We wish you a Merry Christmas

예술로 변한 수학, 이렇게 아름다울수가…

학문융합 앞장 브리지학회
美 토슨大 아트갤러리서 수학 소재 150개 작품 전시

[1] 아폴로니안 개스킷(Appolonian Gasket) 미스터리 서클을 연상케 하는 이 작품은 미국 롱아일랜드대 수학과 앤 번스 교수가 ‘아폴로니안 개스킷’이라는 도형을 주제로 한 그래픽아트다. 아폴로니안 개스킷은 고대 그리스의 수학자 아폴로니우스가 발견한 원의 성질을 이용해 만든 도형이다. 아폴로니우스는 세 개의 원이 서로 맞닿아 있을 때 가운데 빈 공간에 작은 원 하나와 세 개의 원을 둘러싼 커다란 원 하나를 반드시 그릴 수 있다는 사실을 처음 알아냈다. 이 원리로 무한히 원을 그리면 아폴로니안 개스킷이 만들어진다. 번스 교수는 신비감을 더하기 위해 원 둘레에 여러 개의 원을 더 그려 넣었다. [2] 얽혀 있는 잘린 토러스 두 개(Interlocking Sliced Tori) 갓 구운 베이글을 먹기 좋게 잘라놓은 것 같은 이 작품은 안과 밖을 구분할 수 없는 성질을 가진 ‘뫼비우스 구조’를 도자기로 구워 낸 것이다. 실험 수학으로 유명한 미국의 수학자 조지 하트는 베이글 한 개를 2개의 고리가 연결된 것처럼 잘라 뫼비우스 구조를 만드는 실험을 했다. 하트의 실험을 본 미국의 음악가 엘리자베스 페일리가 감명을 받아 뫼비우스 구조 베이글을 토러스(도넛 모양 도형)로 만들었다. 페일리는 음악가지만 대학에서 물리학을 공부해 평소 수학에 관심이 많았다. 최근에는 뫼비우스 띠 2개를 붙여 안과 밖이 구분되지 않는 ‘클라인 병’을 도자기로 구워 선보이기도 했다.

외계인이 그린 미스터리 서클일까. 크고 작은 원이 서로 맞닿아 신비로운 느낌을 주는 이 작품은 수학자가 발견한 이론에서 탄생했다. ‘아폴로니안 개스킷’이라는 도형을 주제로 그린 것. 수학이라고 하면 숫자나 복잡한 수식부터 떠오르지만 아름다운 미술 작품으로도 표현할 수 있다.

지난달 25∼29일 닷새간 미국 메릴랜드 주 볼티모어에 위치한 토슨대에서 수학 관련 학술행사인 ‘15회 브리지 학회’가 열렸다. 20개국 500여 명의 수학자와 예술가, 과학자가 모여 수학을 중심으로 학문 간 융합을 주제로 연구 결과를 나눴다.

토슨대 아트갤러리에는 아폴로니안 개스킷을 표현한 작품을 포함해 150여 점의 예술품도 전시됐다. 전시된 작품들은 수학자와 예술가가 출품한 작품 270여 개 가운데 선정한 것들이다. 수학자가 자신의 연구를 표현한 작품부터 수학의 매력에 빠진 예술가가 상상력을 더해 만든 작품까지 볼거리로 가득했다. 작품들은 토슨대 아트갤러리에서 8월 말까지 전시한다.

조직위원장인 레자 사르한지 교수는 “19세기 천재 수학자 에바리스트 갈루아의 이론을 주제로 작품 활동을 한 네덜란드 화가 마우리츠 에스허르의 작품은 수학자들에게 많은 영감을 줘 현대 수학의 발전에 기여했다”며 “타 학문과의 융합은 수학 발전에 중요한 역할을 할 것”이라고 말했다.

 동아사이언스

르네상스 걸작에서 찾은 원근법

최후의 만찬, 그 식탁에 초대받은 듯

밀라노에 가면 다른 곳은 몰라도 반드시 들르는 곳이 있다. 바로 산타마리아 델리 그라치에 성당이다. 이 곳에 유명한 레오나르도 다빈치의 <최후의 만찬>이 있기 때문이다.

<최후의 만찬>은 1498년 완성됐다. 한참이 지나 1970년대에 세상에 공개됐는데, 공개될 당시만 해도 훼손 정도가 무척 심했다. 그 이유는 달걀에 안료를 섞어 만든 템페라레 기법으로 그렸기 때문이다. 템페라레 기법으로 그린 그림은 젖은 석회를 바르고 그 위에 그림을 그리는 ‘프레스코’에 비해 색감은 뛰어나지만 보존이 어렵다. <최후의 만찬>도 훼손이 심해 1978년부터 1999년까지 21년 동안 보수를 거친 다음, 다시 공개됐다.

성당의 지하로 내려가자 최후의 만찬이 눈앞에 펼쳐졌다. 아! 햇빛이 거의 들어오지 않는 지하에서도 눈길을 끄는 이 색채감이란! 사람들은 모두 무엇엔가 홀린 듯, 천천히 작품 가까이 다가가 보았다. ‘마지막 식사라니 뭘 먹을까? 남자들도 참 고운 색 옷을 입었구나! 섬세한 옷 주름에 소곤소곤 어떤 대화를 할까?’ 책에서 봤을 때와 다르게 직접 눈앞에서 작품을 보니 별별 생각으로 가득하다. 이토록 생생한 그림을 어떻게 그린 걸까?





현실을 캔버스에 옮기는 원리를 깨닫다

<최후의 만찬>을 그린 레오나르도 다빈치는 그림을 보았을 때 현실을 보는 것처럼 생생하게 나타내는 방법을 알고 있었다. 그림 속 모든 선들을 정확하게 비례에 맞게 계산해 그리는 것이다. 현실에서는 분명 넓이가 같은 벽을 눈에서 가까운 곳은 넓게, 멀수록 좁게 그려 비례에 맞춰 줄였다. 또 보는 사람의 시선이 예수님의 얼굴 위 한 점에 모이도록 천정과 바닥에 선을 그려 넣었다. 그 선을 따라 가 보면 시선은 자연스럽게 그림의 한가운데 위치한 예수의 얼굴로 향한다. 바로 이것이다! 레오나르도 다빈치는 현실이라는 3차원 공간을 캔버스라는 2차원 평면으로 정확하게 재현하는 방법, 즉 원근법을 알고 그림에 적용했다.



원근법의 탄생

원근법을 최초로 적용한 사람은 1401년에 태어난 이탈리아의 화가 ‘마사초’로 알려져 있다. 그는 1428년 피렌체의 산타 마리아 노벨라 성당벽에 <삼위일체>란 그림을 그렸다. 당시에는 중요한 성인이나 하느님은 그 위치와 상관없이 크게 그리는 것이 상식이었지만, 마사초는 그렇게 하지 않았다.

자신이 그린 작품을 사람들이 어느 지점에서 볼지 생각한 다음, 원근법을 정확하게 적용했다. 마치 그림이 그려진 곳이 벽이 아닌 것처럼 말이다. 뒤쪽 지붕이 둥글게 보이도록 하고, 실제 공간 속에 예수님과 하느님이 앞뒤에 있는 것처럼 그렸다. 당시 그림이 공개 됐을 때 사람들은 무척 놀랐을 것이다.

그렇다면 원근법이 없었을 때, 화가들은 거리를 무시한 채 그림을 그렸던 걸까? 그렇지는 않았다. 원근법이 없었을 때도 화가들은 멀리 있는 물체는 작게, 가까이에 있는 물체는 크게 보인다는 정도는 알고 있었다. 다만 거리가 멀어지면서 얼마큼씩 크기가 작아지는지 몰랐기 때문에, 정확한 비례를 계산해 그린 원근법이 의미가 있는 것이다.

이렇게 현실과 최대한 비슷하게 그리는 원근법은 신이 아닌 인간 중심적이고 자유로운 문화를 추구하는 르네상스 이념과 일치한다. 인간이 살고 있는 현재에 관심을 갖고 캔버스에 그대로 표현하면서 있는 그대로 인간의 아름다움을 존중했던 것이다. 원근법은 신 중심에서 인간 중심으로 바뀐 세계관을 나타내는 도구가 되었다.



수학동아

생각하는 로봇

“‘기계가 생각할 수 있을까?’라는 질문에 대해 고려해 볼 것을 제안한다.”

앨런 튜링이 1950년에 발표한 ‘계산하는 기계와 지성’이라는 유명한 논문은 이 문장으로 시작한다. 본격적으로 인공지능이라는 화두를 던진 것이다. 지성을 판단하는 척도로 잘 알려진 ‘튜링 테스트’ 또한 이 논문에서 등장했다. 위 논문은 이후 인공지능, 로보틱스, 기계학습의 기원이 됐다. 튜링의 제안은 현대 컴퓨터과학과 인공지능에 어떤 영향을 미쳤을까. 우리는 언제쯤 생각하는 컴퓨터를 만들 수 있을까.



지성이란 무엇인가?

최근 스마트폰 운영체제 안드로이드는 사람의 얼굴을 인식해서 등록된 사람만 스마트폰을 사용할 수 있는 기술을 탑재했다. 실제로는 잘 정해진 규
칙에 따라서 얼굴 정보를 추출하고, 등록된 정보와 비교하는 것이지만, 마치 전화기가 얼굴을 알아보는 것 같다. 스마트폰은 도대체 어떻게 ‘생각’하는 것일까. 생각하는 방법의 규칙은 어떻게 발견한 걸까.

기원전 4세기, 그리스 철학자 아리스토텔레스가 삼단논법을 개발한 것도 그런 규칙을 찾고 싶어서였다. 삼단논법은 ‘사람은 모두 죽는다’와 ‘소크라테스는 사람이다’에서 ‘소크라테스는 죽는다’는 결론을 이끌어낸다. 문장의 단어들을 적당한 규칙에 따라 나열하면 새로운 정보를 이끌어낼 수 있다는 것이다.

