런 수학적 추론 능력과 관련된 문제는 초·중등 영재교육원 대상자 선발 과정은 물론 대학 진학을 위한 대학수학능력시험, 로스쿨 입학을 위한 법학적성 검사의 주요 출제 유형이며, 학생들이 가장 어려워하는 구술문제 방식 중 하나이다. 학생들은 왜 이런 유형이 낯설고 어려울까?

그 이유는 첫째 자신의 머리로 스스로 논리를 수립해야만 해결되는 방식의 문제 해결 방법이 익숙하지 않기 때문이다. 가설의 논리적인 타당성을 추정하고 증명하는 것은 수학을 행하는 창조적 행위의 본질이다. 경제학의 법칙이나 과학 속의 수학도 결국 현상에 대한 논리적이고 창의적인 해결 방식이기 때문이다.



<그림1>




<그림2>


20세기 후반부터 학생들의 수학 교육에서 창의력이 강조되는 이유도 여기서 찾을 수 있다. 정보화 사회의 기술 발전과 돌발성이 이전 산업사회의 방식으로 해결이 되지 않는 수많은 문제를 야기하기 때문이다. 더욱 다양하고 새로운 방법으로 문제를 해결할 수 있는 개인, 혹은 사회가 경쟁력을 가질 수 있기에 창의적인 인재 양성이 교육의 화두가 된 것이다.

따라서 영재교육원을 비롯한 여러 교육기관들이 창의적인 인재를 선발하기 위한 영재성 검사와 창의적 문제 해결력 검사, 구술시험을 도입하는 것도 같은 이유인 셈이다. 그 둘째 이유는 논리적 추론의 발달은 학생들의 지적 및 언어적 발달과 깊은 관련이 있기 때문이다. 지적 발달이 구체적 조작기에 있는 초등학생 시기에는 형식적인 추론과 추상화를 하는 능력이 아직 충분히 발달되지 않았기 때문이다. 하지만 조금 지적 발달이 빠른 학생들은 초등단계에서도 논리적 추론 과정을 매우 흥미있어 하며 논리적인 사고 훈련이 되면 능숙하게 문제를 해결해 낸다.

LEET 문제와 비슷한 유형의 와이즈만 5학년 수학 문제를 살펴보자.

[말 속에 숨은 뜻 찾기]

경진, 지원, 창민, 경아, 현정이는 오늘 수학 시험을 보았습니다. 수학 시험을 성적순으로 늘어놓고 다음과 같이 각각 두 가지씩 이야기를 했습니다. 두 가지의 이야기 중 한 가지는 진실이고 다른 한 가지는 거짓입니다. 점수가 제일 잘 나온 학생은 누구입니까?

경진: 나는 세 번째로 점수가 높고, 창민이는 두 번째로 점수가 낮습니다.

지원: 나는 세 번째로 점수가 높고, 경아는 두 번째로 점수가 높습니다.창민: 내가 제일 점수가 높고, 경진이는 두 번째로 점수가 낮습니다.

경아: 나는 두 번째로 점수가 높고, 경진이가 제일 점수가 높습니다.

현정: 나는 두 번째로 점수가 낮고, 경아가 제일 점수가 높습니다.

그렇다면 아주 어린 학생들과 함께 할 수 있는 추론 활동에는 어떤 것이 있을까? 우선 주변에서 발견할 수 있는 규칙을 찾아보고, 그 규칙의 관계성을 생각해 보는 활동은 어릴 때부터 추론 능력을 발달시킬 수 있는 아주 좋은 수학 활동이다.

다음은 와이즈만 1학년 수학문제로 빨랫줄을 이용한 논리 게임 활동의 예이다. <그림 1>

→ 빨랫줄에 널려 있는 옷들을 사진으로 찍은 후 사진들을 보고 널려 있는 옷들의 순서를 논리적으로 추론하여 결정해 보는 활동입니다. 학생들은 상황을 생각하며 전후 사진의 관계를 파악하고 자신이 가진 정보를 최대한 활용하여 옳은 결론에 이르도록 합니다.

위 문제의 사진을 보고 학생과 어떤 규칙이 발견되는지 얘기해 보자. 이런 문제의 변형은 바둑알, 동전, 쌓기나무, 성냥개비 등 주변의 다양한 소품을 가지고 연습할 수 있는 유형이다. 아이가 규칙찾기에 익숙해지고, 문장을 이해할 수 있으면 반대로 상황을 재구성해보는 심화 활동을 할 수 있다. <그림 2>


→ 학생들이 주어진 문장의 의미를 파악하고 자신이 활용할 수 있는 정보를 찾아낸 후 논리적으로 사고하여 옳은 결론에 이르도록 도와줍니다.

계산 문제를 풀 때도 추론의 기초가 되는 논리 학습을 우선해 보자. 정답만 맞혀줄 것이 아니라 한 문제를 오래 풀더라도 왜 그런 답을 냈는지 그 이유를 적거나 설명해 보도록 대화를 나누는 것도 좋다. 또한 어떤 문제를 만날 때 ‘어떻게?’ ‘왜?’라고 질문하는 습관을 갖게 한다면 수학적 추론 능력을 기를 수 있을 뿐만 아니라, 문제 풀이 실력도 크게 향상된다.
경향신문

수학 사고력

요즘 들어 수학이 부쩍 화제가 되고 있다. 최근 불어닥친 ‘금융 경제위기’ 속에서 수학의 효용성이 높아졌기 때문이라는 안타까운 분석도 있지만 서울대 수학교육학과의 인기가 의예과 전자공학과의 뒤를 잇는다니 수학의 인기가 실감나는 대목이다. 경제·과학·정보기술(IT) 등 바야흐로 수학 전성시대인 셈이다.

그렇다면 수학 전성시대에 살아갈 학생들이 꼭 갖춰야 할 덕목은 무엇일까. 결론부터 말하자면 논리적으로 사고하는 힘을 키우며, 또한 다양한 문제해결 접근 방법을 익혀 가는 것이다. 수학은 모든 학문의 기초가 되는 생각하는 힘을 연마하는 학문이다.

수학을 처음으로 접하는 초등학교 시기에서부터 자연스럽게 논리적으로 사고하는 방법을 익히며 수학 문제를 해결하는 데도 다양한 방법이 가능하다는 것을 알아가는 것이 중요한데, 불행히도 우리 학생들은 대부분의 시간을 연산 훈련과 반복적인 문제 유형 연습에 매달리게 되며 고학년이 되면 선행 학습에 매달리게 된다.

그러나 그 결과는 어떤가. 가장 많은 시간을 수학 학습에 투자했음에도 생각하는 힘을 길러내지 못해 이제 본격적으로 수학적 사고력을 발휘해야 할 중·고등학생이 돼서는 수학이 너무 어렵고 지긋지긋한 과목이 돼 버리고 만다.

수학 점수가 높은 학생들은 수학적 사고력이 우수할까. 와이즈만 영재교육연구소에서는 학생들의 수학 사고력 평가를 위해 지난 2001년부터 ‘수학 사고력 진단 검사’를 개발해 적용하고 있다.

이 진단 검사의 특징은 선행 학습을 배제하고 자기 학년 이하의 개념만을 이용해 수학적 사고력과 창의적 문제 해결력을 측정한다는 점이다.

결과를 분석해 보면 학교에서는 수학 우등생인데 낮은 평가를 받는 일이 종종 발생한다. 다음의 한 문항을 보고 이야기해 보자.

가로와 세로에 있는 수는 각각 그 줄에 있는 구슬의 개수입니다.

서로 다른 방법으로 구슬이 들어갈 자리에 ○를 그리세요.






제시된 문제를 해결하기 위해서 필요한 개념은 사실 간단한 덧셈 개념 정도이다.

더 중요한 것은 각각의 경우를 따져 논리적으로 사고를 전개할 수 있는가 하는 능력, 즉 사고력이다.

또한 이 문제는 다양한 접근이 가능하며, 여러 형태의 정답이 나올 수 있는 문제다. 그러나 이런 유형의 문제는 일반적인 문제를 반복 훈련만 하던 학생들에게는 굉장히 낯설고 당황스러운 문제가 된다. 사고력 부분에서 낮은 평가를 받은 학생의 개념 영역 점수를 살펴보면 개념 영역에서도 유형화된 문제에는 익숙하지만 응용문제라든지 서술형 문제에 대해서는 낮은 이해도를 보인다.

