논리수학학원 053-290-7786 수학기초영재교육 : 11월 2013

2013년 11월 24일 일요일

둥근 원으로만 보이는 축구공에 담긴 수학적 원리에 대해 알아본다

2013년 11월 3일 일요일

문제 해결 5(거꾸로 해결하기 전략)

바둑돌 하나만 남기는 방법은?

준수와 은혜는 바둑돌 11개를 서로 번갈아 가져가는 놀이를 하기로 했습니다. 한번에 바둑돌을 1개 가져갈 수도 있고, 2개를 가져갈 수도 있고, 3개를 가져갈 수도 있도록 규칙을 정했습니다. 또 바둑돌을 마지막으로 가져가는 사람이 지는 것으로 정했습니다.
준수와 은혜는 가위바위보를 해서 이긴 사람이 먼저 바둑돌을 가져가기로 하였습니다. 가위바위보에서 은혜가 이겼습니다. 은혜가 먼저 1개를 가져가고, 준수도 1개를 가져갔습니다. 다음에 은혜는 3개를, 준수는 1개를 가져갔습니다. 마지막으로 은혜가 2개를 가져갔고 준수도 2개를 가져갔습니다. 결국 1개 남은 바둑돌을 은혜가 가져갔고, 은혜는 놀이에서 졌습니다. 다음번 놀이에선 은혜 2개→준수 3개→은혜 3개→준수 2개→은혜 1개가 돼, 은혜가 또 졌습니다. 그 다음번 놀이에서도 은혜 3개→준수 3개→은혜 3개→ 준수 1개→은혜 1개가 되어 은혜가 또 졌습니다.
은혜는 준수에게 계속 졌습니다. 은혜는 집에 와서 아버지에게 놀이에서 이길 수 있는 방법을 여쭈었습니다. 그런데 아버지께서는 은혜가 이 문제를 스스로 해결하는 방법을 찾도록 하기 위하여 은혜를 도와주지 않았습니다. 은혜는 스스로 이 문제를 해결하려고 여러 가지를 생각하기 시작했습니다.

그러던 중 은혜는 문제 해결의 순서를 뒤에서부터 해결하려는 방법을 생각해보았습니다. 은혜가 이기기 위하여 마지막(끝에서 첫째)으로 준수에게 1개를 남겨주어야 한다고 생각했습니다. 끝에서 첫째인 준수에게 1개를 남겨주기 위해서 끝에서 둘째인 은혜에게 2개, 3개, 4개가 남아 있어야 한다는 것을 생각해냈습니다. 끝에서 둘째인 은혜에게 2개, 3개, 4개를 남겨주기 위하여 끝에서 셋째인 준수에게 5개가 남아 있어야 한다는 것도 생각해냈습니다. 끝에서 셋째인 준수에게 5개를 남겨주기 위해서 끝에서 넷째인 은혜에게 6개, 7개, 8개가 남아 있어야 한다는 것을 발견했습니다. 끝에서 넷째인 은혜에게 6개, 7개, 8개를 남겨주기 위해서 끝에서 다섯째인 준수에게 9개가 남아 있어야 한다는 것을 발견했습니다. 따라서 은혜가 놀이에서 이기기 위해서 준수에게 9개나 5개, 1개를 남겨둬야 한다는 것을 발견했습니다. 그래서 은혜가 처음 2개를 가져가야 한다는 것도 발견했습니다.
은혜는 스스로 발견한 방법으로 아버지와 놀이를 하여 항상 이겼습니다. 은혜는 자기가 발견한 방법을 아버지에게 설명했습니다. 아버지께서는 은혜를 칭찬하시면서 “문제를 해결할 때는 순서를 바꿔 거꾸로 해결하면 쉬울 때가 있단다. 이와 같이 전략을 ‘거꾸로 해결하기 전략’이라고 한단다.라고 설명해주셨습니다.

/서울교육대학 수학교육과

문제 해결4(표를 만들기 전략)

맞으면 +50점 틀리면 -20점 : 670점을 받았다면 몇 문제 맞힌 걸까?

장호네 학교에서는 어린이 퀴즈 대회를 열었습니다. 한 문제를 맞히면 50점을 받고, 한 문제를 틀리게 대답하면 20점을 빼는 퀴즈 대회입니다.
영호는 6문제를 맞게 대답해 300점을 얻었지만, 12문제를 틀리게 말해 240점을 잃어 결국 60점을 받았습니다.
재훈이는 친구들에게 퀴즈 대회에서 670점을 받았다고 자랑했습니다. 그런데 친구들은 재훈이가 몇 문제에 대답을 했는지 궁금했어요. 재훈이는 19개 문제에 대답했다고 말했습니다. 친구들은 재훈이가 몇 문제를 맞게 말했는지 더욱 알고 싶었습니다.
친구들은 재훈이가 맞힌 문제를 해결하는 방법을 의논했습니다. 재훈이가 정답을 맞힌 문제의 수를 알아보기로 하였습니다.
만일, 19문제에 모두 맞게 대답했다면
19×50=950(점)이므로 19문제를 맞게 대답한 것은 아니었을 겁니다.
18개를 맞추고 한 문제를 틀렸다면
18×50-1×20=880(점)이므로 18개를 맞힌 것도 아닙니다.
이런 방법으로 계산하는 친구들을 바라보고 있던 재훈이가 친구들에게 문제를 쉽고, 간단하고, 편리하고, 빨리 해결하는 방법이 있다고 설명해주었습니다. 재훈이는 친구들에게 맞힐 때 받는 점수와 틀릴 때 빼는 점수를 나타내는 표를 만들어 해결하도록 도와주었습니다.

맞힌 개수/맞힐 때 받는 점수/틀린 개수/틀릴 때 빼는 개수/점수 계산/19/19×50=950/0/0×20=0/950-0=950/18/18×50=900/1/1×20=20/900-20=880/17/17×50=850/2/2×20=40/850-40=810/16/16×50=800/3/3×20=60/800-60=740/15/15×50=750/4/4×20=80/750-80=670/14/14×50=700/5/5×20=100/700-100=600/13/13×50=650/6/6×20=120/650-120=530/친구들은 이 표를 완성하면서 재훈이가 맞힌 문제가 15문제임을 알았습니다.
재훈이가 맞힌 문제 수를 알아보기 위하여 표를 만들었다고 선생님께 말씀 드렸더니 담임 선생님은 친구들을 칭찬하며 자세히 설명해주셨습니다.
“문제를 해결할 때는 이 문제와 같이 표를 만들어서 해결하면 쉬울 때가 있단다. 이와 같이 표를 만들어 문제를 해결하는 전략을 ‘표를 만드는 전략’이라고 한단다.”