이런 생각이 발전하면서 마침내 ‘생각하는 기계’라는 개념이 떠올랐다. 17세기의 독일 철학자 고트프리드 라이프니츠는 적당한 추론 규칙을 따르면 인간의 모든 생각을 표현할 수 있다고 생각하고 이러한 기계를 만들려고 했다. 19세기 중엽 영국의 수학자 조지 불은 이러한 논리를 더욱 발전시켰다. 참 또는 거짓 여부를 알고 있는 문장을 연결했을 때, 연결된 문장이 참인지 거짓인지 알아내는 규칙을 정의한 것이다.

이런 추론 과정은 규칙에 의해 이뤄진다. 만일 적당한 규칙(알고리듬)이 있다면 자동 기계로 모든 문장의 참 또는 거짓을 판별할 수 있을 것이다. 그러나 이런 알고리듬을 만들 수 있을까. 그런 자동 기계는 어떻게 만들어야 할까.

시대는 튜링을 위해 한 가지 도전을 던졌다. 20세기 초 수학자 데이비드 힐베르트가 ‘결정 문제’라는 수학 문제를 제기한 것이다(자세한 내용은 파트 1 참고). 튜링은 이 질문에 대답하기 위해 1937년 어떤 알고리듬이라도 표현할 수 있는 튜링 기계라는 개념을 제안했다.

[독일 수학자 다비드 힐베르트는 수학에 모순이 없다는 완전성을 주장했다. 튜링은 이 주장을 반박하면서 컴퓨터의 기원이 된 튜링 기계를 생각하게 된다.]

지성도 계산할 수 있을까
기계라 하면 우리는 보통 철도 차단기나 자동차처럼 단순한 행동을 규칙에 따라 자동으로 하는 장치를 떠올린다. 하지만 신경세포의 연결(시냅스), 세포의 단백질도 생물체 안에서 규칙에 따라 자동으로 어떤 일을 한다는 점에서 기계라고 볼 수 있다. 디아블로3 같은 컴퓨터 게임도 정해진 규칙에 따라서 작동한다는 점에서는 기계다.

18세기 산업 혁명기에는 천을 짜는 방적기처럼 반복 작업을 대신해주는 기계가 활발히 만들어졌다. 1739년 프랑스의 발명가인 자크 드 보캉송이 만든 기계오리는 오리와 거의 비슷한 크기에, 오리처럼 음식을 먹고 소화시켜서 배변활동을 했다고 한다. 기계오리는 인간의 행동 또한 기계로 만들 수 있는지 질문을 던졌다.

어느새 사람들의 관심은 생각을 대신해 주는 기계로까지 옮겨갔다. 1820년대 영국의 수학자 찰스 배비지가 차분기관을 만들었다. 마치 방직기가 육체노동을 대신하는 것처럼, 차분기관은 사람이 머리로 해야 했던 로그나 사인값의 근사값을 자동으로 계산해주는 기계였다. 차분기관은 처음 정해진 규칙에 따라서 작동하며 매우 복잡한 값을 자동으로 만들어 내고 계산할 수 있었다.

아마도 튜링은 각종 기계 장치들로 가득한 사회 분위기 속에서, 알고리듬을 한 단계씩 수행할 수 있는 기계 장치인 튜링 기계를 생각해 냈을 것이다. 알고리듬 중에는 수학 기호를 다루는 것들이 많다. 이전에는 수학 기호를 다루기 위해서는 사람이 직접 손으로 계산을 해야 했다면, 튜
링 기계는 알고리듬을 기계적으로 처리할 수 있는 형태로 저장할 수 있다.

더 자세히 알아보기 위해 튜링 기계를 들여다 보자. 튜링 기계는 현재 상태를 저장하는 ‘테이프’라는 기억장치와 기계가 상태를 바꾸는 규칙을 보관하는 ‘제어부’로 이뤄졌다. 만약 어떤 기계 또는 알고리듬이 잘 정해진 규칙을 따른다면, 그 기계의 상태를 테이프에 저장하고, 규칙을 제어부에 저장해 튜링 기계로 나타낼 수 있다. 이와 같은 튜링 기계를 모두 시뮬레이션할 수 있는 또 다른 튜링 기계는 ‘보편 튜링 기계’라 한다.

디아블로3 게임으로 설명해 보자. 게임 프로그램 역시 튜링 기계다. 그리고 프로그램을 실행하는 컴퓨터는 보편 튜링 기계다. 하드디스크에 저장된 파일은 튜링 기계의 설계도이며, 보편 튜링 기계인 컴퓨터는 이러한 프로그램을 메모리에 올려 시뮬레이션해서 튜링 기계를 작동시킨다.

튜링 기계와 그것을 실행하는 보편 튜링 기계라는 구조는 헝가리 출신의 미국 수학자인 존 폰 노이만에 의해 현대의 컴퓨터를 만드는 근본 원리가 되었다. 앨런 튜링이 수학적으로 처음 만들어낸 보편 튜링 기계와 우리가 지금 사용하고 있는 PC, 스마트폰 등 모든 컴퓨터는 동일한 능력을 가진 기계다. 그런 의미에서 앨런 튜링은 ‘컴퓨터의 아버지’이다.

튜링 기계가 모든 계산하는 기계를 표현할 수 있다면, 질문이 따라온다. 튜링기계로 우리 뇌를 표현할 수 있을까. 우리의 생각도 튜링 기계가 표현할 수 있는 알고리듬의 결과물일까. 1파트에서 힐베르트가 제시한 문제를 다시 생각해보자. 모든 문장의 참 또는 거짓을 판별하는 궁극적인 기계가 있다면, 그 역시 튜링기계로 표현할 수 있을 것이다. 그런데 앨런 튜링은 튜링 기계로는 참, 거짓을 결정할 수 없지만, 인간은 이해할 수 있는 문제가 있다는 사실을 보였다. 튜링의 증명에 따른다면 컴퓨터는 절대로 인간처럼 생각할 수 없는 것일까.

[보캉송이 만들었다고 전해지는 기계 오리. 비슷한 시기에 많은 사람들이 동물이나 사람과 똑같은 자동 기계를 만드는 데 관심을 가졌다.]
 

기계가 지성을 갖추려면 학습이 필요하다

글머리에서 언급한 것처럼 튜링은 1950년 논문에서 생각하는 기계를 만들 수 있는지 탐구했다. 인간은 확실히 1937년 논문에서 나온, 완벽하게 작동하는 튜링 기계와는 다르다. 인간은 언제나 실수를 저지르고, 동일한 문제에 대하여 다른 대답을 내놓거나, 이미 알고 있는 내용을 혼동하는 경우가 많다. 그러나 튜링은 기계가 학습을 통해, 인간처럼 지성을 가질 수 있다고 생각했다. 기계가 외부 환경과 사람들 속에서 자라면서 지식을 배우고 추론하는 방법을 학습하면 지성을 갖출 수 있다는 것이다. 튜링이 제안했던, 생각하는 기계의 비밀은 ‘학습’이었다.

문제는 기계가 실제로 지성을 가진 존재가 됐는지 판별할 수 있는 방법이었다. 튜링은 ‘튜링 테스트’라는 흉내 게임을 제안했다. 평가자는 컴퓨터인지 사람인지 모르는 상태로 참가자와 채팅으로 질문을 던지고 답을 받은 뒤 어느 쪽이 사람이고 어느 쪽이 컴퓨터인지 알아맞힌다. 만약 특정 비율 이상으로 컴퓨터를 사람이라고 판단한다면 컴퓨터가 지성을 갖고 있다고 보는 것이다.

 

 이는 이후 인공지능이라는 학문의 중요한 목표가 된다. 지성을 가지고 있는 유일한 존재가 인간밖에 없으므로, 인간과 같은 행동을 지성의 목표로 삼는 것이다. 1991년부터 수상하기 시작한 뢰브너 상(www.loebner.net)은 튜링 테스트를 통과하는 기계에 10만 달러와 진짜 금으로 된(올림픽 메달처럼 도금이 아닌!) 메달을 수여하기로 했다. 매년 열리는 대회에서 우승 상금인 2000달러를 가져간 참가자들은 있지만, 아직도 튜링 테스트를 완벽하게 통과한 10만 달러의 주인공은 나타나지 않았다.

 

[아이폰4s에 내장된 시리는 사용자가 질문을 던지면 대답하거나 적절한 검색 결과를 보여 준다. 얼핏 보면 사람의 질문을 듣고 이해하는 듯하지만 이는 입력된 프로그램대로 작동하는 것뿐으로, 실제 지성이 있는 것은 아니다.]

인공지능의 미래는 뇌에 있다

“기계가 생각할 수 있을까”라는 앨런 튜링의 질문은 현재진행형이다. 튜링을 필두로 한 20세기 중반의 여러 과학자들의 연구에 의해 오늘날 컴퓨터, 인공지능, 기계 학습과 같은 분야가 탄생했다. 인공지능은 인간이 정확한 규칙을 알아낼 수 있는 문제들에 대해서는 인간을 능가하고 있다. 이미 인간 체스 챔피언을 이겼으며, 퀴즈쇼에서 인간에게 승리를 거두었다. 아이폰의 시리는 말로 내린 명령을 알아듣고 답을 알려준다. 구글 자동차는 미국에서 무인 운전 자동차 면허를 따내는 데 성공했다. 이미 지난 이야기가 됐지만 검색엔진이 최고의 답을 찾고 페이스북이 ‘나를 알 만한 친구’를 찾아주는 것도 인공지능 덕분이다.

그러나 이런 기계들은 여전히 인간이 너무나도 쉽게 푸는 많은 문제들을 풀 수 없다. 이들은 두발로 걸을 수도 없고, 사과 그림을 보면서 그것이 사과라는 것을 알아볼 수도 없다. 또 우리는 이들이 실제로 생각하고 있다고 생각하지 않는다.