그 이유는 앞서 말한 대로 아직도 시험을 위한 공식 암기와 유형화된 문제의 반복학습이 수학 공부의 대부분을 차지하고 있기 때문이다.

최근 교육청 영재교육원의 영재성 검사에서도 비슷한 유형의 문제가 출제되었다.

아래 빈칸에 동그라미 10개를 그리는데, 가로나 세로로 봤을 때, 동그라미 합이 2개 또는 4개가 되는 방법을 9가지 그리시오.




이 문항은 수학, 과학 분야의 영재아들을 판별하기 위한 문항으로 제시된 것이다. 이 문항을 통해 측정하려는 능력은 수학 문제를 얼마나 능숙하게 푸는가가 아니라, ‘논리적으로 사고를 전개하는 능력이 있는가?’ 그리고 ‘얼마나 다양한 방법으로 문제에 접근할 수 있는가’이다.

그러나 창의적인 사고력은 영재아들만의 전유물일 수 없다. 정도의 차이는 있지만 모든 아이들에게 사고력을 길러 주는 수학 교육이 필요하다. 수학 사고력은 한 문제를 여러 가지 방법으로 해결해 보고 그 문제를 분석해 보는 과정에서 키워질 수 있다.

a2+b2=c2이라고 무턱대고 외웠던 피타고라스 정리의 증명 방법은 300가지 이상이다.


하나의 정리를 도형의 넓이, 직각삼각형에서 닮음, 원의 접선, 극한의 이론 등 기초 수학에서 고등 수학까지의 개념을 이용해 증명해 보일 수 있다.

다양한 사고는 창의력을 구성하는 유창성과 융통성으로 연결이 된다. 그러므로 하나의 풀이를 외우는 것이 아니라 다양한 접근으로 사고력을 키우는 방법이 우리 아이의 수학 체력을 키울 수 있는 방법이다.
경향신문
 

중등영재교육원 대비 수학 특강] 도로 보수공사

어떤 지역에 20개의 도시가 있고 각 도시는 다른 모든 도시와 각각 한 개씩의 도로로 연결되어 있습니다. 그런데 이 도로들은 모두 개통된 지 오래되어 패이거나 손상된 부분이 더러 있어서 보수를 할 필요가 있었고, 경쟁 입찰을 통하여 A 건설회사가 보수 공사의 시공 회사로 선정되었습니다. 한편 치열한 경쟁을 뚫고 A 건설회사에 갓 입사한 신입사원 나토목 씨는 넘치는 의욕과 자신감에 이번 보수 공사에 자신도 참여할 수 있게 해 달라고 건의하였습니다. 하지만 평소 나토목 씨의 실력을 의심하던 상사가 그에게 다음과 같은 조건을 제시하였습니다.




“이번 공사는 공사 구간이 많은 만큼 한 군데씩 공사를 진행하다보면 기간이 너무 길어져 해당 도시의 주민들이 불편할 뿐만 아니라 비용도 높아질 수 있네. 마침 곧 휴가 기간이어서 도시 간 통행량이 줄어들게 된다네. 이때를 이용하여 되도록 동시에 여러 구간의 공사를 진행하려고 하는데, 아무리 그래도 다른 도시로 우회하여 모든 도시가 연결될 수는 있어야 하네. 최대 몇 개의 도로를 폐쇄할 수 있겠나? 자네가 이 문제를 해결해낸다면 공사 현장의 관리자로 참여시켜 주겠네.”

나토목 씨에게는 자신의 능력을 발휘할 수 있는 절호의 기회가 주어진 셈입니다. 과연 그는 뭐라고 대답해야 할까요?

실생활에서 복잡해 보이는 문제를 설계할 때 그래프가 자주 활용됩니다. 여기서의 그래프란 여러 개의 정점의 집합과 정점을 잇는 선으로 나타낸 그림을 의미하며, 그래프에서 선의 길이는 아무런 의미가 없고, 선이 교차되는 부분은 점으로 생각하지 않습니다. 쾨니히스베르크의 다리 문제로 유명한 한붓그리기 등이 그래프 이론에 해당합니다.

그래프에는 시작점과 끝점이 일치하는 그래프인 회로와, 두 점 사이에 반드시 하나의 선이 존재하는 그래프인 트리가 있습니다. 회로는 점의 개수와 선의 개수가 항상 같은 반면, 트리는 점의 개수가 선의 개수보다 항상 1개 더 많습니다.




위 문제에서 각 도시를 점, 도시와 도시를 연결하는 도로를 선으로 생각하면 20개의 점과 20x19 / 2=190 (개) 선을 갖는 그래프로 표현할 수 있습니다. 모든 마을을 연결하는 도로의 최소 개수는 모든 점을 최소한의 선으로 모두 연결하는 그래프인 트리 모양일 때의 선의 개수와 같습니다. 점이 20개인 트리에서 선의 개수는 19개이므로 (개)의 선을 잘라낼 수 있습니다. 따라서 한꺼번에 폐쇄할 수 있는 도로의 최대 개수는 171개입니다.




<1> 다음과 같이 3×3 격자 모양의 그물이 있습니다. 이 그물을 두 부분으로 나눌 때, 최대 몇 개의 단위 변을 자를 수 있는지 구하시오. 단, 단위 변은 점과 점 사이의 길이가 1인 선을 의미합니다.<2> 어떤 나라에 섬 8개가 있는데, 1에서 8까지의 번호가 붙어 있습니다. 두 섬 사이의 항로가 개설된 경우는 두 섬의 숫자를 배열해서 두 자리 수를 만들었을 때, 3으로 나누어떨어지는 경우뿐입니다. 섬 1에서 섬 7로 가는 방법의 가짓수를 구하시오. 다른 섬을 경유하여 가는 방법도 포함합니다.

<3> 어떤 나라에서 도시와 도시를 연결하는 도로는 모두 일방통행이고, 어느 한 도시에서 다른 도시로 이동할 때는 2개 이하의 도로를 통해서 항상 갈 수 있도록 설계되어 있습니다. 어느 날 도로 보수를 위해 한 곳의 도로가 폐쇄되었습니다. 이 경우 한 도시에서 다른 목적 도시까지 3개 이하의 도로를 통해서 항상 갈 수 있음을 보이시오.
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중등영재교육원 대비 수학 특강] 최대 기부액을 찾아라

가연이가 상금 전액을 우승자가 원하는 곳에 그 사람의 이름으로 기부할 수 있는 텔레비전 퀴즈 프로그램에 참가했습니다. 이 퀴즈 게임의 규칙은 다음과 같습니다. 예선을 거쳐 마지막으로 남은 두 사람이 결선에 진출합니다. 이 두 사람은 200만원을 합의하에 상금으로 나누어 기부할 수 있습니다. 각자는 자신의 몫을 가능한 한 크게 만들어야 하지만 상대방과 합의가 되어야 하는 제약이 있습니다.

게임이 시작되면 먼저 한 사람이 이 돈을 어떤 비율로 나누자고 제의합니다. 상대방이 이를 받아들여 합의에 이르면 게임은 바로 여기에서 끝나게 되고 두 사람은 합의한 비율대로 상금을 나누어 각자 기부하게 됩니다. 만일 상대방이 이 제안에 만족하지 않아 합의를 거부하면 게임은 2차 시기로 접어들게 되고, 이번에는 상대방이 어떤 비율로 나누자는 제안을 하게 됩니다. 만일 이 제안을 받아들이게 되면 2차 시기에서 게임은 끝나게 되고 상대방이 제안한 대로 상금을 나누게 됩니다.

만일 또다시 합의를 거부하면 게임은 3차 시기로 넘어가서 1차 시기에 제안했던 사람이 다시 어떤 비율로 나눌 것인지 제안하게 되는데, 게임은 무조건 3차 시기에 끝나게 돼 있어 상대방이 그 제안을 어떻게 생각하는가와 상관없이 무조건 제안대로 상금을 나누어야 합니다.

