히로나카 헤이스케 서울대 수리과학부 석좌교수
문제와 살다시피 하면 못 풀던 것도 쉽게 풀려 스스로 출제하고 풀어보면 실력 업그레이드
히로나카 헤이스케 교수의 놀이처럼 수학 공부하기
①수학을 놀이처럼 생각하자.
② 기본 공식은 반드시 외우자.
③ 공식이 형성된 과정을 이해하자.
④ 문제를 여러 방향으로 접근하자.
⑤ 자기 실력에 맞는 난이도의 문제부터 풀자.
"수학 문제가 어려워 못 풀겠다고요? 문제와 함께 잠을 자세요(Sleep with problem). 문제와 살다시피 하면 해결의 실마리를 찾을 수 있어요.”‘수학의 노벨상’으로 불리는 필즈상을 받은 세계적인 수학자 히로나카 헤이스케(77) 박사의 얘기다.
3월 서울대 수리과학부 석좌교수로 초빙된 히로나카 교수는 현재 학부 ‘대수기하학 개론’ 강의와 대학원 논문 지도를 맡고 있다. 안철수 카이스트 석좌교수가 의과대학원 시절 그의 자서전 『학문의 즐거움』을 읽고 벤처 사업가로 변신했다는 사연이 공개돼 화제를 낳기도 했다.그를 지난달 29일 서울대 연구실에서 만났다. 국내 언론과의 첫 인터뷰다.
-수학이란 무엇인가요?
“수학은 잘 만들어진 게임 같은 겁니다. 머릿속에서 계산하는 대로 풀이과정이 움직여주니까요. ”
-하지만 많은 한국 학생이 수학을 골치 아픈 과목으로 여깁니다. 수학을 잘하는 비결은 뭔가요.
“고교 시절 기하문제를 풀기 위해 2주일간 씨름한 적이 있어요. ‘삼각형의 두 밑각을 각각 이등분하는 선을 그려서, 각 선이 대변에 교차하는 점까지의 길이가 같을 때 이 삼각형이 이등변삼각형임을 증명하라’는 문제였지요. 밥 먹을 때나 화장실 갈 때나 문제 푸는 데만 열중했어요. 길을 걷다 전봇대에 머리를 부딪치기도 했지요. 결국 서너 가지 경우로 나눠 증명했지요.”
-수학 공부를 할 때 가장 필요한 덕목이 노력이란 말인가요.
“평범한 제가 필즈상을 탄 것도 끈기와 노력 덕분입니다. 끈기 있게 문제를 풀다 보면 시행착오도 겪고 그러는 과정에서 새로운 공식과 풀이과정을 터득하게 되지요.”
-자녀의 수학실력을 키우려면 어떻게 해야 하나요.
“수학을 놀이로 즐기게 해주세요. 예를 들어 시장을 본 뒤 계산을 시켜 거스름돈을 제대로 받아오게 하는 것도 기초 훈련이 될 수 있지요. 부모 욕심대로 아이를 다그치거나 끌고 가선 안 됩니다. 아이가 감당할 수 없을 만큼 선행학습을 시키면 수학에 흥미를 잃을 수 있어요.”
-중·고등학생의 수학 공부법은 어떤 게 좋은가요.
“방정식·인수분해 등 기초 공식은 외워야 합니다. 수학 공부는 공식에서 시작되기 때문입니다. 공식을 증명하지 못하겠으면 공식이 나온 과정을 끊임없이 생각하는 습관을 들이세요. ”
-실력을 한 단계 올리려면 어떻게 해야 하나요.
“문제를 스스로 만들어 보고 그것을 풀기 위해 식을 세우고 증명해 보는 겁니다. 쉬운 일은 아니지요.”
히로나카 교수는 수학 공부를 할 때 철학을 하는 것처럼 자주 많이 생각해야 한다고 강조했다. 그 과정에서 아름다운 이론이 만들어진다는 것이다.
-수학 공부를 할 때 주의할 점은 뭔가요.
“수학에선 문제를 90%까지 풀고 나서도 10%를 풀 수 없는 경우가 가끔 있어요. 작은 방심도 해서는 안 됩니다. 앞의 과정이 다 무너지니까요.”