1950년대부터 연구를 시작한 인공지능을 기호적 인공지능이라고 한다. 방식을 조금 깊게 알아보자. 먼저 개념과 개념 사이의 관계를 기호로 표현한다. 이어서 마치 수학 문제를 풀 듯이 규칙에 따라 기호를 조작해서 새로운 정보를 찾아낸다. 예를 들어 체스를 배우기 위해 체스의 규칙과 체스판의 현재 상태를 기호로 표현하고, 이러한 기호들을 조작해서 다음 상황을 얻어낸다. 튜링이 낳은 인공지능은 결국 수학의 바탕 위에서 발전한 것이다. 1980년대까지 기호적 인공지능은 각광을 받았다. 많은 연구자들이 적절한 기호의 표현 방법과 기호를 다룰 수 있는 방법을 연구했다.

그러나 80년대 중반에 비판에 부딪힌다. 단순한 기호만으로 인간의 인지 능력을 모두 표현할 수는 없다는 것이 반론이었다. 사람이 처음에 체스를 배울 때는 규칙을 배우고 다음 상황들을 하나하나 예측하는 방법으로 사고할 것이다. 그러나 체스 고수는 체스판의 모습을 보기만 해도 다음의 좋은 수가 무엇인지 ‘그냥’ 알 수 있다. 어떤 과학자들은 기호식 인공지능을 ‘좋은 구식 인공 지능(GOFAI)’이라 부르며 기호를 바탕으로 하지 않는 인공 지능을 연구하기 시작했다.

인공신경망을 통한 기계 학습에 대한 연구가 그 예이다. 인공신경망의 각 세포들은 입력된 정보가 무엇인지 알아내는 대신에, 정해진 규칙에 따라 행동하며 다른 세포로 정보를 전달한다. 이런 과정을 거쳐 가장 맞는 답을 찾는다. 잘 학습된 인공신경망은 기존 인공지능이 엄두도 못냈던, 얼굴이나 패턴 인식에 쓸 수 있다. 초기에는 큰 인공신경망을 만들면 인간의 행동을 모방할 수 있을 거라고 생각했다. 그러나 최근에는 올바른 구조 없이 단순히 신경망의 크기를 늘리는 것만으로는 한계가 있다는 생각이 지배적이다. 우리가 일상적으로 사용하는 현재의 인공지능은 상황에 따라 여러가지 방법들을 혼용하고 있다.

완전한 인공지능을 만들기 위해 과학자들은 아예 사람의 뇌와 같은 방식으로 작동하는 기계를 만들고자 한다(과학동아 3월호 특집기사 ‘인공 뇌’ 참조). 뇌 전체의 일반적인 작동 알고리듬을 알아내고, 그것을 통해 기계를 학습시키려는 것이다. 필자의 연구실에서도 뇌세포라는 기계에서 지성이 만들어지는 작동 알고리듬을 알아내고자 한다.


[사람은 체스판의 현황을 보고 판세와 다음에 어떤 수를 둬야 할지 직관적으로 판단하는 면이 강하다. 그러나 인공지능은 모든 수와 상황을 계산하려 한다.]

 

[사이언스’가 튜링 100주년을 기리기 위해 4월 13일자 표지로 쓴 튜링 패턴. 이 패턴은 자연계에서 찾아볼 수 있다(130쪽 오리지널 논문으로 배우는 생명과학 참조).]

뇌는 세상을 보며 끝없이 가설을 만든다.

필자는 뇌가 ‘예측적 부호화’라는 방법으로 작동하고 있다고 생각한다. 이 가설의 내용은 이렇다. 뇌는 끊임없이 관찰할 세상에 대한 가설을 만들어서 세상을 인지하고 행동한다. 가설과 실제로 관찰된 것과의 차이를 이용해 더 나은 가설을 만든다. 뇌는 이와 같은 알고리듬을 이용해 세상을 경험하면서 생각하는 방법을 만들어 간다.

필자는 이러한 뇌의 작동 기작을 신경 로봇공학 또는 발생학적 로봇공학이라고 부르는 방법을 통해 로봇에 이식하려 한다. 이 로봇에게 세상을 경험하도록 만들어 여러가지 문제들을 해결할 수 있는 지성을 가진 기계를 만들고자 한다. 이것은 앨런 튜링이 제안한 생각하는 기계를 만드는 방법과 아이디어가 같다.

튜링의 생각하는 기계에 대한 전망은 21세기에 뇌과학과 컴퓨터의 발달을 통해 현실이 되어가고 있다. 물론 학습하는 인공지능은 인간만큼 학습시간이 필요할 수도 있다. 하지만 한번 학습을 끝낸 인공지능이 만들어지면 복제를 통해 많은 사람들이 쓰게 될 것이다. 이러한 학습 기계가 어느 날 자신의 인권을 주장한다면 어떻게 될까. 일본 애니메이션 ‘공각기동대’에는 스스로 생명임을 주장하며 망명을 신청하는 인공지능이 나온다. 이러한 기계들에게 우리가 어떻게 대응해야 하는지는 앞으로 많은 논의가 필요할 것이다. 다만 앨런 튜링 자신은 이러한 인공지능을 생각할 수 있는 동료로 공손하게 맞이했을 것이다.
 

과학동아

수학·과학 영재와 수학능력시험

A학생은 중학교시절 오로지 과학고 진학만을 목표로 수학과 과학을 집중적으로 공부를 했다. 이미 중학교 3학년 때 고등학교 수학과 과학 모든 과정을 마쳤다. 그 만큼 공부했는데도 과학고에 낙방해 어쩔 수 없이 집 근처에 있는 일반고에 진학했다. 대부분의 일반고는 1학년 때 과학 4단위, 수학 4단위만 배우고 나머지는 국어나 영어, 국사, 사회 등 대부분 암기 과목이며 인문계 과목이다. 수학과 과학은 단연 돋보여 늘 전교 톱을 했으나 국어와 사회 과목은 중상위권을 맴돌았다. 중학교 시절 독서를 많이 못해 독해력도 약했고, 사회 과목은 기초실력도 약한데다 외우는 것을 싫어해 좋은 성적을 낼 수가 없었다. 일반고에도 특목고나 자율형 사립고 진학에 실패한 후 배정 받아 온 내신 귀재들이 많이 있다. 좋은 내신 성적을 유지하기가 그리 녹녹하지 않다.

수리 ‘가’형과 과학 1등급으로 연세대 합격

A학생은 2학년으로 진급할 때 자연계열을 선택했다. 일주일에 수학이 9시간, 과학이 8시간이었다. 그러나 2학년 전체 15개 반 중 자연계열은 5개 반으로, 전체 인원이 200여 명 밖에 되지 않았다. 1등급을 받기 위해서는 8등 안에 들어야 하는데, 이것 역시 만만치 않아서 좋은 내신 성적을 받는 데 실패했다. 그러나 중학교 때 열심히 공부한 수학과 과학은 늘 1~2등급을 받았고, 학급 석차는 6~7등을 계속 유지할 수 있었다.

3학년이 된 후 발목을 잡은 것은 수능 언어(국어)영역과 외국어(영어)영역이었다. 중학교 때 독해력을 키우지 못한 것이 수능 언어뿐만 아니라 외국어까지 영향을 미쳤다. 죽어라 공부해도 언어는 3등급, 외국어는 2등급에서 딱 머물러 있었다. 9월 평가원 모의고사에서는 1교시 언어에 시달려 잘하던 수학까지도 흔들려 실수 연발하고 말았다! 수리 (가)형에서 난생 처음 3등급을 받기도 했다. 정시모집에서 건국대 중하위권 학과에 간신히 합격할 정도의 성적을 받았다. 그러나 이에 굴하지 않고 꾸준히 수능 공부에 집중했다. 수시모집에서는 자연계 논술을 치르는 연세대와 고려대, 성균관대에 지원했다. 9월 모의평가 성적보다 세 단계 정도 상향 지원한 것이다. 10월 중순에 있었던 연세대 논술 시험에서는 수학은 어느 정도 풀었는데 과학은 좀 어렵게 풀었다.

11월 대학수학능력시험에서 역시 언어는 3등급, 수리 (가)는 만점, 과학탐구 2개 과목도 만점, 외국어 3등급을 받았다. 9월에 비해 상당히 잘 봤는데도 총점은 513점으로 성균관대나 중앙대 중위권 학과에 간신히 합격할 수 있는 수준이었다. 수능 시험 후 11월 중순에 고려대와 성균관대 논술 고사를 봤는데 아쉬움이 많이 남는 시험이라면서 우울해 했다.

12월 초 수시 합격자 발표. A학생은 연세대를 포함해 세 개 대학에 모두 합격했다. 내신성적도 그리 좋지 않았고, 수능 성적도 연세대나 고려대는 꿈도 못 꿀 점수였다. 그러나 당당하게 합격했다. 바로 수능 우선선발 때문이다.

연세대와 고려대는 수리 (가)와 과탐 2개 과목 1등급인 수험생들을 대상으로 우선선발을 한다. 연세대는 모집 인원의 70%를, 고려대학은 모집인원의 60%를 선발한다. 이 기준을 넘기는 수험생들이 전국적으로 3000여 명 밖에 되지 않고, 이들의 상당수는 의예과에 지원한다. 따라서 연세대나 고려대 공대에 지원하는 학생들은 그리 많지 않다. 논술시험을 좀 망쳤다 해도 충분히 합격할 수 있다.