그런데 이 게임의 독특한 점은 시기가 넘어갈수록 나누어 가질 수 있는 상금의 총액에 제한이 생긴다는 것입니다. 1차 시기에는 200만원을 두 사람이 나누어 가질 수 있지만 2차 시기에서는 총액이 100만원으로 줄어들게 되고, 마지막 3차 시기까지 넘어가게 되면 상금의 총액은 50만원이 됩니다. 두 사람이 빨리 합의를 하지 못하고 시간을 지연시킨 데 따라 두 사람 모두 손해를 보도록 규칙을 정한 것입니다.

가연이가 드디어 예선을 통과해 최종 결선에 진출했습니다. 예선 점수가 더 높아 1차 시기 제안권을 먼저 획득한 가연이가 처음에 얼마를 갖겠다고 제안할 때, 원하는 곳에 기부할 수 있는 금액이 최대가 될 수 있을까요?

거꾸로 3차 시기부터 생각해 봅니다. 3차 시기에는 상대방이 가연이의 제안을 거부할 수 없으므로 당연히 가연이가 50만원 모두를 갖는다고 제안합니다. 2차 시기에서는 총 100만원을 나누게 되는데, 상대방은 최소한 3차 시기에서 가연이가 가져갈 수 있는 상금 이상을 가연이에게 제안해야 가연이가 제안을 받아들일 것이므로 똑같이 50만원씩 나누어 갖기로 제안을 해야 합니다. 1차 시기에서는 총 200만원을 나누게 되는데, 마찬가지로 제안이 거부되었을 경우 2차 시기에서 상대방이 가질 수 있는 최대 금액인 50만원 이상을 보장해야 합의가 가능하므로 가연이는 처음 1차 시기에 최대 150만원을 갖겠다고 제안할 수 있습니다.

물론 이러한 제안이 가능하려면 가연이뿐만 아니라 상대방 또한 이와 같은 상황을 논리적으로 완벽하게 이해하고 있을 때만 가능합니다. 한편으로는 상대방은 어차피 1차 시기의 가연이의 제안을 수용할 때와 2차 시기로 넘어갈 때의 예상 몫이 같으므로 가연이의 몫을 줄이기 위해서 1차 제안을 거부하는 심통을 부릴 수도 있지만 그렇게 되면 가연이 또한 심통을 부려 2차 제안을 무조건 거부해 상대방에게 한 푼도 돌아가지 않게 할 수 있으므로 결국 손해란 것을 명심해야 합니다.

<1> 칠판에 1이 10개, 2가 10개 적혀 있습니다. 병요와 지상이가 차례로 숫자를 두 개씩 지워 나갑니다. 지운 두 숫자가 같을 때는 2를, 다를 때는 1을 다시 칠판에 씁니다. 마지막에 1이 남으면 병요가, 2가 남으면 지상이가 이긴다고 할 때, 마지막에 항상 이기게 되는 사람은 누구입니까?

<2> 다음은 어떤 게임의 규칙입니다.

1. 한 사람은 수를 “하나, 둘, 셋 …” 큰소리로 셉니다.

2. 다른 사람은 일정량의 바둑돌을 가지고 수를 셀 때마다 3개 또는 4개의 바둑돌을 집습니다.

3. 3개를 집은 경우는 왼쪽, 4개를 집은 경우는 오른쪽에 놓습니다.

4. 바둑돌을 옮기는 사람의 바둑돌이 모두 없어지면 수세기를 중단합니다.

5. 수를 세는 사람은 옮긴 바둑돌의 개수를 말합니다.

미은이와 진희는 이 규칙에 따라 바둑돌 50개를 가지고 진희가 세는 수에 맞추어 미은이가 바둑돌을 옮기기로 했습니다. 진희가 열다섯을 세었을 때, 미은이는 바둑돌을 모두 옮겼습니다. 미은이가 왼쪽으로 옮긴 바둑돌의 개수와 오른쪽으로 옮긴 바둑돌의 개수를 각각 구하시오.




<3> 크기가 같은 정육면체를 이용해 다음과 같은 두 가지 직육면체를 만들었습니다. 이 두 가지 모양 중 하나를 이용해 경화와 주희가 차례대로 번갈아가며 같은 열 안에 있는 모든 정육면체를 직육면체의 면에 수직인 방향으로 철사뚫어 연결해 나가는데, 자기 차례가 되었을 때 더 이상 연결할 정육면체가 없는 사람이 진다고 합니다. 경화가 먼저 시작한다면 두 직육면체 중 어느 것을 선택해야 반드시 이길 수 있습니까? 또, 그 방법은 무엇입니까? 경향신문
 

 

중등영재교육원 대비 수학 특강] 빙산의 넓이

일각으로 빙산 크기 구하기
남극의 세종과학기지에서 연구원으로 근무하는 강동진씨는 어느 날 거대한 빙하의 일부가 육지에서 떨어져 나와 바다로 흘러가는 것을 발견하고는 그 변화 상태를 관찰하기 시작하였습니다. 이 빙산은 신기하게도 위에서 보면 한 변의 길이가 16km에 달하는 완벽한 정사각형 모양을 띠고 있는 사각기둥 모양이었습니다. 이 빙산에 추적 센서를 부착하여 이동 경로를 살펴보던 어느 날, 해류를 따라 위도 40° 부근까지 북상한 빙산을 발견하고는 항공사진 촬영을 하였더니 윗면의 모양이 팔각형으로 변해 있었습니다. 그 사이 빙산의 모양이 어떻게 변화하였는지 궁금해진 강동진씨는 추적 센서의 이동 경로를 바탕으로 빙산의 모양이 촬영되었을 법한 위성사진을 찾아보았으나 단 한 장만 입수하게 되었습니다. 처음 모양과 위성사진, 마지막 항공사진을 겹쳐 보았더니 아래 그림과 같이 중간 위성사진에서 관측된 모양은 원래 정사각형의 각 변의 중점을 잇는 정사각형 모양이었습니다.




마지막 항공사진에서 관측된 모양은 위성사진의 모양에서 일부가 잘려나간 모양이었는데, 처음의 정사각형의 각 변을 4등분하는 점을 이은 정사각형과 위성사진의 정사각형이 겹친 부분과 일치하였습니다. 강동진씨는 이 사진을 친구에게 메일로 보내주면서 현재 빙산 윗면의 넓이를 구하는 퀴즈를 내고는 만일 알아맞히면 남극의 멋진 풍경을 담은 사진을 더 보내주겠다고 하였습니다. 친구에게 보내는 메일에 주어진 힌트라고는 떨어져나간 삼각형 모양의 두 부분 ㉮와 ㉯의 넓이의 합이 16 ㎢라는 것뿐입니다. 이 팔각형 모양의 빙산 윗면의 넓이는 얼마일까요?





위 그림에서 정사각형 EFGH의 넓이는 ABCD의 넓이의 절반이므로 128 ㎢입니다.

또한 정사각형 IJKL의 넓이는 ABCD의 넓이에서 직각삼각형 JBK의 넓이의 4배를 뺀 것과 같으므로 16x16-4x(4x12x½)=160(㎢)입니다. 한편, 구하고자 하는 빙산 윗면의 넓이를 S라고 하면 정사각형 EFGH의 넓이는 S+4㉮, 정사각형 IJKL의 넓이는 S+4㉯라고 할 수 있습니다. 따라서 S+4㉮=128, S+4㉯=160의 두 방정식과 ㉮+㉯=16의 조건을 이용하면 빙산 윗면의 넓이가 112㎢임을 구할 수 있습니다.

<1> 다음과 같이 서로 다른 2개의 정사각형을 겹쳐 놓았습니다. 이 도형은 직선 AC, BD를 대칭축으로 하는 선대칭도형이고, ㉮, ㉯의 넓이가 각각 16, 18일 때, 정사각형 ABCD의 넓이를 구하시오.




<2> 정사각형 ABCD의 내부에 한 변의 길이를 각각 지름, 반지름으로 하는 원의 일부를 그려 넣었습니다. 색칠한 부분의 넓이를 구하시오.





<3> 다음 직사각형 ABCD에서 영역 ①, ②, ③의 넓이의 합과, 영역 ④의 넓이가 서로 같음을 보이시오.