그는 인터뷰 중 고교 때 자신에게 수학을 가르쳤던 다니가와 마사오 교사의 이야기를 꺼냈다. “그분은 문제를 푸는 방법이 아니라 문제를 푸는 과정의 발상을 가르쳤습니다. 중간까지 설명하곤 ‘이것이 아이디어다. 나머지는 각자 생각하라’며 분필을 놓았지요.”
학생들이 수학에 겁을 먹지 않게 난이도가 낮은 문제를 풀게 한 다니가와 교사는 어떤 공식으로 풀든 발상이 신선하면 칭찬을 아끼지 않았다 고 한다.
-한국 대학생들은 어떤가요.
“학생들에게 질문을 던져 묻고 답하는 토론식 수업을 하는데 강의시간이 늘 부족해요. 한국 학생들은 호기심이 많고 열정적이에요. 수업이 끝나도 연구실에 자주 찾아옵니다. 반면 일본 학생들은 소극적이지요. 미국 아이들은 굉장히 공격적이에요. 개성이 강하지요. 수업에 개의치 않고 질문을 계속하면서 의견을 여간해선 수정하지 않아요. 너무 강하지도 않고, 너무 소극적이지도 않은 한국 학생들이 좋은 것 같아요.”
히로나카 교수는 수학에 왕도는 없다며 말을 맺었다.
“인간은 140억 개나 되는 뇌세포 중에서 10∼20%밖에 쓰지 않는데 잠자고 있는 세포를 쓰려면 남보다 두세 배의 시간을 투자할 수밖에 없습니다.”
히로나카 헤이스케 석좌교수는
일본 야마구치현 벽촌 장사꾼의 열다섯 남매 중 일곱 번째 아들로 1931년 태어났다. 피아니스트를 꿈꾸다 교토대 3학년이 돼서야 수학의 길을 택했다. 60년 하버드대에서 대수기하학에 관한 연구로 박사학위를 받았다. 64년 ‘특이점 해소 정리의 증명’을 완성해 70년 국제수학자총회에서 필즈상을 받았다. 미국 매사추세츠주 전화번호책 두 권에 달하는 방대한 분량의 논문으로 ‘히로나카의 전화번호책'이란 별칭이 붙었다. 미국 컬럼비아대 교수, 하버드대 명예교수를 지냈다.
◇‘학문의 즐거움’ /히로나카 헤이스케 지음(김영사)
책소개
즐겁게 공부하다 인생에도 도통해버린 어느 늦깎이 수학자의 인생이야기. 유년학교 시험에도 떨어진 소년이 어떻게 하버드에서 박사를 따내고 수학의 노벨상이라는 필드상까지 받았는가. 쟁쟁한 천재들을 제치고 학문의 기적을 이룩한, 이 평범한 사람의 비밀은?
1장 배움의 길
창조하려면 먼저 배워야 한다.
평범하고 친근한 나의 스승들
근면하고 독립적인 장사꾼, 아버지
어머니가 일깨워 준 생각하는 기쁨
깊이 생각하라
왜 배워야 하는가
끝까지 해내는 것이 중요하다
음악에의 열정을 수학으로 돌리고
마침내 수학의 길로
2장 창조의 여행
창조의 기쁨과 괴로움
격의 없이, 그러나 거리를 두고
"아저씨!" 한마디에 방황은 끝나고
시작이 반
체념도 필요하다
소박한 마음
사실과 억측을 구분하자
독자적인 목표, 패기에 찬 가설
나무와 숲을 함께 보려면
단순하고 명쾌하게
상대방의 입장이 되어 보자
3장 도전하는 정신
역경을 반가워하자
호황도 좋고 불황도 좋다
하고 싶은 것을 하자
'특이점 해소'를 향하여
문제와 함께 잠자라
세 가지 교훈
나의 재산은 끈기
4장 자기발견
새로운 '나'의 발견
묻고, 듣고, 또 묻고
넓은 시야, 다양한 생각
수리 과학자 육성 사업
잠자는 가능성을 깨우자
히로나카, 배움으로 일관한 그의 삶 / 오자와 세이지
옮기고 나서 / 방승양
추천의 말 / 이정림
대학 3학년생이 돼서야 수학의 길을 택한 늦깎이 수학자 히로나카 헤이스케는 ‘깊이 생각하라’는 자신의 철학을 철저히 지킨 덕분에 수학의 노벨상인 ‘필즈상’을 수상했다. 그는 자신의 잠재 능력을 찾아내고 새로운 나를 발견했을 때 인생의 참된 기쁨을 느낄 수 있다고 주장한다. 그 기쁨을 느끼려면 즐겁게 배워야 한다. 이것이 바로 작가가 주장하는 ‘학문의 즐거움’이다.