과학동아 독자들 중에는 과학고를 목표로 하는 중학생들, 과학고 재학생들, 자연계 상위권 학생들이 많다. 이들은 수학은 잘하는데 과학을 못하는 학생, 과학은 잘하는데 수학을 못하는 학생, 수학과 과학은 좋은 성적인데 국어와 영어는 신통치 않은 학생 등 다양한 성적 구조를 갖고 있다. 대학입시와 딱히 연결이 되지 않아서 고민하는 학생들이 의외로 많다. 그러나 대입 전형 방법 역시 상당히 다양하기 때문에 나에게 딱 맞는 전형 유형도 어딘가에 숨어 있다. 미리 자신에게 유리한 전형유형을 찾아보고 그 방향에 맞게 준비해야 합격 가능성을 높일 수 있다. 이것을 ‘선택과 집중’이라고 하는 것이다. A학생이 성공한 것도 상위권대 자연계 일반전형(논술)의 우선선발을 선택했고, 수학과 과학에 집중했기 때문에 성공했다.



수능 준비 없이 대학 간다!
수능은 일반고의 교육과정 범위 내에서 출제된다. 따라서 특목고나 특성화고는 수능에서 불리할 수밖에 없다. 물론 이들 고등학교에서도 수능과목을 가르치지만 전문교과 80단위를 이수해야 한다. 전문교과는 수능과 상관이 없기때문에 수능시험을 대비하는 데 걸림돌이 된다.





대학입시에서 수능 성적을 일체 반영하지 않는 전형이 있다. 그 중 가장 대표적인 것이 서울대 자연계 일반전형이다. 서울대는 수시 모집에서 모집 정원의 80%를 선발하는데 일반전형으로 1744명, 지역균형선발전형으로 752명을 선발한다. 일반전형은 단계별전형으로 1단계에서 서류전형으로 1.5~3배수를 선발한 후, 2단계에서 서류전형(50)+면접구술(50)을 반영해 최종 선발하는데, 의예과를 제외한 자연계열은 수능 성적을 일체 반영하지 않는다(단, 수능시험에는 반드시 응시해야 함).

서울대가 수능 점수를 요구하지 않는 이유는 무엇일까? 과학 분야에 우수한 영재들이 전공분야 연구에 집중하라는 뜻이다. 사실 과학올림피아드를 준비하는 학생들은 수능에 신경을 쓸 수 있는 시간과 여유가 없다. 일반적으로 수학이나 과학, 정보 국제 올림피아드에 출전하고자 하는 학생들은 초등학교 때부터 공부를 시작해 중학교 3학년 정도부터는 그 중 특정분야에 집중한다. 고등학교 1학년 시기에 일단 통신교육이나 집체 교육 대상자가 된다 해도 고 2, 3학년 때 국제올림피아드 한국 대표가 되고, 국제대회에 출전하고 입상하기까지는 정말 험난하고 먼 길이다. 이런 상황에서 이들을 국어나 수학, 영어 등 수능과목으로 발목을 잡아 놓으면 국제대회에서 실력을 발휘할 수 있겠는가.

필자가 아는 한 학생은 국제정보올림피아드에서 금상을 받았고, 오스트리아 인스브르크대학에서 주관한 세계 컴퓨터프로그래밍 대회에서 대상을 받을 정도 컴퓨터 프로그래밍 분야에서 세계적 수준이었다. 이 학생은 2005년 수시전형에서 서울대 전기전자공학부에 지원해 합격했다. 그러나 수능 최저학력기준을 채우지 못해 최종적으로 낙방했다. 결국 이 학생은 외국 유수 대학의 장학생으로 선발돼 유학길에 올랐다.

또 다른 학생은 국제수학올림피아드 한국 대표였으며, 국제대회에서 여러 차례 입상할 정도로 수학 실력이 뛰어난 학생이 있었다. 그 학생은 2008학년도 수능을 치렀는데, 수리 (가)형의 시험문제가 너무 쉽게 출제돼 2점 문제 한 문항만 틀려도 2등급으로 밀려날 정도였다. 늘 어려운 문제만 풀던 이 학생은 쉬운 문제에 적응이 되지 않아 이 시험에서 3등급을 받았다. 많은 사람들이 ‘어찌 이런 일이 벌어질 수 있냐’며 수능시험을 탓했다. 이 학생도 미국으로 유학을 떠났다.

수능은 일반 학생을 중심으로 평가하는 보편적 시험이다. 특정 분야에 뛰어난 학생들을 평가하는 시험이 아니라는 것이다. 서울대는 이러한 점을 감안해 특정 분야에 특별한 재능이 있는 학생이라면 수능 성적은 거들떠보지도 않는다. 서울대에 지원할 정도의 학생이라면 수능 정도는 의미가 없다고 판단하고 있다. 지역균형선발전형에서도 수능에 의한 최저 학력 기준은 2개 영역 2등급으로 중위권 대학의 최저기준에 불과하다.

이 외에 수능 성적을 무시하는 전형으로, 고려대 특별전형(과학), 서강대 알바트로스인재, 성균관대 특별전형(자연), 연세대 과학인재 전형, 중앙대 과학인재 전형, 한양대 우수과학인 전형 등이 있다. 이들 전형의 주목적은 과학고 출신자, 올림피아드 수상자, 과학/수학 영재코스 이수자 등을 유치하기 위한 것으로 볼 수 있다. 만약 수학이나 과학 분야에 심취해 있고, 수상 실적이나 활동 실적이 뛰어나다면 수능 성적에 연연하지 않아도 된다.

의대 목표! 수능을 무시하지 마라!

자연계 수험생 중 많은 수험생들은 의대 진학을 목표로 공부하고 있다. 의대 진학이 목표인 학생들은 일단 과학고나 영재학교 진학을 심각하게 고민한다. 물론 영재학교나 과학고 출신자들도 상당수가 의대로 진학하고 있지만, 현재 대입 전형만 놓고 보면 유리할 것이 별로 없다. 정부에서 영재고나 과학고를 설립·운영하는 목적이 기초 과학 영재의 육성이기 때문에 학교 입장에서도 의대 진학을 적극적으로 밀어주기가 힘들다. 특히 의대 쪽으로 우수학생이 편중되고 있는 현실을 정부와 학계에서는 매우 심각하게 우려하고 있다.

서울대 의대 등 상위 3개 의대를 목표로 하는 중3 학생들은 일반고나 자율고로 진학하는 경우가 많다. 이들 의대에 합격하기 위해서는 학생부 성적, 수능 성적, 자연계 논술 실력, 비교과 성적까지 완벽해야 합격 가능성을 높일 수 있다. 과학고나 영재학교로 진학하면 학생부 성적을 잘 받기 어렵고, 학교에서 수능을 준비하는데도 어려움이 있으며, 수상 경력을 관리하는 것도 쉽지 않다. 그러나 일반고에 진학하면, 전교권 성적을 유지하면서 내신 성적을 1.5등급 이내로 유지할 수 있고, 수능 준비도 할 수 있다. 학교 대표로 경시대회에 출전할 수 있는 기회도 많아지며, 각종 시상에 추천을 받아 수상 실적 관리도 수월하게 된다. 학생부, 수능, 비교과 등 세 마리 토끼를 동시에 잡을 수 있다는 것이다.

서울대 의예과의 경우 2013학년도 선발인원은 95명이다. 이중 지역균형선발전형으로 28명, 일반전형으로 47명, 정시전형으로 20명, 기회균형전형으로 6명을 선발한다. 연세대 의예과는 2013학년도에 77명을 선발하는데, 수시에서 58명, 정시에서 19명을 선발한다. 수시에서 학생부 성적이 중요한 학교생활우수자전형으로 11명을 선발하고, 논술 시험 성적이 중요한 일반전형으로 22명을 선발하며, 과학고나 영재고 출신자에게 유리한 과학인재 전형으로 21명을 선발한다. 고려대 의과대학 정원은 74명인데, 수시모집에서 일반전형(논술) 28명, 학교장추천전형(학생부성적 중심) 14명, 특별전형(과학) 13명, 기타 전형 9명 등 54명을 선발하고 나머지 20명은 정시모집에서 선발한다. 성균관대 의예과는 28명을 모집하는데 수시에서 일반전형에서 5명, 특기자(자연계)에서 5명 등 10명을 모집하고, 정시 모집에서 18명을 모집한다.
서울대 일반전형 47명, 연세대 과학인재 21명, 고려대 특별전형 13명, 성균관대 특기자 5명 등 86명은 수능과 관계없이 선발하는데, 주 타깃이 과학고와 영재고 출신자다. 일반고 올림피아드 출전자와 경시대회 상위 입상자, 수학·과학 내신 성적 우수자가 합격하기도 한다.

<표 2> 는 상위권 대학 의예과 수능 최저학력기준이다. 최소한 수능 2000등 내에 들어야 합격할 수 있다. 수능 점수가 충분히 잘 나와도 서울대와 연세대 의예과는 완전히 운으로 결정된다는 말이 있을 정도이다. 같은 학생이 수시모집에서 서울대 의예과에 합격했는데 연세대 의예과에는 떨어지기도 한다. 정시모집에서도 서울대와 연세대의 합격선 차이가 거의 없다. 수능이 매우 어렵게 출제될 경우에나 합격선이 2~3점 정도 벌어진다. 그러나 수능에서 2~3점은 실력차가 아니라 누가 실수를 했느냐 차이에 불과하다. 과학고나 영재고 출신자라 해도 수능을 무시하고는 의예과에 합격하기는 상당히 어렵다. 의예과는 경쟁이 치열하기 때문에 누구도 합격을 장담할 수 없다. 따라서 정시모집까지 고려해서 전략을 짜야 한다. 정시전형에서 가장 중요한 전형요소는 수능 총점이다. 의예과를 목표로 한다면 수능 공부까지 최선을 다해야 한다.

 과학동아

귀납적 탐구와 연역적 탐구의 선택

 같은 주제를 서로 다른 탐구방법으로 연구하는 과정을 소개하겠습니다. 주어진 문제 상황에 맞게 귀납적 탐구와 연역적 탐구를 적절히 선택했을 때 더 효과적으로 과제를 할 수 있습니다. 다음 사례를 보고 여러분도 한번 도전해보세요.