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중등영재교육원 대비 수학 특강] 아르키메데스

인류 역사상 가장 위대한 수학자 중 한 명으로 고대 그리스의 학자 아르키메데스를 꼽습니다. 목욕탕에서 진짜와 가짜 왕관을 구분할 수 있는 방법을 발견하고는 기쁨에 겨워 “유레카”를 외치며 발가벗은 채로 뛰어나왔다는 일화로 유명한 그는, 여러 가지 위대한 수학적 발견 외에도 수많은 발명을 하였습니다. 제 2차 포에니 전쟁 당시 로마 함대가 그의 조국인 시라쿠스를 공격하였을 때, 그가 발명해 낸 거대한 투석기와 갈고리로 전함들을 침몰시키고, 거울을 이용하여 바다 위의 함선들을 불태워버리기도 하였습니다. 이에 로마군은 정면 공격을 포기하고 축제일 밤에 기습을 하여 결국 시라쿠스를 함락시켰습니다.




로마군이 쳐들어 올 당시, 아르키메데스는 모래 위에 도형을 그리며 무언가를 골똘히 연구하고 있었는데 한 병사가 그의 그림을 밟고 지나가자 “내 도형을 밟지 마라!”하며 크게 소리쳤다고 합니다. 그가 누구인지 알 리가 없는 병사는 화가 나서 그를 단칼에 베어 죽였는데, 뒤늦게 이 사실을 안 로마군의 지휘자 마르켈루스는 그의 죽음을 안타까워하며 평소 그가 제자들에게 부탁했던 대로 다음과 같은 모양의 그림을 그의 묘비에 새겨 넣어 그를 추모했다고 합니다. 이 그림은 원뿔, 원기둥, 구의 부피 사이의 비례 관계를 나타내어 주는데, 아르키메데스 스스로 이 발견을 얼마나 높이 평가했는지를 알 수 있습니다. 묘비에 새겨진 구, 원뿔, 원기둥의 부피 사이에는 어떤 관계가 있을까요?

위 문제는 워낙 유명하여 영재교육원이나 외고 입시에도 등장한 적이 있어 관심이 있는 학생이라면 한 번쯤은 보았을 것입니다. 그림에서 구의 반지름을 이라 하면 이 구의 부피는 ¾πR3으로 나타낼 수 있습니다.

원기둥과 원뿔의 반지름이 구의 반지름과 같고, 높이는 구의 지름에 해당하므로 원뿔의 부피는 πR2 x 2R x ⅓=⅔πR3 으로 구의 부피의 절반입니다.

또한 원기둥의 부피는 πR2 x 2R=2πR3 으로 원뿔의 부피의 3배입니다. 즉, 세 입체도형의 부피의 비는 (원뿔) : (구) : (원기둥) = 1 : 2 : 3 으로 놀랍게도 정수비임을 알 수 있습니다.

<1> 다음과 같은 직육면체 모양의 물통에 물이 ¾ 만큼 들어 있습니다. 이 물통에 금으로 된 왕관을 물에 완전히 잠기도록 넣었더니 들어 있던 물의 10%가 넘쳤습니다. 이 왕관의 부피를 구하시오.




<2> 아래와 같은 모양의 그릇에 매분 일정한 양의 물을 5분간 부었더니 채워진 물의 높이가 3cm가 되었습니다. 물을 가득 채우기 위해서는 몇 분간 더 부어야 하는지 구하시오.




<3> 사면체 ABCD의 네 모서리 BC, CD, DB, AD의 중점을 각각 P, Q, R, S라고 할 때, 두 사면체 APQR과 SQDR의 부피의 비를 구하시오.


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중등영재교육원 대비 수학 특강] 진짜 전문가는 누구?

근엄하고 당당한 자세로 항상 광화문 앞을 지키고 있는 이순신 장군 동상은 비단 서울 시민뿐만 아니라 모두에게 믿음직한 상징물입니다. 하지만 가까이에서 관찰해 보면 주변을 통행하는 수많은 차량들의 매연으로 인해 여기저기 오염된 부분이 많습니다.




시청에서 관련 업무를 책임지고 계시는 진섭이 아버지께서 이순신 동상의 정기적인 청소와 관리를 위해 보수 전문가를 수소문하여 최종적으로 A, B, C, D 네 사람과 각각 면담을 하였습니다. 네 사람이 서로 다음과 같이 말하였는데, 그들이 한 말이 모두 사실은 아니어서 참말의 수와 거짓말의 수가 네 사람이 서로 같다고 합니다.

누구에게 관리를 맡겨야 할지, 이 중에 과연 전문가가 있기는 한지 고민하고 있는 아버지 곁에서 유심히 살펴보던 진섭이가 넷 중에 적절한 전문가가 분명히 있다고 아버지께 말씀드렸습니다. 과연 가장 적절한 전문가는 누구일까요?

A : 1. 나는 장비를 다 갖추고 있지 않다.

2. D가 적임자이다.

3. C가 이런 일을 해 보았다.

B : 1. A의 첫째 번 말은 거짓이다.

2. D는 이런 일을 해 본 적이 없다.

3. A가 적임자이다.

C : 1. 나는 이 일을 해 본 적이 있다.

2. A는 장비를 다 갖추고 있지 않다.

3. B가 적임자이다.

D : 1. 나는 이 일을 해 본 적이 없다.

2. C가 적임자이다.

3. A는 장비를 다 갖추고 있지 않다.

참·거짓 문제를 해결할 때는 주어진 조건을 바탕으로 가장 적절한 가정을 세운 후, 논리적 타당성 여부를 검토하여야 합니다. 위 문제에서 A의 1, 3과 C의 1, 2는 같습니다. 또한 참말과 거짓말의 수가 같으므로 A의 2와 C의 3은 모두 참이거나 모두 거짓이어야 하는데, 두 명 모두 적임자일 수는 없으므로 모두 거짓입니다. A의 1이 참이라고 가정하면 B의 1, 3은 거짓이고 C의 2, D의 3은 참입니다. 즉 B의 말 중 적어도 두 개는 거짓이고 A는 적어도 한 번은 참말을 한 셈인데, 네 명이 말한 참 ? 거짓의 수가 같으므로 참말 한 번, 거짓말 두 번이어야 합니다. 따라서 B의 2는 참말이고 D의 1은 거짓이어야 하는데, 이는 조건에 맞지 않으므로 A의 1이 참이라는 가정은 틀렸습니다.

따라서 A의 1은 거짓이므로 B의 1은 참, C의 2는 거짓, D의 3은 거짓입니다. 결국 각자 참말과 거짓말을 적어도 한 번씩은 했다고 볼 수 있습니다. 만일 참말을 두 번, 거짓말을 한 번씩 하였다면 C의 1, 3과 D의 1, 2는 모두 참이어야 하는데, C의 3과 D의 2가 동시에 참일 수는 없으므로 각자 참말을 한 번, 거짓말을 두 번 하였음을 알 수 있습니다. B의 1이 참이므로 2, 3은 거짓입니다. 또한 B의 2가 거짓이므로 D의 1도 거짓입니다. 따라서 D의 2는 참입니다. D의 2가 참일 때 A, B, C의 말은 논리적으로 문제가 없으므로 적임자는 C입니다.

<1> A, B, C, D, E 다섯 명의 여학생이 있습니다. 이들의 아버지는 과수원에서 귤, 사과, 배, 포도, 바나나 중 한 가지 과일만을 재배합니다. 아래 문장을 읽고, 바나나를 재배하는 아버지의 딸이 가장 좋아하는 과일을 쓰시오.

(가) 누구 한 사람도 자기 아버지가 재배하는 과일을 가장 좋아하지 않습니다.

(나) 귤을 재배하는 아버지의 딸이 가장 좋아하는 과일은 E의 아버지가 재배하는 과일입니다.

(다) E는 사과, A는 배, B는 포도를 가장 좋아합니다.

(라) D의 아버지는 배를 재배합니다.

(마) 학생들은 서로 다른 과일을 가장 좋아합니다.

(바) 사과를 재배하는 아버지의 딸인 C는 바나나를 가장 좋아합니다.

<2> 승훈, 준규, 성봉, 지훈 네 사람이 11개의 사과를 나누어 먹었습니다. 각자 적어도 한 개를 먹었고, 모두가 그 사실을 알고 있습니다. 그러나 서로가 정확히 몇 개를 먹었는지는 모릅니다.