다음의 글을 논술과 연결시켜 보자.
『(가) 후지모토 역시 나의 그런 일면 때문에 나와 사귀게 되었을 것이다. 우리는 통학 길에 ‘철학이란 무엇인가?’ ‘예술은 사회에 어떻게 도움이 되는가?’ 등에 대해 같이 이야기 하고 생각했다.
내가 “쇼팽의 음악은 아름다운 음의 조합이다”라고 말하면 그는 잠깐 생각을 하고 나서는 “아니야. 쇼팽만큼 정감 있는 음악을 만들어내는 작곡가는 없어”라고 말한다. 내가 다시 “정감이란 무엇이냐”라고 물으면 그는 또 잠시 생각에 잠겼다. 우리들의 대화는 늘 그런 식이었다. (42쪽)
(나) 나는 다니가와 수학 선생님한테 만점을 받은 적이 있었다. 그 때 비록 답은 틀렸지만 문제를 풀어나가는 과정에서 관건이 되는 발상을 확실히 짚고 있었기 때문에 이례적으로 백점을 준 것이었다.
또 선생님이 낸 해답이 틀리는 경우도 자주 있었다. 그럴 때도 선생님은 “본 줄거리가 맞으니까 괜찮다”며 태연하셨다. 나의 답도 틀렸지만 선생님의 말대로 본 줄거리가 맞았기 때문에 만점을 받은 것이다. 만점을 받고 나서 나는 갑자기 그 선생님이 좋아졌고 수학에 몰입하게 됐다. (64쪽)』
정답 맞히면 그만 VS 생각의 과정 우선
어느쪽이 진짜 실력을 키우는 길일까요
(가)는 생각하는 기쁨과 생각 그 자체에 가치가 있다는 것을 보여준다. 모든 학문의 출발은 인간의 생각이다. 자신과 생각이 다른 사람과 철학적인 주제를 놓고 대화를 나눈다면 학문의 가치를 배가시킬 수 있다.
(나)는 다니가와 수학 교사의 특별한 교육 철학을 보여준다. 그는 수학 공식에 얽매이는 것이 아니라 ‘본질에 바탕을 둔 발상’을 강조한다. 문제를 해결할 수 있는 ‘발상’이 확실하다면 정답을 찾아내는 건 시간문제일 뿐이다.
이제 (가)와 (나)를 바탕으로 스스로 논술 문제를 만들고 답안까지 작성해 보자.
① ‘(가)를 통해 학문의 본질을 밝히고 대화가 갖는 효용성을 제시하시오’를 만들어 보자.
(가)는 다양한 분야에 대해 깊이 생각하는 것을 학문의 본질로 여긴다. 생각은 학문의 폭을 넓히는 ‘힘’이기 때문이다.
다른 사람과 특정 분야의 주제에 대해 의견을 교환하는 것은 생각의 힘을 키울 수 있는 유용한 방법이다. 우리는 다른 사람과의 직·간접적인 대화를 통해 새로운 지식을 얻을 수 있고 경험하지 못한 세계를 체험할 수 있다. 또 자신이 미처 발견하지 못한 생각의 오류를 발견할 수 있는 기회가 되기도 한다.
② ‘(나)의 관점에서 오늘날 요구되는 올바른 교육자의 자질을 제시하시오’를 만들어 보자.
(나) 글에 등장하는 다니가와 교사는 수학 교육에 대해 남다른 견해를 가지고 있다. 그는 문제의 정답을 맞히는 것보다 문제를 푸는 ‘생각의 과정’을 중시한다. 그는 문제 풀이 과정의 일부만 설명하고 “이것이 아이디어다. 나머지는 각자 생각하라”는 식으로 학생들을 가르친다.
이런 방법으로 공부해야만 학생이 어떤 문제를 접하더라도 혼자 해결할 수 있는 진짜 실력을 키울 수 있기 때문이다. 학생들에게 ‘발상의 중요성’을 일깨워 주는 것이야말로 모든 교사들이 추구해야 할 교육의 목표다.