/서울교육대학 수학교육과

문제 해결3(식을 만드는 전략)

어떤 식을 대입해 풀 것인지 문제부터 이해

여름이 다가오면서 참외를 수확하고 있습니다. 영식이네 집에서는 아침 일찍 참외 325개를 땄습니다. 영식이네 집에서는 오늘도 참외를 한 상자에 12개씩 담아 팔려고 준비하고 있습니다. 그러기 위해서는 상자를 준비해야 합니다. 그럼 상자를 몇 개 마련해야 할까요?
아버지는 영식이에게 “참외는 한 상자에 12개씩 담는단다. 그런데 오늘 아침 우리가 참외 325개를 수학했지. 지금 아버지가 참외 상자를 사와야 하는 데 몇 상자를 사와야 할까? 네가 도와줄 수 있겠니?”하셨습니다.
영식이는 이 문제를 해결하기 위해 수학 시간에 배운 전략을 이용하기로 했습니다. 먼저 실제로 해보는 전략을 이용하려고 생각했습니다. 그런데 참외 325개를 12개씩 담으려면 시간이 오래 걸리며 힘도 들 것이라고 짐작했습니다. 그래서 그림을 그리는 전략을 이용하려고 했습니다.
참외 325개를 그리고 12개씩 묶는 그림을 그리려고 생각하는 중에 갑자기 좋은 생각이 영식에 머릿속에 떠올랐지요. 영식이 머릿속에 ‘수학 시간에 공부한 나눗셈의 개념’이 갑자기 생각난 것입니다.
325÷12=27.1
영식이는 자신 있게 “아버지! 참외 상자 27개를 준비하시면 됩니다.”라고 말했습니다. 영식이는 자기가 계산한 것이 너무 자랑스러워서 학교 선생님에게 집에서 일어난 일을 말했습니다. 이야기를 들은 담임 선생님은 영식이를 칭찬하며 자세히 설명해주셨습니다.
“문제를 해결할 때는 실제로 해보면서 해결하는 전략도 있고, 문제의 상황대로 그림을 그려서 해결하는 전략도 있단다. 이 문제와 같이 식을 만들어서 해결하면 쉬울 때가 있지. 이와 같이 식을 만들어 문제를 해결하는 전략을 ‘식을 만드는 전략’이라고 한단다.”

/서울교육대학 수학교육과

문제 해결2(그림 그리기 전략)

식 만들 수 없다면 그림 그려가며 풀자

오늘은 낮 최고 온도가 섭씨 35도로 20년 만에 가장 더운 날씨라고 기상청이 발표할 만큼 더웠습니다. 아이스크림이 불티나게 팔렸다는 보도도 있었습니다.
은혜는 학교에서 집에 오자마자 냉장고 들어 있는 주스를 마시고 싶었습니다. 그런데 갑자기 주스가 담긴 병의 무게는 얼마나 되는지 궁금했습니다. 그래서 은혜는 주스를 마시기 전에 주스병의 무게를 달아보았더니 350g이었습니다. 주스를 절반 마시고 나서 달아보았더니 280g임을 알 수 있었습니다. 그렇다면 주스병의 무게는 얼마일까요? 은혜는 식을 만들어서 주스 병의 무게를 계산하고 싶었지만 식을 만들 수 없었습니다. 어머니께 질문했지만 대답해주시지 못했습니다. 저녁에 아버지께 여쭈었지만 아버지께서도 대답해주시지 못했습니다. 은혜는 할 수 없이 선생님께 전화로 질문을 하기로 했습니다.
선생님께서는 이야기를 들으신 후에 은혜에게 친절하게 대답해주셨습니다. “문제를 해결하기 위하여 식을 만들어 계산하면 된단다. 그런데 식을 만들 수 없을 때는 문제의 뜻대로 그림을 그리고, 그린 그림을 보면 식을 만들 수 있단다.”
은혜는 문제의 뜻대로 그림을 그려보았습니다.
먼저 주스 병과 주스의 무게를 수직선 위에 나타내보았습니다.
주스 병과 주스의 무게
0g 350g
다음엔 주스를 절반 마시고 나서 달아본 주스의 무게를 수직선 위에 나타냈습니다.
주스 병과 주스 절반의 무게
0g 280g 350g
은혜는 그린 두 그림을 보고, 주스 절반의 무게를 구하는 식을 만들 수 있었습니다.
(주스 절반의 무게)=350-280=70(g)
이제는 주스의 무게를 구할 수 있습니다.
(주스의 무게)=70×2=140(g)
따라서 주스 병의 무게도 구할 수 있었습니다.
(주스 병의 무게)=350-140=210(g)
이튿날 은혜는 자기가 그린 그림을 선생님에게 보여드리면서 문제를 해결한 방법을 설명했습니다. 은혜의 설명을 다 들으신 선생님께서는 “이 문제와 같이 문제를 해결하기 위하여 식을 만들 수 없을 때는 문제의 뜻대로 그림을 그리고, 그린 그림을 보면서 문제를 해결하는 전략을 ‘그림 그리기’라고 한단다. 은혜는 무엇인가를 스스로 해결하려고 하는 모습이 참으로 훌륭하다.”고 칭찬해주셨습니다.

/ 서울교육대학교 수학교육과

문제 해결1(실제 해보기 전략)