※ 이 코너에서는 생활 속에서 탐구 주제를 찾아 연구하고 연구보고서를 작성하는 다양한 사례와 방법을 알려줍니다. 자기주도적 학습을 통해 과학 실력과 창의력을 키우는 소중한 시간이 되기를 바랍니다.

이번 연구를 한 학생들이 살고 있는 곳은 부산의 영도라는 지역입니다. 부산에는 태종대와 감지해변이 있습니다. 그곳에서 가면 자갈마당(자갈로 된 해안가)이 펼쳐져 있습니다. 평소 그냥 스쳐지날 수 있는 광경이지만, 학생들은 자갈마당에 있는 자갈의 크기에 대해 의문을 품었습니다. 그리고 귀납적 방법과 가설연역적 방법의 두 가지 탐구과정을 거쳐 그 답을 얻으려고 노력했습니다. 두 가지 탐구과정의 차이점을 알아봅시다. 어떤 방법으로 탐구하는 것이 더 효과적이라고 단정지어 이야기할 수 없습니다. 주어진 상황에 맞게 스스로 문제를 설정하고 답을 얻어내는 과정이 중요합니다.

 과학동아

음악, 수학으로 연주해! 피타고라스 음정이론

피타고라스(Pythagoras, ca. 570~498 BC)는 ‘피타고라스의 정리’를 통해 수학자로 알려져 있지만, 사실 수학을 비롯해 소리를 연구하는 음향학으로도 유명하답니다.

그 중 ‘망치의 전설’은 꽤 유명하죠. 두 망치의 무게비가 2:1이면 ‘도’에서 ‘도’ 사이에 해당하는 옥타브 간격의 음정을 만들고, 무게비가 4:3이면 도에서 ‘파’ 사이처럼 4도 음정을 만든다는 것입니다. 그런데 실제 실험을 하면 그런 결과가 나오지 않습니다. 당연합니다. 망치가 부딪힐 때 나는 소리에는 무게 말고도 더 많은 물리적 요인이 작용하기 때문이죠. 단지 ‘상상적 결과’일 뿐입니다. 당시 그를 따르던 이들은 눈에 보이지 않는 소리를 눈에 보이는 수로 표현하는 이 신비한 이론 자체에 매료됐습니다. 실험에는 관심이 없었답니다.

피타고라스가 유리잔에 물을 넣고 잔을 때려 여러 높이의 음을 만드는 방법을 발견했다는 이야기도 정확하지는 않아요.

그렇다면 피타고라스가 음향학에 무슨 기여를 했냐고요? 그는 음높이와 현의 길이 사이에 반비례가 성립한다는 사실을 발견했습니다. 이것이 바로 피타고라스가 음향학 이론에 남긴 업적이죠. 이것은 실험에 의한 업적이지만 당시 사람들은 실험에 관심이 없었죠. 후대에 와서야 실험이 재조명 받게 됩니다.

피타고라스는 음정에 관해 업적을 세웠습니다. 음정 자체는 피타고라스가 만든 개념은 아닙니다. 8, 5, 4도 등 잘 어울리는 음정(어울림 음정)은 그 전부터 알려져 있었어요. 피타고라스는 이 음정들을 정수 비례로 나타냈어요. 자, 그럼 피타고라스의 음계를 한번 알아볼까요?

피타고라스는 온음이 8:9의 진동비를 가진다고 설명했습니다. 줄의 길이가 짧을수록 진동수가 높은 소리가 납니다. 따라서 줄의 길이는 진동비의 역수를 취하면 됩니다. 즉 줄의 길이 비는 9:8이 됩니다. 줄 길이 전체를 아홉 개로 나눠 하나를 없애고 나머지를 울리면 두 음은 ‘도-레’ 음정으로 들린다는 겁니다. 반음의 진동비는 243:256입니다. 줄 길이 전체를 256으로 나눈 뒤, 그 중 13개를 없앤 243에 해당하는 길이를 울리면 피타고라스의 두 음은 ‘도-도#’으로 들린답니다. 복잡하다고요? 좀 더 간단하게 알아봐요. <그림 1>을 보면서 생각해 보세요.



줄을 준비하세요. 간단한 악기를 만들어 봅시다.

두 가지만 기억하세요. ① 줄의 길이가 1/2 짧아지면 8도 높은 음을 낸다. ② 줄의 길이가 2/3 짧아지면 5도 높은 음을 낸다.

먼저 낮은 ‘도’의 줄 길이를 1이라 합시다. 그러면 낮은 도보다 8도 높은 ‘도’의 줄 길이는 1/2가 됩니다. 낮은 도보다 줄의 길이가 2/3 짧아지면 이보다 5도 높은 ‘솔’이 되죠. 솔에서 5도를 높이면 높은 ‘레’가 됩니다. 높은 레의 줄 길이는 낮은 솔보다 2/3 짧아집니다. 낮은 레는 높은 레보다 8도 낮으니 줄의 길이도 이보다 두 배 길죠. ‘라’는 레보다 5도 높으니 낮은 레 보다 줄의 길이가 2/3만큼 짧아요. 높은 도보다 5도 낮은 ‘파’의 줄 길이는 3/2배 깁니다. 이런 식으로 <표 1>의 빈 칸을 채워보세요. 이것을 이용해 고무줄이나 다양한 소재의 줄로 나만의 악기를 만들어 보세요.







철학자를 비롯한 과학자들은 옛날부터 ‘소리’가 무엇인지 궁금해 했어요. 갖가지 다양한 주장이 난무했죠. 형체는 보이지 않지만 강한 소리는 귀를 아프게도 하고, 좋은 음악은 마음을 편하게 하니 심리적으로도 영향을 미칩니다. 본격적으로 소리를 올바르게 물리적으로 이해한 것은 19세기 이후입니다. 물론 긴 세월 동안 사람들이 연구한 결과 덕분이죠.

심지어 ‘악학궤범(樂學軌範)’에서는 음악을 이렇게 정의합니다. “음악이라고 하는 것은 하늘에서 내려와 사람에게 머물며, 텅빈 곳에서 나와 자연 안에서 이뤄진다.” 무슨 말이냐고요? 아름다운 소리를 내는 악기지만 실상 악기는 속이 텅 비어 있는 것이 대부분입니다. 그러니 소리는 비어 있는 곳에서 나간다는 거죠. 그리고 공기 중으로 퍼져가니 자연 안에서 이뤄진다고 해석할 수 있습니다.

옛날 불교 경전에는 재미있는 이야기가 있습니다. 어느 나라의 왕이 기타처럼 생긴 현악기 ‘류트’의 소리를 처음 듣고 그 소리에 매혹됐습니다. 당장 신하들에게 황홀하고 매력적인 소리가 어디서 나는지 묻죠. 신하들은 류트를 왕에게 바칩니다. 그런데 황당한 일이 벌어집니다. 왕은 “류트말고 ‘소리’ 자체를 가져오라”고 명합니다. 소리를 가져올 수 있을 리 없죠. 왕은 악기를 부숴서 불태워 버립니다. 그리고 류트가 볼품없는 ‘물건’이라며 비하하죠. 옛날 사람들의 소리에 대한 이해는 이러했습니다.

피타고라스도 소리의 정체를 밝히기 위해 노력한 사람 중 한 명입니다. 처음에는 실험을 귀의 감각에 맡겼지만 그의 추종자들은 감각보다는 수(數)의 아름다움을 믿는 사람들이었습니다. 우리가 인식하는 모든 것을 수로 나타낼 수 있다고 생각했죠.



훗날 플라톤(Platon, ca. 429 ~347 BC)은 소리는 최종적으로 ‘간’에서 듣는다고 생각했답니다. 인체 장기 중 가장 부드러워서 작은 떨림에도 민감한 것을 보고 상상한 것입니다. 또한 그는 피타고라스파의 생각에 동조했습니다. 피타고라스의 음향학 연구를 천문 연구와 연관 지어 생각했죠. 지구에 있는 작은 물체가 움직일 때도 소리가 난다며 우주의 천체가 움직일 때는 아주 시끄러운 소리가 날 것이라 주장합니다.
아리스토텔레스(Aristotle, 384~322 BC)는 천체의 움직임에 음정이론을 적용하는 것을 반대합니다. 그렇지만 천체의 음악에 대한 사람들의 생각은 2000년 가까이 세월이 흘러도 쉽게 변하지 않았습니다.



그 후 많은 학자들이 음향학을 연구했습니다. 연못에 물결이 퍼지는 것처럼 소리의 파동도 퍼져나간다는 인식을 거쳐 알파라비(Al-Farabi, ca. 870~950)에서 진전이 생깁니다. 그는 “소리를 전달하는 것은 물체 사이의 충격에 의해 공기가 순차적으로 밀리면서 전달된다”고 주장합니다. 하지만 그도 음의 높낮이가 생기는 원리를 알아내지 못합니다. 음의 높낮이는 공기층에 가해지는 압력의 크기가 아니라 단위 시간당 압력이 가해지는 횟수와 관련이 있습니다.

갈릴레오에 이르러서야 같은 높이의 음을 내는 두 개의 줄 중 하나를 더 팽팽하게 하거나 굵기를 달리 하면 음높이가 달라진다는 것을 알아냈습니다. 음향학은 빠르게 발전하기 시작합니다. 보일(Boyle, 1627~91)은 소리가 파동을 전하는 매질을 통해 전달된다는 사실을 실험으로 보입니다. 데카르트(Descartes, 1596~1650)는 공명에 대해 연구했습니다. 영(Thomas Young, 1773~1829)은 줄의 진동 이론을 연구하고 이것을 활용해 악기를 조율하는 방법인 ‘영의 평균률’도 알아냈습니다. 푸리에(Jean B. Fourier, 1768~1830)는 파동이론의 기초 수학공식을 완
성합니다. 이러한 연구를 정리한 것이 바로 헬름홀츠(H.Helmholtz, 1821~94)입니다. 그의 이름은 진동수의 단위(헤르츠, Hz)로 씁니다.