이 책은 학문을 즐기는 사이 인생에 도통해 버린 한 수학자의 이야기다. 학문의 궁극은 지혜를 넓히는 데 있다. 배우고 익히는 것을 단지 고통을 수반하는 시험공부로 여기는 우리에게 시사하는 바가 크다.
이도희 송탄여고 국어교사
理知논술/독서로 논술잡기 - ‘학문의 즐거움’
. 이 책은 흐트러진 마음가짐을 다잡아주며 알차게 하루하루를 보낼 수 있게 힘이 되어주는 책입니다. 1992년 12월 처음 나온 이 책은 중쇄와 개정판을 거듭하며 지금까지 읽혀지고 있는데, 안철수연구소의 대표 안철수 씨는 "이 책은 젊음을 낭비하는 자에게는 충격으로, 알차게 살고 있는 자에게는 자신의 도전의지를 다시 갈게 하는 연마제로 다가온다. 오직 열정만으로 도전의지를 불태워 성공을 거머쥔 저자의 인생 이야기는 지금 이 순간도 마냥 흘러가는 내 청춘의 시간을 아까워하게 한다"며 젊은이들에게 추천하기도 했지요.
『학문의 즐거움』은 일본의 유명한 수학자인 히로나카 헤이스케가 끈기 있게, 그러나 즐겁게 공부해 온 궤적을 얘기하는 책입니다. 머리 나쁘다고 '자부하는' 그가 어떻게 수학계의 노벨상으로 불리는 필즈상까지 수상하게 되었는지 담담하게 풀어나가고 있습니다.
히로나카 헤이스케는 창조를 통해 자기의 숨겨진 재능이나 자질을 찾아내는 기쁨, 더 나아가 나 자신을 보다 깊이 이해하는 기쁨이 있는 인생이야말로 최고의 인생이라고 말합니다. 비단 창조는 학자나 예술가의 전매 특허가 아니라며, 서예를 한다든지, 집을 꾸민다든지, 책상을 정리한다든지 하는 일상생활을 통해서도 충분히 할 수 있다면서요. 이런 창조하는 기쁨을 위해서는 먼저 '배운다'는 단계를 거쳐야 한다고 하는데, 이렇게 봤을 때 히로나카 헤이스케의 삶은 일생 동안 배움으로 점철되었다고 할 수 있습니다.
저자가 첫번째 논문을 발표 했던 때의 이야기입니다. 그는 뭐가 되든 상관없으니 하여간 논문을 쓰자고 마음먹습니다. 석 달 정도 걸려서 논문을 완성은 했지만 제대로 읽어보지도 않고 대충 관계가 있어 보이는 참고문헌을 첨가해서 결국 망신을 당하지요. "당신의 논문은 인용한 참고문헌에 대부분 씌어진 것이더군요"라는 지적을 당하면서요. 하지만 그는 그 일로 속상해하거나 자신감을 잃기보다는 역시 쓰기를 잘했다는 쪽으로 생각합니다. 참고문헌을 상세히 이해하지 못한 실수를 범하긴 했지만 어쨌든 논문 쓰는 방법을 배울 수 있었고, 자기 나름대로 착상을 키우고 그것을 실행하는 창조의 자세를 배울 수 있었기 때문입니다. 요컨대 그는 자신이 처한 상황이나 만나는 사람들에게서 항상 그 의미와 배울 만한 것을 찾았고, 이런 태도는 그를 보다 유연하게 만든 거죠.
한번은 이런 일도 있었다고 합니다. 그가 컬럼비아 대학의 교수로 근무할 때, 하버드 대학에서 열린 세미나에서 자신의 이론을 발표할 기회가 있었다고 합니다. 그때 한 공과대학의 교수가 그에게 "아름답다"라는 최고의 찬사를 했는데, 이후 그는 자신감을 얻어 이 이론을 일반화하는 연구에 착수하게 됩니다. 하지만 2년이 흘러도 실마리가 보이지 않아 난관에 봉착하던 중 독일의 젊은 학자가 다른 방법으로 일반론을 완성했다는 전화를 받습니다. 헛되게 보낸 2년이라는 시간 때문이라도 숨이 막힐 지경인데, 자기보다 훨씬 젊은 학자가 해냈다니 그에게는 정말 충격이었습니다. 하지만 생각해보니 그 젊은 학자가 썼다는 방법은 너무나 자명한 방법이었거든요. 그는 2년 전 받은 "아름답다"라는 찬사로 기분이 좋아져 자신만의 방법을 고집하게 되었다는 것을 알게 됩니다. "이 방법으로 못 풀면 현대수학으로서는 풀 수 없을 것이다"라는 독선이 자리 잡았다는 거죠.