1m20cm 물건 묶으려면 20cm 끈 몇 개가 필요할까

오늘은 폐품을 모으는 날입니다. 현주는 둘레가 1m 20cm인 종이 뭉치를 묶으려고 끈을 찾았습니다. 긴 끈은 없었고 길이가 20cm인 끈만 몇 개 있었습니다. 현주는 끈 6개를 가져왔습니다.
어머니께서는 왜 6개로 신문지를 묶으려고 하느냐고 물어보았습니다. 현주는 어머니에게 자신 있게 설명했습니다.
1m 20cm=120cm이고, 120÷20=6이므로 6개라고 말했습니다. 어머니께서는 ‘20cm짜리 끈 6개로 길이가 1m 20cm인 신문지를 묶을 수 없을 텐데!’라고 마음속으로 생각했습니다. 그렇지만 현주의 의견을 존중하고 현주가 이 문제를 끝까지 스스로 해결하기 위하여 ‘참 좋은 생각이구나!’라고 칭찬해주시면서, 현주에게 끈 6개로 신문지를 묶어보도록 했습니다.
현주는 길이가 20cm인 끈 6개로 길이가 1m 20cm인 신문지를 묶을 수 없음을 금방 알 수 있었습니다. 그렇지만 현주는 ‘계산하면 6개인데 왜 6개로 묶을 수 없을까?’라는 의문이 생기기 시작했습니다. 반복해서 계산을 하더라도 1m 20cm를 20cm씩으로 나누면 답은 6개이기 때문에 6개로 묶을 수 있어야 한다고 생각했습니다.
현주는 ‘왜 이런 일이 일어날까?’ 고민하던 중에 갑자기 중요한 것을 발견했다는 듯이 ‘아하! 그렇구나!’하면서 어머니에게 발견한 것을 말했습니다. 길이가 20cm 끈으로 묶을 때 매듭이 생기는데, 매듭으로 생기는 길이를 생각하지 않았기 때문에 6개로 묶을 수 없다는 것을 찾아낸 것이죠. 그러므로 길이가 20cm인 끈으로 길이가 1m 20cm인 신문지를 묶으려면 7개가 필요할 수도 있고, 8개가 필요할 수도 있고, 9개가 필요할 수도 있다고 판단했습니다.
그렇다면 이 문제의 답을 몇 개라고 하여야 할까? 또 다시 고민하기 시작했습니다. 7개가 맞을까? 아니면 8개가 맞을까? 9개가 맞을까? 아무리 생각해보아도 답을 알 수 없었습니다.
현주는 어쩔 수 없이 선생님께 묻기로 했습니다. 선생님께서는 참으로 좋은 질문이라고 칭찬하시면서 자세히 설명해주셨습니다.
“이 문제와 같이 문제를 풀 때에는 실제로 해보아야만 답을 알 수 있단다. 이와 같이 실제로 해보면서 문제를 해결하는 전략을 수학에서는 ‘실제로 해보기’라고 한단다. 그러므로 이 문제에서는 현주가 실제로 길이가 1m 20m인 신문지를 묶을 때 필요한 개수가 답이란다.”

/서울교육대학 수학교육과

비례배분

전체를 주어진 비로 나누면 `2:3:5 = 2/10:3/10:5/10`

미술 시간에 색도화지가 필요했습니다. 병관이와 수진이, 범주는 각각 200원, 300원, 500원으로 색종이 20장을 샀습니다. 친구들은 모은 돈에 따라 색종이를 나누기로 했습니다. 어떻게 나누면 쉽고 간단하고, 빠르게 나눌 수 있을까요?
먼저 병관이가 아이디어를 냈습니다. 돈을 모두 더하면 1000원(200+300+500=1000)이고, 색종이는 20장이므로 색종이 한 장에 50원꼴(1000÷200)입니다. 그러므로 병관이는 4장(200÷50=4), 수진이는 6장(300÷50=6), 범주는 10장(500÷50=10)씩 나누어 가지면 좋겠다고 말했습니다.
범주도 좋은 아이디어를 생각해 내놓았습니다. 돈을 낸 비율은 200:300:500=2:3:5이므로 병관이는 2/10 만큼, 수진이는 3/10만큼, 범주는 5/10 만큼 낸 것입니다. 그러므로 병관이는 4장(20X2/10=4), 수진이는 6장(20X3/10=6), 범주는 10장(20X5/10=10)씩 나누어 가지면 좋겠다고 말했습니다.
이 때, 의심이 많기로 유명한 도마가 또 범주에게 질문했습니다. “왜 10으로 나누었느냐, 20으로 나누면 잘못인가?” 그러자 범주는 대답하지 못했습니다.
이번에도 마치 질문을 기다렸다는 듯이 꾀돌이가 설명했습니다. “연비에는 성질이 있단다. ‘연비는 각 항에 0이 아닌 수를 곱해도, 나누어도 된다.’는 성질이 있지. 연비의 성질에 따라
2:3:5=2/10:3/10:5/10라고 쓸 수도 있고,
2:3:5=2/20:3/20:5/20라고 쓸 수도 있단다.
그러나 10으로 나누는 것이 20으로 나누는 것보다 나누는 수가 작아서 좋지. 특히 10은 2+3+5=10와 같이 계산하기도 편리하기 때문에 10이 더욱 좋단다.”
꾀돌이의 이야기를 듣고 있던 수진이도
20X2/10=4장 20X3/10=6장 20X5/10=10장
위와 같이 ‘전체를 주어진 비로 나누는 것’을 간단히 줄여서 ‘비례배분’이라고 약속하면 좋을 것 같다고 새로운 아이디어를 생각해 냈습니다.

/ 서울교육대학 수학교육과

연비

3개 이상의 수를 비로 나타내면 이해하기 쉬워

강석이네 반에서 특별활동 시간에 한글 타자 연습을 했습니다. 강석이가 컴퓨터로 80타를 치는 동안에 준호는 120타를 쳤기 때문에 준호는 강석이보다 컴퓨터를 빨리 칠 수 있다고 말할 수 있습니다. 준호가 180타를 치는 동안에 선영이는 100타를 쳤기 때문에 준호는 선영이보다도 컴퓨터를 빨리 칠 수 있다고 말할 수 있습니다. 그렇다면 강석이와 선영이 중에서 누가 컴퓨터를 빨리 친다고 할 수 있을까요?
강석이와 선영이가 직접 컴퓨터를 같이 치지 않고 누가 빨리 칠 수 있는가를 비교하는 방법을 생각하도록 했습니다.
먼저, 강석이가 자기와 준호가 친 타자 수를 비례식으로 나타내기로 했습니다.
강석 : 준호=80 : 120=160 : 240=240 : 360=320 : 480
이번에는 준호가 자기와 선영이가 친 타자 수를 비례식으로 나타냈습니다.
준호 : 선영=180 : 100=360 : 200=540 : 300
마지막으로 선영이가 세 사람을 비교하는 좋은 아이디어를 생각해냈습니다.
강석이와 준호는 240 : 360이라고 말할 수도 있고, 준호와 선영이는 360 : 200이라고 말할 수 있으니
강석 : 준호=240 : 360
준호 : 선영=360 : 200
준호는 양쪽에서 똑같이 360이므로 준호를 기준으로 하여
강석 : 준호 : 선영=240 : 360 : 200
라고 말할 수 있을 것입니다.
그렇기 때문에 강석이와 선영이의 비는
강석 : 선영=240 : 200로 표현할 수 있습니다. 그러므로 강석이가 선영이보다 타자를 빨리 칠 수 있다는 것이 분명합니다.
이번에도 꾀 많은 꾀돌이가
강석 : 준호 : 선영=240 : 360 : 200와 같이 ‘두 비를 연달아 나타낸 비’를 간단히 줄여서 ‘연비’라고 약속하면 좋을 것 같다고 새로운 아이디어를 내놓았습니다.