승훈 : 준규야, 너 나보다 많이 먹었니?

준규 : 모르겠는데. 성봉아, 너 나보다 많이 먹었니?

성봉 : 몰라.


이 세 사람의 대화를 들은 지훈이는 각자 몇 개의 사과를 먹었는지 정확히 알 수 있었습니다. 지훈이는 사과를 몇 개 먹었습니까?

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중등영재교육원 대비 수학 특강] 고수를 이겨라

컴퓨터를 이용하여 얼마나 논리적으로 프로그램을 잘 설계했는지를 알아보는 대표적인 것 중의 하나가 바로 서양 장기인 체스를 두는 인공 지능 컴퓨터입니다. 1989년 사상 최초로 이루어진 체스 컴퓨터와 세계적인 체스마스터인 러시아 선수와의 대결에서는 러시아 선수가 쉽게 승리했으나, 이후 초당 1억개 이상의 수를 생각해내는 슈퍼컴퓨터를 이용한 향상된 프로그램이 개발되면서 인간과 컴퓨터와의 승패 격차가 줄어들더니 현재에 와서는 컴퓨터가 인간을 이기는 경우가 더 많아지고 있습니다.




체스와 비슷한 장기와 바둑 또한 사람을 상대로 하는 인공 지능 프로그램들이 개발되어 있습니다. 하지만 체스나 장기와는 달리 바둑은 그 경우의 수를 헤아리기가 거의 불가능할 뿐만 아니라 게임 방식 자체에도 차이가 있습니다. 그래서 아직은 컴퓨터 수준이 인간의 수준에 훨씬 미치지 못하고 있지만 체스가 그랬던 것처럼 바둑도 언젠가는 세계를 제패하는 인공 지능 컴퓨터가 등장할 것이라고 생각하는 사람들도 있습니다.

이러한 믿음을 가지고 바둑 프로그램 개발에 몰두하던 어떤 기업에서 드디어 개발을 완료하여 회사 내부 직원들을 대상으로 테스트를 했습니다. 직원들을 모두 물리치던 바둑 컴퓨터가 드디어 회사의 최고수와 맞붙게 되었습니다. 지금까지의 테스트 결과로 볼 때 최고수와 컴퓨터가 서로 상대를 이길 확률이 정확히 반반이라고 합니다. 시합 방식은 각각 10점의 기본 점수를 가지고 시작하여, 한 판을 이기면 1점을 얻고, 지면 2점을 잃는 방식으로 계속하여 누적 점수가 0점 또는 1점이 되는 쪽이 시합에서 지는 것입니다. 컴퓨터가 8째 판에 시합에서 지게 될 경우의 수를 구해 보세요.

이 문제를 해결할 때 주의해야 할 점은 8째 번에 처음으로 컴퓨터의 누적 점수가 0점 또는 1점이 되어야 하고, 그 이전까지는 양쪽 모두 누적 점수가 2점 이상이어야 한다는 것입니다. 그렇지 않으면 중간에 시합이 끝나게 됩니다. 컴퓨터가 이긴 판이 x번, 진 판이 y번이라면 x+y=8이고 10+x-2y가 0 또는 1이 되어야 합니다. 따라서 7째 판까지 2번 이기고 5번 지면 되는데, 만일 7째 판에 이겨서 누적 점수가 2점이 되는 경우는 6째 판을 둔 후의 결과에서 누적 점수가 1점이었단 뜻이므로 게임이 끝났어야 합니다. 따라서 7째 판에는 반드시 져야 하므로 6째 판까지 2번 이기고 4번 져야 합니다. 6판 중에서 두 판을 고르는 경우의 수는 6×5÷2=15이므로 8째 판에 컴퓨터가 시합에서 지게 되는 경우는 모두 15가지입니다.

<1> 달모와 원주 두 사람이 씨름 경기의 결승전에서 맞붙게 되었습니다. 다음과 같은 규칙에 따라 우승자를 가린다면 달모 또는 원주가 우승자가 될 수 있는 경우는 모두 몇 가지인지 구하시오.

[규칙 1] 전체 경기 중 세 경기를 먼저 이긴 사람이 우승
[규칙 2] 시작과 동시에 연속 두 경기를 먼저 이겨도 우승
[규칙 3] 무승부는 없다.

<2> 그림과 같이 16장의 서로 다른 우표가 이어져 있습니다. 여기에서 3개로 연결된 우표를 선택하는 방법을 모두 찾으려고 합니다. 단 변과 변이 정확하게 일치하도록 연결되어야 하며, 어느 한 곳이라도 변의 일부만 연결되어 있거나 꼭짓점에서만 연결된 모양은 제외합니다.





<3> 한 변의 길이가 1㎝인 정오각형이 있습니다. 한 개의 주사위를 던져서 나온 눈의 수만큼 화살표 방향으로 꼭짓점 A를 출발하여 정오각형의 둘레를 움직이는 점을 P라 할 때, 주사위를 두 번 던져서 점 P가 꼭짓점 C 또는 D에 오는 경우의 수를 구하시오. 단, 둘째 번 던질 때는 첫째 번 던져서 점 P가 도달한 꼭짓점을 출발점으로 합니다.


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중등영재교육원 대비 수학 특강] 부족을 위해

원주민 보호 구역 안에서 관광객들에게 기념품을 판매하고 전통 공연을 보여주면서 생계를 이어가고 있는 무라 부족이 있습니다. 지금은 한 변의 길이가 5km인 정삼각형 모양의 보호 구역에 갇혀 살지만, 한때는 드넓은 초원을 누비며 사냥을 하던 긍지 있는 부족이기에 늘 보호 구역을 넓혀 달라고 주장하고 있습니다.




어느 날 무라 부족의 부족장이 정부 대표에게 면담을 요청하였습니다. 정부 대표는 뻔한 내용이라 생각하여 돌려보내려 하였으나, 부족장이 구체적인 요구 조건을 제시하려고 한다고 하자 일단 들어보기로 하였습니다. 부족장은 여느 때와 마찬가지로 보호 구역 확장을 요구하며 구체적으로 다음과 같은 제안을 하였습니다. “우리 부족에게 2시간만 주시오. 세 명의 부족민이 각자 마을을 떠나 세 방향으로 걸어가서 2시간 만에 도착한 세 지점을 꼭짓점으로 하는 새로운 삼각형 모양의 땅을 주시오.” 이 말을 들은 정부 대표는 그래봐야 얼마나 넓어질까라는 생각에 “좋소. 단, 세 명은 우리가 고를 것이고 걷는 방향도 현재 마을 경계의 연장선 방향으로 제한할 것이오.”라는 조건을 달아 수용하였습니다.

마침내 새로운 경계를 정하는 날이 되었습니다. 모든 부족민이 모인 가운데 정부 대표가 마음대로 세 청년을 선발하였습니다. 그런데 하필이면 한 청년은 마을에서 게으르기로 유명한 사람이었고, 다른 한 청년은 매우 병약한 사람이었습니다. 다행이 나머지 한 청년은 걸음이 빠른 청년이었습니다. 시간이 되어 마을의 세 꼭짓점 A, B, C 지점에서 각각 반직선 BA, CB, AC 방향으로 세 청년이 출발하였습니다. 게으른 청년은 귀찮은 듯 시속 5km로 터벅터벅 걸었고, 병약한 청년은 죽을힘을 다했지만 시속 7.5km가 한계였습니다. 걸음이 빠른 청년은 부족의 미래를 생각하며 시속 10km의 빠른 걸음으로 걸었습니다. 마침내 두 시간이 지났을 때, 세 사람이 도착한 지점을 경계로 새로운 보호 구역을 계산한 부하 직원이 원래의 보호 구역보다 수십 배나 넓어졌다고 보고하자 정부 대표는 깜짝 놀라고 말았습니다. 정확히 몇 배나 넓어졌을까요?

비례를 이용하여 도형의 넓이를 구하는 문제 중 특히 삼각형은 높이만 일정하다면 밑변의 길이의 비에 따라 다양한 모양과 간단한 조건 제시만으로 문제를 구성할 수 있기 때문에 자주 출제됩니다. 위 문제에서 A, B, C 지점에서 출발한 세 청년이 도착한 지점을 각각 D, E, F라고 하면, 선분 AD, BE, CF의 길이는 각각 원래 정삼각형의 한 변의 길이의 2배, 3배, 4배입니다.