* 과학동아

수학경시대회 참가자모집

0.1 % 영재들을 위한 수학과학 영재교육을 위해 열심히 연구노력하는  영재아 조기교육과 발굴에 희망을 품고 앞서가는 부모의, 뛰어난 아이들을 위한, 친절한 선생 으로서 삼위일체가 되어 커나가는 아이들의 장래를 위해 사다리 역활을 하여 21c의 유능한 인재를 육성하고자 합니다.. 어린아이들의 영재성을 조기에 발견하여 무한한 가능성을 마음껏 펼칠수있게 이끌어 줄수있는 수학자료를 발굴하여 소개해 드립니다.학부모님의 자녀가 수학 학습에 대한 의욕과 수학에 대한 자신감을 갖고 열심히 노력하여 미래를 주도하는 창의력이 뛰어난 인재로 자랄수 있도록 앞으로도 꾸준히 노력하겠습니다.

수학경시대회  예선 본선 대비반 운영중 입니다.
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수학경시대회 본선대비반모집(KMC.HME.KME.본선.
성균관대수학경시(성대수학경시). 교육청.대학영재교육원대비 기출문제풀이 Olympiad 대비반

American Mathematics Competitions( 미국수학경시대회 )(AMC8 10) 대비 영어원서 강의 다수의 대상 금상 지도 경험이 있습니다.

유익한 수학 사이트

(1)
http://www.aaamath.com/

illustrate and provide interactive arithmetic exercises and problems. They contain a series of basic math lessons which are a resource that can be used by math students in formal elementary education math classes, home schooling or elsewhere.
Interactive lessons are much more conducive to learning math skills than traditional textbooks and work sheets for the following reasons:

Hundreds of pages of Basic Math Skills.
Interactive Practice on every page.
An Explanation of the math topic on each page.
Several Challenge Games on every page.
Math Problems are randomly created.



(2)
http://www.everythingmath.net/

An excellent educational resource with tips and advice to teach and convey the importance of math to your child

수학 학습부진의 원인과 특성

"나는 그 아이에게 수학을 가르쳤고, 그 아이는 나에게 인내를 가르쳤다".

수학자 H. Freudenthal은 수학 학습부진아를 지도한 자신의 경험을 이렇게 표현하였다.
물론 그가 여기서 말한 인내란 답답하고 화를 내고 싶은 감정을 억눌렀다는 것이 아니라, 쉽게 수학 문제의 답을 구하는 요령들을 성급하게 주입시키고 싶은 충동을 억제하였다는 말이다.

지금 이 시간에도 많은 아이들이 인내를 가르치며, 수학을 배우고 있다. 아니, 그들은 수학을 배운다기보다는 수학 학습부진을 앓고 있다고 해야 할 것이다. 그들은 심각한 환자 취급을 받고 있다. 누군가는 현재 학습부진아 지도가 이루어지는 학교 교육 현실을 일컬어 '환자를 치료하기보다 환자를 비난하는 유일한 치료 센터'라고 비난하기도 하였다.

1. 수학 학습부진 - 왜?

전통적인 수학 교육은 수학 지식의 구조를 전달하고 형식적, 논리적 수학을 강조하는 엘리트 중심의 수학이었다. 학습자의 현실을 고려하기보다 수학의 추상적 구조를 강조하였으므로 수학을 이해하는 데 많은 어려움이 따르고 이러한 어려움은 수학 학습부진을 유발하는 주요한 요인이 되었다.

수학 학습부진아의 인지적 결함으로 열거되는 대표적인 것은 수학을 배우거나 문제를 해결하는 데 필요한 기능, 지식, 전략이 결손되었거나 한 번 습득한 지식과 전략을 골라서 사용하는 능력이 부족하고, 자발적인 의욕이 결핍되었다는 것이다.
어느 한 단계의 내용에 대한 학습이 최소 수준에 도달하지 못한다면, 그보다 상위 단계의 내용의 학습이 불가능 하기 때문에 학습부진이 고착화되는 특성을 보이고있다.

모든 학습부진아들이 학습부진의 모든 측면마다 결함을 나타내는 것은 아니며, 모든 학습부진아가 수학에서 학습부진을 나타내는 것은 물론 아니다. 대부분 학습부진아의 경우 공통적인 취약점은 읽기 영역이지만 대부분 학습부진아에게 있어서 가장 정도가 심한 영역은 수학적인 결함이다.
 한국교육과정평가원

수학 학습부진아 지도법

수학의 역사는 인류의 역사와 그 맥을 같이하고 있다. 인류 문명의 발달과 더불어 수학도 끊임없는 발전을 지속하여 왔으며, 세계의 어느 지역에서건 고대로부터 많은 수학 서적이 만들어져 왔다.
수학 교과의 가장 큰 특징 중의 하나는 그 위계성에 있으며, 어느 한 단계의 내용에 대한 학습이 최소 수준에 도달하지 못한다면, 그보다 상위 단계의 내용의 학습에 대한 성공을 전혀 보장할 수 없다.
현재까지의 수학 교육의 흐름은 학습자를 중심으로 하는 대중 교육의 형태를 띠고 있으며, 이는 Freudenthal의 '만인을 위한 수학 교육(Mathematics for Everyone)'이라는 어구로 대변될 수 있을 것이다.

그렇다면, 왜 모든 학생들에게 수학을 가르쳐야 하는가?

수학의 문제 해결 활동을 하는 가운데서 합리적인 사고 경험을 하게 되며, 이것이 장차 합리성을 기르는 데 도움이 될 것으로 보기 때문이다.수학을 배우면 과학을 비롯한 다른 학문을 학습하는 데 도움이 되며, 일상 생활이나 장래의 여러 학문에서 유용할 것이라는 지적이다.
특히, 초등학교에서 학습하게 되는 대부분의 수학 교과 내용은 셈하기나 기본적인 사칙계산, 길이나 시간의 측정, 도형 인식, 규칙성 인식 등으로 구성되어 있으며, 이는 일상 생활에서 필수적으로 요구되는 기능이라 할 수 있을 것이다.
더욱이, 초등학교는 중학교와 고등학교에서 장차 수학을 학습하는 데 필요한 기본적인 지식을 학습하는 시기라는 점에서 가급적 많은 학생들을 교육 과정의 최소 수준까지 끌어올리는 일은 매우 중요하다고 하겠다.

2. 수학과 학습부진아의 정의와 특성

가. 수학과 학습부진아의 정의

학교 교육에서 학습부진아를 기초학습부진아와 기본학습부진아로 재정의하고 있기도 하다. 기초학습부진아는 주로 전통적인 3R's(읽기(reading), 쓰기(writing), 셈하기(arithmetic))의 기능에 장애를 보이는 학생을 말하며, 기본학습부진아는 학습저성취아를 지칭하는 것으로 정의하고 있다.

나. 수학과 학습부진아의 특성

수학과 학습부진아의 특성에 대한 여러 연구 결과가 제시되어 있으나, 가장 일반적으로 언급되는 것은 선수학습의 결손이다. 이는 수학 교과가 위계성이 강하다는 것 때문으로, 예를 들어 받아올림이 한 번 있는 덧셈에 성공하지 못한 학생들은 계속 이어지는 받아올림이 두 번이나 세 번있는 덧셈을 정확히 하기 힘들며, 시계에서 분과 초의 관계를 이해하는 데 어려움이 있는 학생이 초 단위까지 시간을 계산하기는 힘들 것이다.

3 . 교사의 역할

초등학교 수학 학습부진아의 지도에 있어서 가장 중요한 역할을 담당하게 되는 사람이 교사라는 것은 두말할 나위도 없다. 주로 선수학습의 결손과 관련하여 학습부진의 진단과 처치에서 교사의 역할이 중요하다,
담당 교사에 대한 오해로 그 과목을 싫어하게 되는 학생을 주위에서 찾기는 그리 어려운 일이 아니다. 그 외에 수학에 대한 부정적인 선입관이나 가정환경, 부정적 가치관 등의 영향을 무시할 수 없는 경우도 많다. 교사는 무엇보다도 부진아를 예외적인 학생으로 취급하지 않도록 주의할 필요가 있다. 누구나 적어도 일시적으로 학습부진아가 될 수 있는 가능성을 가지고 있으며, 학습부진이 나타난 학생은 그 가능성이 발현된 것일 뿐이다. 교사는 그런 학생에 대한 주의깊은 관찰과 진단, 처치와 더불어 온화한 분위기를 조성하도록 노력해야 한다.