/서울교육대학 수학교육과

농도

소금의 양을 소금물의 양으로 나눠 비교

영철이와 친구들은 소금물의 농도에 대하여 조사하기로 했습니다. ㉮ 그릇에는 100g 소금물 속에 소금이 12g 들어 있고, ㉯ 그릇에는 80g의 소금물 속에 소금이 10g 들어 있습니다. 영철이와 친구들은 두 그릇에 있는 소금물의 짠 정도(농도)를 구별할 수 없었습니다.
어떻게 소금물의 짠 정도를 알아볼지 토론을 했지만 어느 그릇의 소금물이 더 짠지 구별할 수 없기 때문에 확실한 방법을 알 수 없었습니다.
영철이는 ‘소금의 양’을 ‘기준하는 양’으로 하고, ‘소금물의 양’을 ‘비교하는 양’으로 하여 비의 값을 구하자고 제안했습니다.
㉮ 그릇의 농도⇒소금 : 소금물=12 : 100=12/100=0.12
㉯ 그릇의 농도⇒소금 : 소금물=10 : 80=10/80=0.125
이번에는 호민이가 ‘소금물의 양’을 ‘기준하는 양’으로 하고, ‘소금의 양’을 ‘비교하는 양’으로 하여 비의 값을 구하자고 했습니다.
㉮ 그릇의 농도⇒소금물 : 소금=100 : 12=100/12=8.333…
㉯ 그릇의 농도⇒소금물 : 소금=80 : 10=80/10=8
영철이 방법에서는 ㉯ 그릇의 농도가 크게 나오고, 호민이 방법에서는 ㉮ 그릇의 농도가 크게 나왔기 때문에 친구들은 어느 방법이 좋은지를 판단하지 못하고 있었습니다. 더욱이 친구들은 어느 소금물이 더 짠지를 알 수 없었기 때문에 판단할 수 없었습니다. 어떻게 결정을 해야 할까요?
친구들은 할 수 없이 영철이 어머니에게 여쭙기로 하였습니다. 영철이 어머니께서 자세히 설명해주셨습니다. “소금물에서 소금의 비율이 많은 그릇이 짠 것이다. 그렇기 때문에 영철이 방법이 좋은 것 같다. 그래서 ㉯ 그릇이 ㉮ 그릇보다 소금물의 농도가 짙단다.” 친구들은 어머니의 설명에 고개를 끄덕였습니다.
꾀가 많은 꾀돌이가 소금물의 농도는 ‘소금의 양’을 ‘비교하는 양’으로 하고 ‘소금물의 양’을 ‘기준하는 양’으로 하여 다음 식과 같이 계산하면 좋겠다고 말했습니다.
소금물의 농도=소금의 양 : 소금물의 양=소금의 양/소금물의 양
/서울교육대학 수학교육과

속력

빠르기 비교할 땐 거리를 시간으로 나눠야

영철이와 친구들이 운동장에서 달리기 시합을 했습니다. 영철이는 12초 동안에 100m를 달렸고, 호민이는 15초 동안에 100m를 달렸기 때문에 영철이가 호민이보다 빨랐습니다.
평소 호기심이 많은 영철이가 친구들에게 빠르기(속력)를 조사하자고 제안했습니다. 호민이는 빠르기를 나타내기 위하여 ‘달린 시간’과 ‘달린 거리’를 비교하기 위하여 비로 나타내자고 말했습니다.
영철이의 빠르기 비⇒시간 : 거리=12 : 100
호민이의 빠르기 비⇒시간 : 거리=15 : 100
다시 영철이는 비로만 나타내면 빠르기를 알 수 없으니 ‘달린 시간’을 ‘기준하는 양’으로 하고, ‘달린 거리’를 ‘비교하는 양’으로 해 비의 값을 구하자고 했습니다.
영철이의 빠르기⇒시간 : 거리=12 : 100=12/100=0.12
호민이의 빠르기⇒시간 : 거리=15 : 100=15/100=0.15
그런데 빨리 달리는 영철이가 호민이보다 비의 값이 적게 나왔습니다. 친구들은 빨리 달린 영철이의 빠르기가 커야 하는데 호민이의 빠르기가 크게 나온 것에 대하여 이상하게 생각했어요. 왜 이런 결과가 나왔을까요?
이때에도 꾀가 많은 꾀돌이가 새로운 안을 내놓았습니다. ‘달린 거리’를 ‘비교하는 양’으로 하고 ‘달린 시간’을 ‘기준하는 양’으로 하여 비의 값을 구하자는 것이었지요.
영철이의 빠르기⇒거리 : 시간=100 : 12=100/12=8.333…
호민이의 빠르기⇒거리 : 시간=100 : 15=100/15=6.666…
결과적으로 빨리 달린 영철이의 빠르기가 호민이 빠르기보다 비의 값이 크게 나왔습니다. 꾀돌이는 빨리 달린 사람의 빠르기는 ‘달린 거리’를 ‘비교하는 양’으로 하고 ‘달린 시간’을 ‘기준하는 양’으로 하여 다음 식과 같이 계산하기로 약속했다고 자신 있게 말했지요.
빠르기(속력)=거리 : 시간=거리/시간