삼각형 DAC, FCB는 삼각형 ABC와 높이가 같으므로 넓이의 비는 밑변의 비와 같습니다. 따라서 삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면 두 삼각형의 넓이는 각각 2S, 4S입니다. 또한 삼각형 DBC와 DEB, 삼각형 FAB와 FDA, 삼각형 FCB와 FBE는 각각 높이가 같으므로 밑변의 비를 이용하면 그림과 같이 넓이를 구할 수 있습니다.
따라서 새로 만들어진 영역의 넓이는 원래 보호 구역의 넓이의 36배나 됩니다.





<1> 삼각형 ABC에서 점 D는 변 BC의 중점이고, 점 E는 선분 AD의 중점, 점 F는 선분 BE의 중점, 점 G는 선분 FC의 중점입니다. 삼각형 EFG의 넓이와 삼각형 ABC의 넓이의 비를 구하시오.





<2> 넓이가 72cm2인 삼각형 ABC가 있습니다. 선분 AE, BF의 길이는 각각 선분 AB, BC의 길이의 ⅓이고, 점 D는 선분 AC의 중점일 때, 삼각형 EFD의 넓이를 구하시오.


<3> 다음 정육각형의 넓이를 1이라고 할 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하시오. 단, 변 AB 위에 있는 점과 점 사이의 거리는 같습니다.

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2013년 12월 9일 월요일

중등영재교육원 대비 수학 특강] 놀이기구 함께 타기

진희네 반 학생들이 놀이공원으로 소풍을 갔습니다. 평일이어서 그런지 기다리는 사람이 많지 않아 모두들 신나게 놀이기구를 타며 놀고 있습니다. 그런데 마침 새로 생긴 한 놀이기구 앞에는 유독 기다리는 사람이 많았습니다.

항상 같이 다니는 진희, 선경, 미은, 진경이도 이 놀이기구를 타 보려고 순서대로 나란히 줄을 섰습니다. 이 놀이기구의 정원은 7명인데, 평소에는 일행끼리 같이 타기 위해 양보도 할 수 있지만 오늘은 워낙 기다리는 사람이 많아 줄을 선 순서대로 무조건 타야 한다고 합니다. 순서가 되어 네 사람 중 누군가는 반드시 놀이기구를 타게 되었을 때, 네 사람이 한 번에 타게 될 확률은 몇 %일까요?





확률을 계산할 때는 전체 경우가 무엇을 의미하는지 정확히 이해한 다음, 문제에서 요구하는 특정한 사건의 경우를 찾아야 합니다. 이 문제에서 전체 경우는 넷 중 누군가는 반드시 놀이기구를 타는 것입니다. 즉, 진희가 7명 정원 중 마지막 순서로 혼자 타는 경우부터 진경이가 7명 정원 중 처음 순서로 혼자 타는 경우까지입니다. 따라서 전체 사건의 수는 (◎,◎,◎,◎,◎,◎,진희), (◎,◎,◎,◎,◎,진희,선경), …, (진경,◎,◎,◎,◎,◎,◎)의 10가지입니다. 이 중에서 네 사람이 한 번에 모두 타는 경우는 진경이가 마지막으로 타는 경우부터 진희가 처음으로 타는 경우까지이므로 (◎,◎,◎,진희,선경,미은,진경), (◎,◎,진희,선경,미은,진경,◎), (◎,진희,선경,미은,진경,◎,◎), (진희,선경,미은,진경,◎,◎,◎)의 4가지입니다. 따라서 네 사람이 한 번에 타게 될 확률은 4/10 x 100 =40% 입니다.

<1> A 상자에는 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7이 적혀 있는 일곱 개의 구슬이 들어 있고, B 상자에는 8, 15, 24, 33, 42, 51, 60이 적혀 있는 일곱 개의 구슬이 들어 있습니다. 미은이는 A 상자, 진경이는 B 상자에서 각각 한 개의 구슬을 꺼내어 구슬에 적힌 수의 합이 홀수이면 진경이가 이기고, 짝수이면 미은이가 이긴다고 합니다. 누가 유리합니까?

<2> 반지름이 5cm인 원판의 과녁에 활을 쏠 때, 화살이 원판 중심에 가까이 맞을 가능성(중심에서 반지름이 1cm인 원의 영역)과 원판 가장자리에 가까이 맞을 가능성(원의 둘레를 따라 폭이 1cm인 영역) 중 어느 것이 더 크겠는지를 확률을 이용하여 말해 보시오.





<3> 숫자가 적힌 두 개의 원판 A, B가 있습니다. 희수와 지영이가 원판을 각각 하나씩 정하여 동시에 화살을 쏘아 맞힌 영역의 숫자가 더 큰 사람이 이기는 게임을 하였습니다. 어느 원판을 이용하는 것이 더 유리합니까?






<4> 한 여인이 오랫동안 보지 못했던 친구 집을 방문합니다. 그녀는 친구의 가족이 친구 부부 두 사람과, 나이가 다른 두 아이들인 것을 알고 있습니다. 그녀가 친구의 집에 도착해서 벨을 눌렀을 때, 안쪽에서 한 남자아이가 “누구세요?”라고 하는 것을 들었습니다. 이 때, 친구 부부의 나머지 한 아이 역시 남자아이일 확률을 구하시오.
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중등영재교육원 대비 수학 특강] 바위를 옮겨라





고대의 건축물을 보면 그 어마어마한 크기에 놀라게 되는 것이 한두 가지가 아닙니다. 청동기 시대 고대인들의 무덤이었던 고인돌을 비롯하여 이집트 왕들의 무덤이었던 피라미드, 그 끝을 알 수 없는 중국의 만리장성을 비롯하여 우리나라의 석탑이나 성곽을 보면 거대한 바위들을 이용하여 건축하였습니다. 대부분의 건축물은 그 당시 부족장이나 왕의 권력의 힘을 나타내는 척도로 여겨져서 경쟁적으로 더 큰 규모로 만들었습니다. 이집트의 피라미드 중 가장 큰 피라미드는 높이가 1m, 폭이 2m이고 무게가 2.5t에 이르는 바위를 무려 230만개나 사용하여 만들었다고 합니다. 그런데 이렇게 무거운 바위를 옛날 사람들은 지금과 같은 중장비도 없이 어떻게 나를 수 있었을까요?

큰 바위를 옮기기 위해서 옛날 사람들은 바위 밑에 통나무를 받친 다음 수많은 사람이 당기고 끌었습니다. 건물의 높이가 높아질수록 흙을 이용하여 완만한 경사를 이루도록 산을 쌓아 끌어올린 것입니다.

아래 그림에서 거대한 바위를 옮기기 위해 바위 밑에 통나무를 받쳐 놓았습니다. 바위에 줄을 묶어 잡아당길 때, 만일 바닥에 놓인 통나무가 20m 이동하면 위에 있는 바위는 몇 m 움직이게 될까요? 또, 그 이유는 무엇일까요? 단, 통나무는 미끄러지지 않고 굴러서 움직입니다.


구르는 원의 이동 경로나 움직인 거리, 지나간 자취의 넓이를 구할 때는 원의 중심과 반지름, 둘레를 상황에 따라 잘 고려해야 합니다. 또한 원이 미끄러지면서 움직인 것인지, 미끄러지지 않고 굴러서 움직인 것인지도 생각해야 합니다. 이 문제에서 얼핏 생각하면 바위는 통나무와 마찬가지로 20m 움직인다고 생각할 수 있습니다. 통나무가 구르지 않고 미끄러졌다면 통나무가 이동한 만큼 바위가 이동하겠지만 통나무가 구르고 있으므로 통나무 위의 바위는 구른 거리만큼 더 이동하여 20+20=40(m)을 움직이게 됩니다. 딱풀과 자 등을 이용하여 직접 실험해 보면 확실하게 알 수 있습니다.

<1> 반지름이 10인 원판 A가 반지름이 20인 원판 B의 둘레 위를 미끄러지지 않고 굴러가서 한 바퀴를 돌아 본래 위치로 돌아올 때까지 원판 A가 회전한 바퀴 수를 구하시오.