그는 사람은 성공을 경험함으로써 자칫하면 소박한 마음을 잃어버리기 쉬운데 바로 이 점 때문에 결국 실패했다는 사실을 깨닫게 됩니다. '소심심고(素心深考)'(소박한 마음으로 돌아가서 다시 깊이 생각하라)의 마음을 잃지 않는 것이 바로 창조의 기반이 된다는 거죠. 이후 그는 다시 힘을 되찾 또다시 연구에 매진하여 그 업적을 인정받게 됩니다.
그는 이런 저런 귄위 있는 상을 받으며 유명해지면서 뛰어난 재능의 소유자라는 말을 듣지만, 자신은 머리도 좋지 않고 재능이 특별히 있지도 않다고 말합니다. 하지만 오직 끈기 있게 노력하는 것에는 절대적으로 자신이 있으며, 이것이 자신을 성공으로 이끌었다고 합니다.
"느긋하게 기다리고, 기회를 잡을 행운이 오면, 나머지는 끈기이다. 나는 남보다 두 배의 시간을 들이는 것을 신조로 하고 있다. 그리고 끝까지 해내는 끈기를 의식적으로 키워 왔다. 끝까지 해내지 않으면 그 과정이 아무리 우수하더라도 결과가 없기 때문이다. 아무리 두뇌가 우수하더라도 업적을 쌓지 않으면 수학자라고 말할 자격이 없다."
대기만성하는 노력가보다는 빨리 인정 받는 천재가 훨씬 더 매력적일 수 있습니다. 하지만 모든 사람이 천재가 아닌 이상, 어떻게 살아야지 보다 지혜롭게 살수 있는지를 보여준다는 점에서 히로나카 헤이스케의 이야기는 의미가 있습니다. 좋은 일이든 나쁜 일이든 간에 객관적으로 바라보아 자신이 배울 만한 점을 찾는 태도는 삶의 순간순간을 충만한 것으로 만들어주고, 작은 일로 실망하거나 좌절하지 않게 합니다. 그럴 필요가 없는 것이지요. 그리고 나름의 결과를 위해 끝까지 해내는 그의 끈기는 지금 힘들다고 포기하는 일이 없게 힘을 줍니다. 목표를 향해 나아가고 그 과정에서 자신의 숨겨진 모습을 발견하는 창조의 즐거움을 느끼고 싶게 만듭니다. 이러한 건강함이 아마도 이 책을 세월을 거듭해도 추천되고 읽혀지는 스테디셀러로 만드는 점일 겁니다.
김정희
학문의 즐거움을 위한 히로나카의 몇가지 조언 :
1. 먼저 사실 자체를 사실로 인정하는 것이 중요하다. (이 세상의 일, 사람..모두)
2. 공부를 하면서 사고하는 법을 배우게 되고, 사고하는 법은 세상의 모든 일과 사람이 나에게 하는 말을 잘 알아들을수 있도록 한다. 배운 것 또 배우려고 노력한것은 모두 도움이 되기 마련이다.
3. 끈기가 중요하다. 나는 내가 뛰어난 재주를 가졌다고는 생각되지 않는다. 그렇지만 나는 노력하는데 있어서는 절대적으로 자신이 있다. 바꿔말해 끝까지 해내는 끈기에 있어서는 결코 남에게 지지 않는다. 끝까지 해내지 않으면 그 과정이 아무리 우수하더라도 결과가 없기 때문이다. 나에게 노력이란 말은 남보다 더 많은 시간을 들인다는 것이다.
4. 창조적인 일을 하려면 가설을 먼저 세워서 연역하는 사고방식을 적극적으로 권한다.
또한 창조는 실제 만들어 보아야 비로서 가치가 생긴다.
책을 읽고 고급 이론을 이해하고 남의 논문을 명석하게 비평하는 것만으로는 안된다.내것이 아니다. 논문을 써야 한다. 아무리 형편없는 것일지라도 말이다.한 사람의 자기의 이론을 창조하지 않으면
5.삶의 어려움 앞에 태연하라..
6.소박한 마음으로 돌아가 다시 깊이 생각하라.
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