/서울교육대학 수학교육과

비의 성질

은주는 일요일에 친구들을 불러 맛있는 빵을 만들어주려고 요리책을 보았습니다. 요리책에는 빵을 만들 때, 밀가루와 물의 비율을 1/2 : 3/10으로 섞는다고 돼 있었습니다. 그런데은주는 밀가루와 물의 비율이 분수로 표시돼 있었기 때문에 어떻게 섞어야 할지 알 수 없었습니다.
은주는 ‘분수로 돼 있는 비를 알기 쉬운 비로 나타내는 방법은 없을까?’ 생각하고 수학 교과서를 조사하기 시작했습니다. 교과서에는 ‘가장 간단한 자연수로 나타내시오’라는 문제를 발견했습니다.
‘분수의 비 1/2 : 3/10 에 어떤 자연수를 곱해야 가장 간단한 자연수의 비로 나타낼 수 있을까?’ 아무리 궁리해도 방법을 찾을 수 없었습니다.
은주는 꾀돌이를 포함, 친구들을 불러 문제를 해결하기로 했습니다.
영철이는 1/2 : 3/10에 100을 곱하자고 말했습니다.
1/2 : 3/10=1/2x100 : 3/10x100=50 : 30
은혜는 1/2 : 3/10에 50을 곱하자고 제안했습니다.
1/2 : 3/10=1/2x50 : 3/10x50=25 : 15
찬호는 1/2 : 3/10에 10을 곱하자고 하였습니다.
1/2 : 3/10=1/2x10 : 3/10x10=5 : 3
종식이는 1/2 : 3/10에 5를 곱하자고 했습니다.
1/2 : 3/10=1/2x5 : 3/10x5=5/2 : 1.5
친구들은 찬호가 생각해낸 방법이 가장 간단한 자연수의 비라고 하면서 좋아했어요. 그러나 찬호는 왜 분수에 각각 10을 곱한 이유를 설명하지 못했습니다.
이때, 꾀 많은 꾀돌이는 또 다시 좋은 의견을 내놓았습니다.
분모들의 최소공배수를 두 분수에 곱하면 좋겠다고 이야기를 한 겁니다.
다른 방법으로 질문이 많기로 유명한 도마가 ‘1/2 : 1/3 을 가장 간단한 자연수의 비로 나타내려면 2와 3의 최소공배수 6을 곱하면 되겠는가?’라고 질문했습니다.
질문을 마치 기다렸다는 듯이 꾀돌이가 설명했습니다.
1/2 : 1/3 에 각각 6을 곱하면
1/2 : 1/3=1/2x6 : 1/3x6=3 : 2
마지막으로 꾀돌이는 ‘이런 문제들을 해결하려고 수학 시간에 가장 간단한 자연수의 비를 나타내는 비의 성질을 배운다’고 덧붙였습니다.

/서울교육대학 수학교육과

비례식

은지는 생일에 친구들과 함께 빵을 만들기로 하였습니다. 빵 2개를 만드는 데에 달걀이 3개 필요하다고 합니다. 그렇다면 빵 10개를 만드는 데 달걀은 몇 개나 필요할까요? 친구들은 서로 생각을 발표했습니다.
은지는 빵 갯수에 해당하는 달걀을 나타내는 그림을 그려 계산했습니다.
<빵2개에 달걀 3개가 그려진 그림.>

그림에서 빵 10개를 만드는 데 달걀이 15개 필요함을 알 수 있었습니다. 주현이는 빵 2개마다 달걀을 3개씩 세어 보았습니다. 빵 2개면 달걀 3개, 빵 4개면 달걀 6개, 빵 6개면 달걀 9개, 빵 8개면 달걀 12개, 빵 10개면 달걀 15개. 그래서 빵 10개를 만드는 데 달걀이 15개 필요함을 알 수 있었습니다.
이번에도 꾀 많은 꾀돌이가 비를 이용하여 좋은 아이디어를 제시했습니다.
달걀 3개에 대한 빵 2개의 비의 값은 2:3 = 2/3
달걀 6개에 대한 빵 4개의 비의 값은 4:6 = 4/6 = 2/3
달걀 9개에 대한 빵 6개의 비의 값은 6:9 = 6/9 = 2/3
달걀 12개에 대한 빵 8개의 비의 값은 8:12 = 8/12 = 2/3
달걀 15개에 대한 빵 10개의 비의 값은 10:15 = 10/15 = 2/3
꾀돌이는 “2:3과 4:6은 비의 값이 같기 때문에 2:3 = 4:6 과 같이 나타낼 수 있습니다. 이와 같이 비의 값이 같은 두 비를 등식으로 나타낸 식을 비례식이라고 약속하면 좋겠습니다.”라고 설명했습니다.
꾀돌이의 설명을 들은 은지는 빵 10개를 만들기 위하여 필요한 달걀을 나타내는 비례식들을 만들어 보았습니다.
2:3 = 10:15
서울교육대학 수학교육과

할푼리

기준량을 10·100·1000으로 할 때의 비율

용철이는 야구 시합에서 8번 타석에 나서 안타를 3번 쳤습니다. 친구들은 용철이가 친 안타의 비율을 백분율로 나타내기로 하고 계산했습니다. 전체 타수 8 중에서 안타를 친 횟수는 3이므로 안타율은 3/8×100=0.375×100=37.5%였습니다.
이때, 지혜 많은 정민이가 “안타율이 37.5%와 같이 소수로 나타내는 것은 좋지 않습니다. 좋은 방법이 없을까요?”라는 의견을 내놓았습니다.
평소에 말이 없었던 은혜가 “안타율이 37.5%와 같이 소수로 나타나는 것은 기준량을 100으로 했기 때문입니다. 기준량을 1000으로 하면 소수로 나타나지 않을 수도 있습니다.”고 아이디어를 냈습니다.
3/8×1000=0.375×1000=375
이와 같이 기준량을 1000으로 할 때의 비율을 ‘리’라고 약속한다면 용철이의 안타율은 ‘375리’라고 설명했습니다.
이번에도 꾀가 많은 꾀돌이가 “안타율을 375리라고 하면 숫자가 너무 크기 때문에 쉽게 이해가 되지 않습니다. 숫자를 작게 하여 나타내기 위하여 기준량을 10으로 할 때의 비율을 ‘할’이라 하고, 기준량을 100으로 할 때의 비율을 ‘푼’이라 하고, 기준량을 1000으로 할 때의 비율을 ‘리’라 하면 좋겠습니다.”고 말했습니다.
그렇다면 용철이의 안타율은 얼마일까? 라고 정민이가 다시 질문했어요.
3/8을 소수와 분수로 고쳐 나타내면
3/8=0.375=0.3+0.07+0.005=3/10+7/100+5/1000
3/10은 10을 기준으로 하고 있기 때문에 3할이고, 7/100은 100을 기준으로 하고 있기 때문에 7푼이고, 5/1000는 1000을 기준으로 하고 있기 때문에 5리입니다. 그러므로 용철이의 안타율 0.375는 3할 7푼 5리라고 합니다.
친구들은 자기들이 생각해낸 아이디어들에 대해 감탄하면서 좋아했습니다.
/서울교육대학 수학교육과