<2> 다음 그림은 한 변의 길이가 20㎝인 정삼각형 3개를 붙여서 만든 사다리꼴입니다. 반지름이 5㎝인 원이 이 사다리꼴의 둘레를 한 바퀴 돌았을 때, 원이 지나간 부분의 넓이를 구하시오. 단, 원주율은 π로 계산합니다.

<3> 다음 그림과 같이 한 변의 길이가 5㎝인 정삼각형 ABC가 정사각형의 내부에서 변을 따라 구르고 있습니다. 이 정삼각형이 정사각형의 내부를 한 바퀴 돌아 원래의 위치로 돌아왔을 때, 점 A가 움직인 거리를 구하시오. 단, 원주율은 π로 계산합니다.
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중등영재교육원 대비 수학 특강]측량과 수학

아버지는 토목기사입니다. 어릴 때부터 아버지를 따라 이곳저곳의 공사 현장을 다녀볼 기회가 많았던 진섭이는 자연스럽게 건설과 관련된 일에 관심을 갖게 되었습니다. 요즘 진섭이네 아버지께서는 어느 연구소에서 설치 중인 입자가속기 공사 현장에서 근무하시는데, 진섭이가 아버지께 부탁하여 공사 현장을 찾았습니다. 공사 현장을 둘러보던 진섭이에게 아버지께서 다음과 같은 설명을 하셨습니다.




“입자가속기는 아주 작은 물질을 매우 빠른 속력으로 움직이게 하는 거대한 실험장치란다. 빠른 속력을 얻기 위해 원 모양으로 만들어져 있는데, 가장 큰 것은 둘레가 27㎞나 되지. 지난번에 보았던 자동차 주행 시험장과 비슷하지만 땅 속에 만들어진단다.”

“전 그런 것엔 관심 없어요. 오로지 건축, 토목에만 관심이 있다고요.”

“그놈 참. 그러면 아버지가 내는 문제를 해결하면 네가 좋아하는 내용들을 알려주마. 지금 네가 서 있는 곳(A) 바로 밑으로 원 모양의 가속기가 지나간단다. 정면에 보이는 건물이 원의 중심(O)이고, 네 자리에서 원의 중심을 연결하는 직선이 반대쪽 원의 둘레와 만나는 지점(B)에 이 연구소의 정문이 있어. 정문에서 가속기인 원의 둘레를 따라 일정한 간격으로 기숙사(C)와 전시관(D)이 지어질 예정이지. 네 위치와 기숙사를 잇는 직선(AC)이 네 위치를 각의 꼭짓점으로 하는 정문과 전시관 사이의 각(∠BAD)을 이등분한다고 할 수 있을까? 수학적으로 설명할 수 있겠니?”




원을 이용하면 중심각이 원주각의 2배이며, 반지름과 호의 길이가 같으면 중심각의 크기도 같다는 특징을 발견할 수 있습니다. 이를 거꾸로 이용하면 각의 측정을 통해 같은 거리의 위치를 측량할 수도 있습니다.문제에서 주어진 조건을 오른쪽 그림과 같이 나타낼 수 있습니다.

① 삼각형 OAC는 이등변삼각형이므로 ∠OAC와 ∠OCA의 크기가 같습니다. 따라서 외각인 ∠COB는 ∠CAB의 2배입니다. 즉, 한 호에 대하여 중심각의 크기는 원주각의 크기의 2배입니다.

② 부채꼴 BOC와 COD의 반지름과 호의 길이가 각각 같으므로 중심각의 크기도 같습니다. 따라서 ∠DOC=∠COB=2∠CAB이고, ∠DAC는 호 DC의 원주각이므로 중심각인 ∠DOC의 절반입니다. 따라서 ∠DAC와 ∠CAB의 크기가 같으므로 직선 AC는 ∠DAB의 이등분선입니다.

<1> 다음과 같이 원 O에 내접하는 사각형 ABCD가 있습니다. 선분 AB와 선분 AC의 길이가 같고 각 BAC의 크기가 30°일 때, 각 ADC의 크기를 구하시오.





<2> 다음과 같이 원 위에 다섯개의 점 A, B, C, D, E가 있습니다. 선분 AC와 선분 BE가 원의 지름이고, 호 DE의 길이는 호 CD 길이의 2배입니다. 각 CAD의 크기가 20°일 때, 각 OFB의 크기를 구하시오.


<3> 삼각형 ABC에서 각 BAC의 크기가 30°이고 선분 AB와 선분 AC의 길이가 같습니다. 점 A에서 변 BC에 그은 수선과 점 B에서 변 AC에 그은 수선의 교점을 P, 삼각형 ABP의 외접원과 변 AC의 교점 중 A가 아닌 점을 Q라 할 때, 각 PQC의 크기를 구하시오.



경향신문

중등영재교육원 대비 수학 특강]점자의 암호




시은이는 매주 봉사활동으로 시각장애인을 위하여 책을 읽어서 녹음을 하는, 오디오북을 만드는 일을 돕고 있습니다. 그 스튜디오의 옆방에서는 어떤 선생님께서 점자로 책을 만드는 일을 합니다. 녹음을 하러 갈 때마다 점자를 만드는 원리가 궁금했던 시은이는 어느 날 점자책을 만드시는 선생님께 어떻게 손으로 만져서 글자를 구분할 수 있는지 여쭈어 보았더니 다음과 같이 말씀하셨습니다. “우리가 한글의 자음과 모음을 서로 다른 모양으로 그려서 약속한 것처럼 점자도 각각의 점의 위치에 따라 약속을 한 것이란다. 점자는 6개의 점을 2×3 모양으로 배열한 한 칸이 하나의 알파벳을 나타내는데, 한글의 자음과 모음에 해당하는 각각의 모양이 있어. 단, 자음이 받침으로 들어갈 경우는 초성과 구분하기 위해 점을 좌우대칭으로 찍거나 내려찍고, 초성에서는 ‘ㅇ’을 나타내지 않는단다. 즉,

으로 나타내지.”

이와 같이 설명을 하신 선생님께서 다음과 같은 두 단어의 의미를 알려주셨습니다. 그리고는 마지막으로 한 단어를 써 주셨습니다. 마지막 말은 무슨 뜻일까요? 시은이를 도와 해결하여 봅시다.

모든 문자나 숫자의 표현은 오랜 동안 사람들 사이의 약속으로 정해진 것으로, 그 약속을 특정한 사람들끼리만 공유하는 것이 바로 암호입니다. 따라서 점자도 일종의 암호라고 할 수 있습니다. 위 문제에서 예로 주어진 두 단어는 각각 10개의 알파벳으로 되어 있습니다. ‘안녕하세요’와 ‘밥상다리’의 알파벳 순서대로 점자를 분해하여 각 알파벳과 점자의 모양을 대응시키면, 주어진 단어의 알파벳은 순서대로 “ㅅ, ㅏ, ㄹ, ㅏ, ㅇ(종성), ㅎ, ㅏ, ㅂ(종성), ㄴ, ㅣ, ㄷ, ㅏ”임을 알 수 있습니다. 즉, 주어진 표현은 ‘사랑합니다’입니다.

<1> 어떤 컴퓨터에 ‘정보’를 입력하면 ‘찾셔’가 출력되고, ‘서울’을 입력하면 ‘야죰’이 출력됩니다. ‘솜사탕’이라는 문자가 출력되었을 때 입력한 문자는 무엇입니까?

<2> 어느 암호문에서 ‘OTfs’는 1346을, ‘tZSF’는 2075를 나타냅니다. 비밀요원이 정찰한 결과 ‘SENT’명의 적군이 있다는 암호를 보내 왔습니다. 아군이 ‘NFZO’명일 때, 아군은 적군보다 몇 명 더 많습니까?

<3> (2, 3), (5, 3), (2, 5), (5, 1)은 LOVE를 나타내는 암호입니다. 다음을 해독하시오.