이와 함께 교사는 부진이 나타난 학생에 대해서 뿐만 아니라 평소의 수업에서 가능한 많은 학생들을 주의 깊게 관찰할 필요가 있다. 형식화된 진단 검사보다는 학생이 문제를 푸는 그 순간에 오히려 그 학생에 대한 훨씬 더 많은 정확한 정보를 얻을 수도 있기 때문이다. 그리고, 오류를 범하는 학생이 발견되면, 질책보다는 누구나 그럴 수 있다는 말로 고무하면서 그 자리에서 오류를 수정할 수 있도록 도와줄 필요가 있다.
(한국교육과정평가원)

수학적 발상 공부법

인간이 동물과 다른 점이라하면 바로 생각하는 이성이며, 그러한 생각할 수 있는 힘으로 인해 인간의 문명은 계속 해서 끊임없이 발전하고 있다. 이렇게 인간의 두뇌는 점차 발달하고 다양한 경험과 배움을 통해 새로운 사고가 적립되고 이를 바탕으로 더 발전된 모습을 일구어 나간다.
인간이 경험과 학습을 통해 무엇인가를 ‘배운다’ 라는 활동은 수학을 공부할 때 가장 현저하게 나타나므로 그러한 활동을 바로 ‘수학적 발상’이라고 한다.
그리고 이러한 ‘수학적발상’은 영어를 비롯한 다른 분야의 학습에 충분히 응용할 수 있다. ‘수학적 발상’은 불가능하고 생각했던 일들을 다른 각도에서 살펴봄으로써 해결의 실마리를 찾아낼 수 있고, 사물에 대한 사고방식을 풍부하게 확장시켜준다.
‘수학도 암기하면 된다’는 식의 머리를 나쁘게 하는 공부법이 아닌 잠재된 능력을 이끌어 내어 진짜 실력의 힘을 기르기 위한 ‘수학적 발상’공부법에 대해 알려주는 책을 소개드립니다.
먼저 <머리가 좋다는 것은 어떤 것인가?>로부터 출발해 <머리를 좋게 하는 공부>방법, <능력은 어떻게 기르는가?>, <‘수학적 발상’으로 머리를 좋게 하는 공부법> 등 ‘수학적 발상’를 통한 학습 의욕 및 실력 향상을 위한 방법에 대한 내용이 담겨있다. 머리가 좋아지는 수학적 발상 공부법: 지은이 : 고바야시 미치마사 옮긴이 : 나유경 펴낸곳 : 자음과 모음

수학 영재들 의 특징

Pupils show their special talents in mathematics in a range of ways and at varying points in their development. Pupils who are gifted in mathematics are likely to:

learn and understand mathematical ideas quickly;
work systematically and accurately;
be more analytical;
think logically and see mathematical relationships;
make connections between the concepts they have learned;
identify patterns easily;
apply their knowledge to new or unfamiliar contexts;
communicate their reasoning and justify their methods;
ask questions that show clear understanding of, and curiosity about, mathematics;
take a creative approach to solving mathematical problems;
sustain their concentration throughout longer tasks and persist in seeking solutions;
be more adept at posing their own questions and pursuing lines of enquiry.

Some pupils who are gifted in mathematics perform at levels that are unusually advanced for their age. For example, a seven-year-old may work confidently with the mathematics described at level 3 in the national curriculum and begin to work successfully with concepts described at level 4. Other pupils with exceptional mathematical potential may not demonstrate it in this way. For example, pupils may have high levels of mathematical reasoning but be unable to communicate their ideas well orally or in writing. Sometimes gifted pupils reject obvious methods and answers as too easy, and opt for something more obscure. In these cases, formal testing alone is insufficient as a basis for identification. It is often helpful for teachers to provide enrichment and extension activities and to observe pupil responses to challenging activities.
When identifying pupils who are gifted in mathematics, it is import!ant to judge whether they are likely to benefit from an enhanced or special programme. The pupils need to be able to keep up with their ordinary work, and teachers need to successfully accommodate them.

제3차 세계대전은 '수학의 전쟁'

수학에 게임이론이라는 과목이 있다. 포커를 칠 때 상대방의 생각이나 행동을 고려하면서 패를 내는 것처럼 각자 자기의 이익을 효과적으로 달성하기 위해 분석하는 이론이다.
한 집단에서 어떤 행동이 자신의 행동에 의해서만 결정되는 것이 아니고 다른 사람의 행동에 의해서도 결정되므로 이 상황에서 자기 자신의 이익이 최대가 되도록 선택하는 방법을 수학적으로 분석하는 이론으로, 천재 수학자 폰 노이만이 이론적 기초를 만들었다.

수학과 암호학
존 내쉬는 1950년에 기존 게임이론에 대한 새로운 분석으로 '균형이론'이라는 논문을 프린스턴 박사학위 논문으로 제출하였다. '네가 생각하는 걸 나도 생각한다. 내가 생각하리라는 걸 너도 생각한다'는 불확실한 상황에서 자신의 이익을 극대화하려는 이 이론은 신경제학의 새로운 패러다임을 제시하였다.
고대 로마의 대장군 시저는 브루투스에게 암살당하기 직전 암호로 된 편지를 하나 받았다. 요즘 용어로 쓰면 편지에는 'EH FDUHIXO IRU DVVDVVLQDWRU'라 돼 있었다. 알파벳의 순서를 3자씩 당기면, 즉 D는 A, E는 B, F는 C로 바꿔보면 뜻은 'BE CAREFUL FOR ASSASSINATOR', 즉 '암살자를 주의하라'였다.

전쟁의 향방을 좌우한 암호전
암호는 인류역사를 통해 주로 군사, 외교적인 목적에 사용되어 왔기에 적국의 암호문을 탈취하는 효과적인 방법이 없던 시기에는 암호 해독의 의미가 별로 없었다. 그러나 20세기 초반에 무선통신이 발명됨으로써 모든 정보는 전파로 날아다녔고 또한 전파로 날아다니는 적군의 정보는 얼마든지 수신할 수 있게 되었다.
제1차 세계대전 때는 독일군의 한 잠수함이 침몰하면서 암호집을 영국에 빼앗겼는데 이러한 사실을 모르는 독일이 계속해서 암호문을 보내다 해독되어 결국 항복하게 되었다고 한다. 제2차 세계대전에서는 양측이 모두 매우 정교한 암호를 사용하였는데 연합군이 승리한 주요 원인 중 하나가 암호전에 승리했기 때문으로 알려져 있다.

미국은 1942년 5월 일본군의 암호를 해독함으로써 미드웨이 해전을 승리로 이끌어 당시 기세등등하던 일본 해군의 사기를 일순간에 꺾어버렸고 일본은 패전의 길을 걷게 된다. 영국에서는 처칠 다음으로 2차 세계대전의 영웅을 꼽으라면 독일군이 사용한 암호문을 수학적 논리를 사용하여 빠른 시간 내 해독하는 기계를 만든 '튜링'을 든다.

튜링은 독일의 암호발생 장치인 에니그마 머신의 작동을 반대로 움직이는 암호 해독기 '튜링머신'을 발명하여 전쟁을 유리하게 이끌어 갈 수 있었다. 전쟁이 끝난 후 튜링은 1948년에 맨체스터 대학에서 세계 최초의 컴퓨터인 ACE를 만들었다.

흔히 제1차 세계대전은 독가스가 등장하였기에 화학의 전쟁이라 불리고 제2차 세계대전은 원자폭탄이 사용되었기에 물리학의 전쟁이라 불린다. 앞으로 제3차 세계대전이 일어난다면 이는 전쟁에서 가장 큰 위력을 발휘할 정보제어가 수학에 달려 있기 때문에 '수학의 전쟁'이 될 것이라고들 한다.

오늘날에도 가장 복잡한 암호 체계를 사용하는 곳은 역시 국가의 안보를 책임지고 있는 군사 분야이겠지만 컴퓨터의 발달로 인터넷이 생활화되면서 은행 입출금, 텔레뱅킹, 인터넷 상거래 등에서도 암호는 절대적으로 중요한 역할을 하게 되었다. 과학과 기술의 발달로 전쟁 때나 쓰일 법한 암호가 생활필수품이 되어간다.

소수를 이용한 공개키 방식
간편하면서도 다른 사람이 풀기 어려운 암호는 없을까? 그래서 나온 방법이 공개키 방식이다. 1970년대에 키가 공개된 새로운 암호 체계가 나왔다. 이와 같은 암호에 기본적인 이론을 제공한 것이 '소수(素數)'이다. 소수는 2, 3 5, 7, 11처럼 1과 자기 자신 외에는 나누어지는 수가 없는 수를 말한다.

소수에 대한 연구는 2300년간 계속 되었지만 소수의 연구가 쓸모없는 학문이라고 주장하는 사람도 많았다. 하지만 이 소수가 암호학에 결정적인 기여하게 된 것이다. 중요한 정보를 두 개의 소수로 표현한 후 그것의 곱을 힌트와 함께 전송해 암호로 사용할 수 있다는 아이디어이다.

아무리 속도가 빠른 컴퓨터라도 아주 큰 소수 두 개를 곱한 수에서 소수 두 개를 알아맞히는데 많은 시간이 걸린다. 숫자를 크게 해서 '2의193제곱-1'와 같은 수이면 성능 아주 좋은 컴퓨터로 이 수를 만든 소수를 찾는데 걸리는 시간이 3만년보다 더 걸린다고 한다. 이렇게 디지털 시대가 오면서 소수의 진가가 살아났다. 오마이뉴스 이태욱 기자

수학의 노벨상 Fields Medal "Nobel Prize of Mathematics

필드상의 유래
수학자는 노벨상을 받을 수 없는 걸까요?
아닙니다. 노벨상은 받을 수 없지만, 수학자에게 주어지는 더 귀한 상이 있습니다. 그 상을 우리는 필드상(Fields Medal)이라고 부릅니다.
필드(John Charles Fields; 1863-1932)는 캐나다의 수학자였습니다. 이 사람은 토론토(Toronto)대학에서 수학교수로 일생을 보냈습니다. 수학분야에서도 노벨상에 버금가는 상을 제정하겠다는 것이 이 사람의 평생 소원이었습니다.
국제 수학자 대회에서는 이 상의 이름을 '필드상'이라고 결정했습니다.
세계의 수학자로서는 최고의 영예인 필드상은 4년에 한 번 세계의 수학자가 한 자리에 모여 최근의 연구성과를 서로 발표하는 국제 수학자 회의의 개회식에서 수요되는 것이 관습으로 되어 있습 니다. 그러므로 4년에 겨우 한 번을 받을 수 있는 것입니다.
게다가 이 상은 나이가 40이 넘으면 받을 수 없습니다. 이 상을 주기로 결정했을 때, 나이가 40이하인 사람에 한해서 주기로 결정했기 때문입니다. 이것은 아마도 수학의 천재적인 소질이 싹트는 것은 15세 전후라고 하는 말이 있기 때문일 것입니다. 나이가 많이 들면 받을 수 없고, 4년에 한번 밖에는 받을 수 없는 상이기 때문에 이 필드상은 노벨상 보다 더욱더 명예롭고, 소중한 상일 것입니다.