백분율

기준량이 100일 때의 비율...%로 표시

요한이는 퀴즈 게임 중 스무 문제 가운데 15개를 맞혔습니다. 친구들은 요한이가 퀴즈에서 맞힌 점수를 얼마로 하여야 하는가에 대하여 토론했습니다. 정민이는 “20개 중에서 15개를 맞혔기 때문에 15점이라고 하자.”고 말했습니다. 장수는 “한 개에 2점씩으로 해 30점이라고 하자.”고 주장했지요. 이때 지혜가 많은 꾀돌이가 좋은 아이디어를 냈습니다. “점수만 나타내면 전체 점수가 얼마인지 알 수 없다. 맞힌 점수와 전제 점수와의 비율을 생각하여야 한다.”고 말했습니다.
맞힌 점수 15점과 전체 점수 20점의 비율은 15 : 20=15/20=0.75입니다.
전체 점수를 40점이라고 하면 맞힌 점수와 전체 점수의 비율은 15 : 20=30 : 40=30/40=0.75입니다.
또 전체 점수를 100점이라고 하면 맞힌 점수와 전체 점수의 비율은 15 : 20=75 : 100=75/100=0.75입니다. 만일 전체 점수를 200점이라고 하면 맞힌 점수와 전체 점수의 비율은 15 : 20=150 : 200=150/200=0.75입니다. 다시 전체 점수를 1000점이라고 하면 맞힌 점수와 전체 점수의 비율은 15 : 20=750 : 1000=750/1000=0.75입니다.
전체 점수를 여러 가지로 하더라도 맞힌 점수와 전체 점수의 비율은 항상 0.75였지요. 여러 경우 중에서 맞힌 점수와 전체 점수의 비율 0.75를 가장 잘 나타내는 경우는 전체 점수를 100점으로 한 경우입니다.
그러므로 지혜가 많은 꾀돌이는 기준량을 100으로 할 때의 비율을 백분율이라 하고, 기호 %를 써서 나타내기로 약속했습니다.
따라서 “20개 중에서 15개를 맞힌 것은 100개 중에서 75개를 맞힌 것과 같기 때문에 75%라고 나타낸다.”고 요한이가 말했습니다.
지혜가 많은 꾀돌이가 ‘백분율을 구하는 방법’을 생각해냈습니다.
15/20×100=75%
비율 × 100=백분율
/서울교육대학 수학교육과

비율

갑돌이가 저금한 돈은 가족들이 저금한 돈과 비교하여 비율이 어떻게 되는지 알기 위해 가족들이 저금한 돈을 조사하였습니다.

갑돌이네 가족의 저금한 돈

이름	할아버지	할머니	아버지	어머니	형	갑돌이	동생
저금(원)	20만원	15만원	400만원	120만원	16만원	12만원	8만원

갑돌이의 돈 12만 원은 형의 돈 16만 원을 기준으로 하여 비교하면

12만 원 : 16만 원=12만 원/16만 원=0.75로서 적은 편이고
아버지의 돈 400만 원을 기준으로 하여 비교하면
12만 원 : 400만 원=12만 원/400만 원=0.03으로서 아주 적은 편이고
동생의 돈 8만 원을 기준으로 하여 비교하면
12만 원 : 8만 원=12만 원/8만 원=1.5로서 많은 편이다.
갑돌이는 자기 돈 12만 원은 변하지 않았지만 형의 돈이나 아버지의 돈, 동생의 돈을 기준으로 할 때마다 비의 값이 다르게 나타난다는 것을 알게 되었다.

이때, 할아버지께서는 갑돌이의 돈은 형이나 아버지, 동생의 돈에 비교하기 때문에 ‘비교하는 양’이라 하고 형이나 아버지, 동생의 돈을 ‘기준량’이라고 한다고 말씀해주셨다.

그때, 꾀가 많은 꾀돌이는 ‘기준량에 대해 비교하는 양의 크기를 비율이라고 부른다’고 말해주었다. 그런데 의심 많은 다른 친구는 ‘비교하는 양에 대한 기준양의 크기를 비율이라고 부른다면 어떨까요?’라고 여쭤보았다. 바로 그때, 기다렸다는 듯이 할아버지께서 ‘갑돌이의 돈을 비교하기 때문에 먼저 쓰는 것이 좋을 것’이라고 말씀하셨습니다.

/서울교육대학교 수학교육과

원 그래프

전체에 대한 각 부분 비율을 원에…

갑돌이네 학교에서 실시한 어린이 회장 선거에서 입후보자들이 얻은 득표수는 어떤 비율로 흩어져 있는지를 알아보려고 하였습니다. 그래서 먼저 갑돌이네 학교의 어린이 회장 선거에서 입후보한 후보자들의 득표수를 조사했습니다.

이제 갑돌이와 친구들은 갑돌이네 학교 어린이 회장 선거 입후보자들의 득표수는 어떤 비율로 흩어져 있는지를 알아보기 위하여 어떤 그래프를 그려야 하는지를 토론하였습니다.
많은 친구들은 비율을 나타내는 그래프로서 띠 그래프가 좋다고 찬성하였습니다. 그런데 지혜는 다른 의견을 제시하였습니다. “띠 그래프는 선거 후보자들의 득표수의 비율을 띠처럼 한 줄에 나타내기 때문에 직접 비교하는 데 어려움이 있을 것입니다. 그러므로 다른 그래프를 생각해봅시다.”고 제안했습니다.
이번에도 꾀가 많은 꾀돌이는 좋은 아이디어를 생각해냈습니다. 비율을 알아보는 그래프는 띠 그래프 외에 원 그래프라는 것이 있다고 이야기했습니다.

원에 각 후보자들의 득표수를 나타내기 위하여 원의 중심각을 계산해야 한다고 말했습니다. 그래서 원 그래프를 그리기 위하여 전체에 대한 각 입후보자 득표수를 나타내는 중심각을 계산하기로 했습니다.
장호의 중심각은 240/600×360=144°
성희의 중심각은 120/600×360=72°
영민이의 중심각은 150/600×360=90°
미숙의 백분율은 90/600×360=54°
꾀돌이는 전체에 대한 각 입후보자들의 득표수를 그림과 같이 원에 그래프를 그렸습니다.
친구들은 꾀돌이가 원에 그린 그래프를 보고 “전체에 대한 각 부분의 비율을 원에 나타낸 그래프를 원 그래프라고 부르면 좋겠다.”고 칭찬해주었습니다.

/서울교육대학교 수학교육과

띠 그래프

전체에 대한 각 부분 비율 한눈에…

장호네 학급에서는 우리 나라 사람들의 혈액형은 어떤 비율로 흩어져 있는지를 알아보려고 했습니다. 그래서 먼저 장호네 학교 전교생 1200명을 대상으로 혈액형을 조사했습니다.