(1, 3), (5, 3), (3, 4), (5, 1), (1, 1)


<4> 다음과 같은 규칙으로 연산 ★을 정의하였습니다. (χ★y)★z=0일 때, χ★(y★z)의 값을 구하시오.
χ=1이면 χ★y=y
y=1이면 χ★y=χ
χ와 y가 모두 1이 아니면 χ★y=0
경향신문
 

중등영재교육원 대비 수학 특강]사이좋은 삼형제

어느 마을에 우애가 남다르기로 소문난 삼형제가 살고 있었습니다. 평소에도 조금만 좋은 것이 생기면 서로 나눠 갖던 삼형제가 살던 마을에 어느 해 극심한 가뭄으로 흉년이 들고 말았습니다. 동생들을 걱정하던 큰형이 하인을 불러 곳간에 있는 쌀 중에 세 가마니를 둘째네 집으로 보냈습니다. 큰형에게서 쌀을 받은 둘째는 자신보다는 막내가 더 어려울 것이라며 쌀을 가져온 하인에게 한 가마니만 두고 나머지 두 가마니는 막내네 집으로 가져가 달라고 부탁하였습니다. 이런 사정을 모르던 막내가 식구가 가장 많은 큰형을 걱정하는 마음에 두 가마니 중 한 가마니만을 받고 나머지 한 가마니는 큰형에게 돌려보냈습니다.





쌀 한 가마니를 가지고 돌아온 하인을 본 큰형은 어찌 도로 가지고 왔느냐며 또다시 세 가마니를 둘째네 집으로 보내었고, 둘째와 막내도 각각 이전과 똑같이 도로 돌려보냈습니다. 결국 이 하인은 무려 50번을 왕복하게 되었고, 기진맥진한 상태에서 큰형의 곳간을 살펴보니 쌀이 단 한 가마니만 남아있는 것을 알게 되어 비로소 쉴 수 있었습니다. 세 형제가 모여서 처음에 각자 가지고 있던 쌀의 양을 비교해보니 둘째는 막내보다 세 가미니, 큰형은 둘째보다 세 가마니를 더 가지고 있었음을 알 수 있었습니다. 그렇다면 처음에 큰형의 곳간에 있던 쌀의 양은 얼마일까요? 또 마지막에 둘째와 막내의 곳간에 남아있는 쌀은 각각 얼마씩일까요?

일정한 규칙이 반복되는 형태의 문제에서는 규칙의 핵심을 찾아 수학적으로 표현하면 간단히 해결할 수 있습니다. 위 문제에서 한 번 반복할 때마다 첫째네 쌀은 두 가마니가 줄고, 둘째와 셋째는 각각 쌀 한 가마니씩 늘어납니다. 따라서 n째번 시행 후 첫째, 둘째, 셋째가 가지고 있는 쌀의 양을 각각 A, B, C라 하면 (n+1)째번 시행 후 첫째, 둘째, 셋째가 가지고 있는 쌀의 양은 각각 (A-2), (B+1), (C+1)이 됩니다.

50번을 반복한 후 첫째에게 남은 쌀이 한 가마니이고 한 번에 두 가마니씩 줄어들었으므로 거꾸로 생각하면 첫째가 처음에 가지고 있던 쌀의 양은 1+50×2=101(가마니)임을 알 수 있습니다. 처음에 세 형제가 가지고 있던 쌀의 양이 각각 세 가마니 차이였으므로 처음에 둘째는 101-3=98(가마니), 막내는 98-3=95(가마니)를 가지고 있었습니다. 둘째와 셋째의 쌀의 양은 한 번에 각각 한 가마니씩 늘어나므로 50번을 반복한 후 마지막에 남은 쌀의 양은 각각 처음에 가지고 있던 것보다 50가마니씩 늘었습니다. 따라서 둘째는 98+50=148(가마니), 막내는 95+50=145(가마니)의 쌀을 가지고 있습니다.

<1> 1에서 100까지의 자연수가 적힌 카드 100장을 위에서부터 아래로 차례대로 쌓아놓고, 위에서부터 2장을 버리고 다음 한 장을 맨 밑으로 놓기를 반복합니다. 맨 마지막에 남는 2장의 카드에 쓰인 수의 합은 얼마입니까?

<2> 길이가 30㎝인 곧은 철사를 지면에 똑바로 세워 고정시킵니다. 그리고 위쪽 끝에서 1㎝ 되는 부분을 남쪽 방향으로 구부린 다음, 그 아래 1㎝ 되는 부분을 동쪽 방향으로 구부립니다. 다시 1㎝마다 북쪽, 서쪽 방향으로 구부립니다. 이와 같은 과정을 반복하여 더 이상 구부릴 수 없을 때까지 철사를 구부리면 철사의 맨 끝 부분은 어느 방향을 가리키겠습니까?

<3> 평면 위에 그려진 정삼각형의 각 변의 중점을 연결하여 생기는 가운데 삼각형을 제거합니다. 또 남아 있는 3개의 정삼각형의 중점을 연결하여 각 정삼각형의 가운데에 생기는 정삼각형을 제거합니다. 이러한 과정을 계속 반복하여 만들어지는 삼각형 모양의 체를 시에르핀스키 삼각형이라고 합니다. 이런 과정을 6단계까지 시행하는 동안 버려진 삼각형을 모두 더한 개수를 구하시오.



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중등영재교육원 대비 수학 특강]자리 바꾸기

원주는 친구들과 함께 매주 독서모임을 합니다. 이 독서모임에는 8명이 참가하는데, 아래 그림과 같이 두 개의 원 모양을 따라 앉는 특이한 자리 배치로 유명합니다.





이 모임에는 한 가지 규칙이 있습니다. 매주 모일 때마다 자리를 바꾸는데, 다음과 같이 한 번에 두 단계를 거쳐서 옮겨 앉습니다.
[1단계] 먼저 왼쪽 원을 따라 앉아 있는 5명의 학생들이 시계 방향으로 한 칸씩 자리를 옮겨 앉습니다.

[2단계] 1단계와 같이 자리를 옮긴 상태에서 이번에는 오른쪽 원을 따라 앉아 있는 5명의 학생들이 시계 방향으로 한 칸씩 자리를 옮겨 앉습니다.

이와 같은 방법으로 자리를 옮겨 앉았더니 둘째 주에는 자리 배치가 그림과 같이 바뀌었습니다.




모든 학생들이 처음에 앉아있던 자리로 다시 돌아오는 것은 최소한 몇째 주에나 가능할까요?

배열의 조건이나 규칙이 복잡한 경우에는 문제를 간단한 경우부터 생각하여 확장시켜 나가는 방법으로 해결하는 것이 좋습니다. 위 문제에서 우선 원주의 자리 배치만 생각해 봅시다. 원주는 3번의 자리 이동 후에는 원래의 자기 자리로 돌아가게 됩니다. 또한 이동 규칙이 같은 송미와 주희도 3번을 옮기면 자기 자리로 돌아갑니다. 마찬가지로 각각의 학생에 대해서 따로따로 생각해 보면, 준영, 윤경, 태희는 5번을 옮겨야 원래의 자리로 돌아오게 되고, 현주와 달모도 5번을 옮기면 원래의 자리로 돌아가게 됩니다. 따라서 모든 학생이 원래의 자리로 돌아가려면 3과 5의 최소공배수인 15번만큼 자리를 이동하면 되므로 16째 주에는 첫째 주와 같은 자리 배치가 됩니다.

<1> 주어진 수를 한 번씩만 사용하여 숫자 크로스 퍼즐을 모두 채워야 합니다. A+B+C의 값을 구하시오. 단, 주어진 수의 숫자 순서를 바꾸어 넣을 수는 없습니다.
24, 73, 139, 289, 387, 456, 532, 575, 621, 668, 716, 754, 808, 956




<2> 다음 규칙에 따라 1에서 9까지의 숫자를 한 번씩만 써 넣으려고 합니다. A와 B에 들어갈 숫자를 각각 구하시오.

삼각형 안의 숫자는 이웃하는 오각형 안의 수들의 곱의 첫째 자리 숫자입니다.

② 사각형 안의 숫자는 이웃하는 도형들 안의 수들의 곱의 끝 자리 숫자입니다.

③ 오각형 안의 숫자는 이웃하는 도형들 안의 수들의 합의 첫째 자리 숫자입니다.

단, 두 자리 수에서 십의 자리는 첫째 자리를 의미하고, 일의 자리는 끝 자리를 의미합니다. 또한 한 자리 수에서는 일의 자리가 첫째 자리이면서 동시에 끝 자리입니다.




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