Fields Medal "Nobel Prize of Mathematics
The Fields Medal is a prize awarded to two, three, or four mathematicians not over 40 years of age at each International Congress of the International Mathematical Union, a meeting that takes place every four years. The Fields Medal is widely viewed as the top honor a mathematician can receive.[1][2] It comes with a monetary award, which in 2006 was C$15,000 (US$13,400 or ?10,550).[3] Founded at the behest of Canadian mathematician John Charles Fields, the medal was first awarded in 1936 and has been regularly awarded since 1950. Its purpose is to give recognition and support to younger mathematical researchers who have made major contributions.

Conditions of the award
The Fields Medal is often described as the "Nobel Prize of Mathematics," a reference to its prestige[4]. The comparison is not entirely accurate because the Fields Medal is onl　y awarded every four years. The Medal also has an age limit: a recipient's 40th birthday must not occur before January 1 of the year in which the Fields Medal is awarded. This rule is based on Fields' desire that

… while it was in recognition of work already done, it was at the same time intended to be an encouragement for further achievement on the part of the recipients and a stimulus to renewed effort on the part of others.

The monetary award is much lower than the roughly US$1.3 million given with each Nobel prize. Finally, Fields Medals have generally been awarded for a body of work, rather than for a particular result; and instead of a direct citation there is a speech of congratulation.

Other major awards in mathematics, such as the Wolf Prize in Mathematics and the Abel Prize, recognise lifetime achievement, again making them different in kind from the Nobels, although the Abel has a large monetary prize like a Nobel. The Fields Medal has the prestige of the selection by the IMU, which represents the world mathematical community.


Fields Medalists
2006: Andrei Okounkov (Russia), Grigori Perelman (Russia) (declined), Terence Tao (Australia), Wendelin Werner (France)
2002: Laurent Lafforgue (France), Vladimir Voevodsky (Russia)
1998: Richard Ewen Borcherds (UK), William Timothy Gowers (UK), Maxim Kontsevich (Russia), Curtis T. McMullen (U.S.)
1994: Efim Isakovich Zelmanov (Russia), Pierre-Louis Lions (France), Jean Bourgain (Belgium), Jean-Christophe Yoccoz (France)
1990: Vladimir Drinfeld (USSR), Vaughan Frederick Randal Jones (New Zealand), Shigefumi Mori (Japan), Edward Witten (U.S.)
1986: Simon Donaldson (UK), Gerd Faltings (West Germany), Michael Freedman (U.S.)
1982: Alain Connes (France), William Thurston (U.S.), Shing-Tung Yau (China/U.S.)
1978: Pierre Deligne (Belgium), Charles Fefferman (U.S.), Grigory Margulis (USSR), Daniel Quillen (U.S.)
1974: Enrico Bombieri (Italy), David Mumford (U.S.)
1970: Alan Baker (UK), Heisuke Hironaka (Japan), Sergei Petrovich Novikov (USSR), John Griggs Thompson (U.S.)
1966: Michael Atiyah (UK), Paul Joseph Cohen (U.S.), Alexander Grothendieck (France), Stephen Smale (U.S.)
1962: Lars H?rmander (Sweden), John Milnor (U.S.)
1958: Klaus Roth (UK), Ren? Thom (France)
1954: Kunihiko Kodaira (Japan), Jean-Pierre Serre (France)
1950: Laurent Schwartz (France), Atle Selberg (Norway)
1936: Lars Ahlfors (Finland), Jesse Douglas (U.S.)


The medal
Realised by Canadian sculptor Robert Tait McKenzie.

In the front, we can see Archimedes and some inscriptions.
In the back, we can see the inscription (in Latin):
“ CONGREGATI
EX TOTO ORBE

MATHEMATICI

OB SCRIPTA INSIGNIA

TRIBUERE
”

Translation: "The mathematicians having congregated from the whole world awarded because of outstanding writings."

In the background, there is the representation of Archimedes' tomb, with the carving of his theorem on the Sphere and the Cylinder (a sphere and a circumscribed cylinder of the same height and diameter, the result of which he was most proud) behind a branch.


In popular culture
In the film Good Will Hunting, fictional MIT professor Gerald Lambeau (played by Stellan Skarsg?rd) is described as having been awarded a Fields Medal for his work in combinatorial mathematics.
In the film A Beautiful Mind, John Forbes Nash (played by Russell Crowe) complains about not winning the Fields Medal.
In the television series Yamato Nadeshiko, the male lead is a Fields Medalist who has abandoned his academic career to take over the family fish-shop.
In the television series EUReKA, Nathan Stark (played by Ed Quinn) reveals in the episode Dr. Nobel had won the Fields Medal.
On the news show The Colbert Report, Stephen Colbert demanded a Fields Medal for his work in doughnut mathematics when the 2006 recipient did not claim the medal immediately. Colbert proved that "three doughnuts, minus one　 doughnut (takes a bite) equals two doughnuts. PRIZE PLEASE!"

From Wikipedia, the free encyclopedia

The International Mathematical Union grants three Prizes:

Fields Medal Rolf Nevanlinna Prize Carl Friedrich Gauss Prize for Applications of Mathematics

IMU Prizes are awarded every four years at the Opening Ceremony of the International Congress of Mathematicians (ICM). The Fields Medal recognizes outstanding mathematical achievement. The Rolf Nevanlinna Prize honors distinguished achievements in mathematical aspects of information science. The Carl Friedrich Gauss Prize is awarded for outstanding mathematical contributions that have found significant applications outside of mathematics.

The Fields Medal was first awarded in 1936, the Rolf Nevanlinna Prize in 1982. The Carl Friedrich Gauss Prize will be awarded for the first time in 2006.

About two years in advance of an award the IMU Executive Committee appoints a Selection Committee along the lines of the Prize Statutes and the IMU By-Laws.

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The Abel Prize
The Abel Prize is awarded by the Norwegian Academy of Science and Letters.

The Ramanujan Prize
A new Prize for young mathematicians from developing countries has been created in the name of Srinivasa Ramanujan by the International Centre for Theoretical Physics (ICTP), in cooperation with IMU, who nominate members of the Prize Committee. The Prize money is donated by the Niels Henrik Abel Memorial Fund

The Prize will be awarded annually to a researcher from a developing country less than 45 years of age at the time of the award, who has conducted outstanding research in a developing country.
From Wikipedia, the free encyclopedia

미국대학 입학과 AMC8 미국수학경시대회

미국의 가장 대표적인 수학경시대회인 AMC (American Mathematics Competitions)는 초, 중, 고등학생들의 문제해결능력을 강화시키기 위한 목적으로 1950년 5월 11일 미국수학협회(MAA, Mathematics Association of America)에 의해 처음 시행되었습니다. AMC8은 중학교 수학의 문제해결 기술의 발달과 향상을 촉진하기 위해 고안된 25문항의 선다형 문제를 40분간 풀어야 하는 시험입니다. 이 시험은 중학교 수준의 문제에서 배운 개념들을 응용할 수 있는 기회들을 제공하며, 쉬운 문제에서 어려운 문제에 이르기까지 넓은 적용범위를 포함합니다. 많은 문제들은 수학적 능력이 뛰어난 학생들과 중학교 학교 수업에서 제공하는 것보다 다양한 문제 해결 경험을 필요로 하는 학생들을 위해서 고안되었습니다. 미국에서는 주로 6,7,8학년 학생들이 응시하지만 수학에 재능이 있는 4,5학년 학생들이 참가하기도 합니다. AMC 8의 다음단계로 10학년, 12학년 이하의 학생들이 응시하게 되는 AMC 10, 12가 있습니다. AMC 10의 상위 1%, AMC 12의 상위 5% 안에 드는 학생은 미국수학협회가 초청해서 치르게 되는 AIME (American Invitational Mathematics Examination)에 응시 할 자격을 얻게 되는데, 여기서 높은 성적을 거둔 우수한 학생들이 미국 수학올림피아드인 USAMO에 참가하며, 최종적으로 선발된 여섯 명의 학생이 국제 수학올림피아드(IMO)의 미국 대표가 됩니다. 따라서, AMC8은 IMO 미국 대표선발의 첫단계라고 할 수 있습니다. 시험시간에 계산기의 지참이 허용되고, 한 문제를 맞추면 1점을 얻고, 최고 점수는 25점이며, 오답을 적었을 때 감점은 없습니다. AMC8 (American Mathematics Competitions 8) - 8학년(중학교 2학년)이하의 학생들이 응시하는 수학경시대회로 1985년에 시작 AMC10 (American Mathematics Competitions 10) - 10학년(고등학교 2학년)이하의 학생들이 응시하는 수학경시대회로 2000년에 시작 AMC12 (American Mathematics Competitions 12) - 12학년(고등학교 3학년)이하의 학생들이 응시하는 수학경시대회로 1950년에 시작 AIME (American Invitational Mathematics Examination) - AMC10 과 AMC12에서 우수한 성적을 거둔 학생들을 초청하여 치르게 되는 수학경시대회로 1983년에 시작 USAMO (USA Mathematical Olympiad) - AIME에서 상위 500명 내외의 학생들에게 응시자격이 부여되는 미국 수학 올림피아드로 IMO에 출전하게 될 6명의 미국 대표선발대회이며 1972년에 시작 국내 학생의 경우 AIME 진출까지 허용되며 USAMO 이후의 대회는 시민권자 및 영주권자에 한해 해당됩니다. 시험문제의 출제 범위는 미국 중학교 7, 8학년 (우리나라의 중학교 1, 2학년) 학생들이 배우는 것에 한합니다. Arithmetic of Integers (수와 연산) Fractions and Decimals (분수와 소수) Percent and Proportion(비율과 비례식) Number Theory (정수론) Informal Geometry (기하) Measurement (측정) Probability and Statistics (확률과 통계) Logical Reasoning (논리) 등입니다. AMC 대비반 운영 수학 과학 원서로 강의