이제 장호와 친구들은 장호네 학교 학생들의 혈액형은 어떤 비율로 흩어져 있는지를 알아보기 위하여 어떤 그래프를 그려야 하는지를 토론하였습니다.
막대 그래프를 그린다면 각 혈액형별로 서로 비교할 수는 있지만 비율을 알아볼 수 없었습니다. 꺾은선 그래프는 시간에 따라 변하는 경향을 알아보기 때문에 꺾은선 그래프도 혈액형의 비율을 알아볼 수 없었습니다. 그림 그래프도 적당하지 않고, 줄기와 잎 그래프도 적당하지 않다고 생각하였습니다.

이때, 꾀가 많은 꾀돌이는 좋은 아이디어를 생각해내었습니다. 비율을 알아보는 것은 백분율이라는 것이 있으니 전체에 대하여 각 혈액형에 대한 백분율을 계산하기로 하였습니다.
A형의 백분율은 420/1200×100=35%,
B형의 백분율은 360/1200×100=30%
O형의 백분율은 300/1200×100=25%
AB형의 백분율은 120/1200×100=10%
꾀돌이는 전체에 대한 각 혈액형의 백분율을 그림과 같이 띠 모양의 그래프로 그렸습니다.
친구들은 꾀돌이가 그린 띠 모양의 그래프를 보고 “전체에 대한 각 부분의 비율을 띠 모양으로 나타내었기 때문에 띠 그래프라고 부르면 좋겠다.”라고 칭찬해주었습니다.

/서울교육대학 수학교육과

줄기와 잎 그래프

정민이와 친구들은 마을에 살고 계시는 사람들 중에서 20세 이상인 어른 28명의 나이를 조사하였습니다.

그런데 정민이와 친구들은 어른들의 나이가 어떻게 흩어져 있는지를 알고 싶었습니다. 그래서 표를 만들었습니다.

그런데 표에서는 각 나이대별로 사람수는 알 수 있지만 구체적인 나이를 알 수 없는 단점이 있었습니다. 그래서 각 나이대별로 사람수도 알 수 있고, 구체적인 나이를 알 수 있는 방법을 알아보기로 하였습니다.

이때, 꾀가 많은 꾀돌이는 책에서 읽었던 줄기와 잎 그래프를 친구들에게 소개해주었습니다. 예를 들어, 21세의 경우에는 십의 자리 숫자 2를 줄기라 하고 세로선의 왼쪽에, 일의 자리 숫자 1은 잎이라 하고 세로선의 오른쪽에 나타내면 된다고 말하였습니다.
친구들은 꾀돌이가 그린 줄기와 잎 그래프를 보고 “줄기와 잎 그래프는 나이대별로 사람수도 알 수 있고, 구체적으로 나이도 알 수 있어서 막대 그래프보다 좋은 것 같다.”고 칭찬해주었습니다.

/ 서울교육대학 수학교육과

그림 그래프

지도 위에 자료 내용 그림으로 표시

길동이는 소나 돼지와 같이 농촌에서 기르고 있는 가축에 관심이 많았습니다. 특별히 우리 나라 농촌에는 소를 얼마나 기르고 있는지를 알고 싶었습니다. 길동이는 2003년 각 도별 소의 마리수를 조사하여 도수분포표를 만들었습니다.

길동이는 친구들이 각 도별 소의 마리수를 도수분포표에서 알아보는 것보다 좀더 쉽게 알아보기 위하여 그래프를 그리려고 했습니다. 꺾은선 그래프는 시간에 따라 변하는 양을 조사하기에 알맞은 그래프이기 때문에 각 도별 소의 마리수를 나타내는 데 꺾은선 그래프는 적당하지 않다고 판단한 거죠. 그렇다면 막대 그래프는 어떨까? 막대 그래프는 각 도별 소의 마리수를 한눈으로 비교하는 데 좋으나 각 도별 위치에 따라 소의 마리수를 나타내는 데 부족하다고 생각했습니다.

길동이는 각 도별 위치에 따라 소의 마리수를 나타내는 그래프를 그리려고 친구들과 의논했습니다. 그렇지만 좋은 방법을 알아내지 못했습니다. 그래서 친구들은 통계를 다루고 있는 아저씨께 여쭤보았습니다. 아저씨께서는 지도 위에 그래프를 그려보면 좋겠다는 충고를 하셨습니다.
그래서 길동이와 친구들은 지도 위에 10만 마리는 큰 다이아몬드(◇)로, 1만 마리는 작은 다이아몬드(◇)로 나타내어 그래프를 그리기로 하였습니다.
길동이와 친구들은 지도 위에 각 도별 소의 마리수를 그림으로 나타낸 그래프를 아저씨께 보여드렸습니다. 그림으로 나타낸 그래프를 보신 아저씨께서는 “지도 위에 위치에 따라 소의 마리수를 그림으로 나타낸 그래프를 그림 그래프라고 한단다.”고 설명해주시고, “길동이와 친구들은 참으로 똑똑한 학생들이다.”라고 칭찬해주셨습니다.

/ 서울교육대학 수학교육과

꺾은선 그래프

정확한 자료 없어도 변화 예측 가능

갑돌이는 8일 현관 밖의 온도를 오전 6시부터 오후 4시까지 2시간마다 재 도수분포표를 만들었습니다.

시각	오전 6시	8시	10시	12시	오후2시	4시
온도(℃)	3	5	7	11	13	10

아버지는 이 도수분포표를 보시고 오전 9시에는 몇 도나 되었을까? 오후 5시에는 몇 도나 되었을까? 알고 싶었습니다. 그렇지만 이 도수분포표를 보고는 온도를 알 수 없었습니다. 그래서 갑돌이에게 온도를 가르쳐달라고 했습니다. 그러나 갑돌이는 오전 9시와 오후 5시에 온도를 재지 않았기 때문에 알 수 없었습니다. 그래서 아버지는 갑돌이에게 오전 9와 오후 5시는 온도가 몇 도이었는지를 알 수 있는 방법을 가르쳐달라고 했지요.
갑돌이는 온도를 알아보는 방법을 알려고 친구들과 의논했습니다. 그렇지만 좋은 방법을 알아내지 못했습니다. 그래서 친구들은 선생님께 여쭤보았습니다. 선생님께서는 꺾은선 그래프를 그려보면 알 수 있을 것이라고 충고했습니다.

그래서 갑돌이와 친구들은 시각에 따라 변하는 온도를 꺾은선으로 나타내는 꺾은선 그래프를 그리기로 하였습니다.
꺾은선 그래프를 그린 갑돌이와 친구들은 “9시는 8시와 10시의 중간이니 6℃라고 예측할 수 있고, 오후 5시는 2시와 4시를 나타내는 선을 따라가면 8.5℃쯤 된다고 예측할 수 있다.”고 온도를 짐작했습니다.
그래서 갑돌이와 친구들은 아버지에게 “꺾은선 그래프에서 9시는 8시와 10시의 중간이니 6℃라고 예측할 수 있고, 오후 5시는 2시와 4시를 나타내는 선을 따라가면 8.5℃쯤 된다고 예측할 수 있습니다.”라고 말씀 드렸습니다.
갑돌이와 친구들의 이야기를 들으신 아버지께서는 “꺾은선 그래프는 시간에 따라 변하는 경향을 예측하는 데 좋은 그래프인데 꺾은선 그래프를 생각해낸 갑돌이와 친구들은 참으로 생각이 깊은 학생들이다.”라고 칭찬해주셨습니다.

/ 배종수 교수(서울교육대학 수학교육과)

막대그래프

학교 앞에 있는 음식점에서는 어린이들이 좋아하는 음식을 준비하기 위해 어린이 150명을 대상으로 그들이 좋아하는 음식을 조사했습니다. 어린이들이 좋아하는 음식은 아래 도수분포표에서 보는 것과 같이 여러 종류가 있었습니다.
◈ 어린이들이 좋아하는 음식

음식	김밥	햄버거	라면	통닭	불고기	갈비	피자	기타	계
어린이 수	26	15	44	14	17	11	13	10	150

음식점 주인은 이 도수분포표를 보고 어린이들이 가장 좋아하는 음식과 둘째로 좋아하는 음식이 무엇인지 금방 알 수 있었습니다. 그러나 좋아하는 음식에 대한 어린이의 비율을 한 눈에 알아볼 수 없었습니다. 예를 들어 라면을 좋아하는 어린이의 수는 김밥을 좋아하는 어린이수의 몇 배나 되는지, 김밥을 좋아하는 어린이수는 불고기를 좋아하는 어린이수의 비율을 한눈에 알아볼 수 없었던 것입니다.

그래서 아저씨께서는 갑돌이에게 좋아하는 음식에 대한 어린이수의 비율을 한눈에 쉽고, 간단하고, 편리하고, 빨리 서로 비교할 수 있는 방법을 생각하자고 말했습니다. 그래서 갑돌이는 음식에 따라 어린이수의 크기를 막대로 나타내는 그래프를 그리기로 했습니다. <그래프 참조>
음식점 주인은 갑돌이가 그린 막대그래프를 보시고 “어린이들이 좋아하는 음식에 대한 어린이 수의 비율을 한눈에 알아볼 수 있네. 갑돌이는 참으로 아이디어가 많은 학생이야!”라고 갑돌이를 칭찬했습니다.

/ 서울교육대학 수학교육과

도수분포표

복잡한 자료는 간단한 표로…

다음주 토요일은 갑돌이의 생일입니다. 갑돌이 어머니께서는 생일에 친구들을 초대하려고 합니다. 어머니는 친구들이 좋아하는 음식을 준비할 생각입니다. 그런데 친구들이 어떤 음식을 좋아하는지를 알 수 없었습니다. 어머니는 친구들이 좋아하는 음식을 알아보려고 갑돌이를 시켜 조사하도록 했습니다. 조사를 통해 다음과 같은 결과가 나왔습니다.
(민수, 김밥) (소라, 햄버거) (장호, 김밥) (혜미, 라면) (선희, 라면)
(성구, 라면) (수정, 통닭) (소연, 불고기) (종철, 갈비) (영희, 통닭)
(종식, 피자) (종호, 햄버거) (미숙, 불고기) (한성, 피자) (은주, 스파게티)
(은혜, 김밥) (대성, 피자) (기호, 김밥) (수호, 라면) (장식, 햄버거)
어머니께서는 이 자료를 보고 어린이들이 좋아하는 음식이 무엇인지 금방 알 수 없었습니다. 어머니께서는 갑돌이에게 어린이들이 좋아하는 음식을 쉽고, 간단하고, 편리하고, 빨리 알아볼 수 있는 방법을 생각하자고 말하셨어요. 그래서 갑돌이는 음식과 학생 수를 나타내는 표를 만들기로 했습니다.
<아이들이 좋아하는 음식>

음식	김밥	햄버거	라면	통닭	불고기	갈비	피자	스파게티	계
학생 수	4	3	4	2	2	1	3	1	20

어머니께서는 갑돌이가 만든 표를 보시고 김밥과 라면을 준비하면 좋겠다고 생각하셨습니다. 또 갈비나 스파게티는 준비하지 않아도 되겠다는 생각도 하셨습니다.
갑돌이 생일에 음식을 준비하기 위하여 어머니께서 자료를 찾아보고, 갑돌이가 그 자료를 보고 아이들이 좋아하는 음식에 대한 표를 만들고, 어머니께서는 표를 보시고 준비할 음식을 결정했다는 이야기를 들으신 아버지께서는 “우리 가족은 참으로 훌륭하구나!”라고 칭찬하셨어요. 아버지는 “이와 같이 자료를 표로 만들어 두면 자료의 특성을 쉽게 알 수 있어서 좋단다.”라고 다시 말했습니다.

/ 배종수 교수(서울교육대학 수학교육과)

통계

자료 정리는 통계의 첫걸음

갑돌이네 반에서는 학급 어린이 20명이 좋아하는 음식이 무엇인지 조사했습니다. 민수는 김밥을 좋아한다고 했고, 소라는 햄버거를 좋아한다고 말했습니다. 장호는 김밥을, 혜미는 라면을, 선희 역시 라면을 좋아한다고 했습니다. 이와 같이 20명이 각자 좋아하는 음식을 모두 말했습니다. 그런데 학생들이 좋아하는 음식을 말한 후에는 누가 무엇을 좋아하는지를 구체적으로 알 수 없었습니다.
조금 지난 후에 민수는 “누가 무엇을 좋아하는지 금방 잊어버렸어. 누가 무엇을 좋아하는지를 오래도록 기억할 수 있는 방법은 없을까?” 하고 의견을 물었습니다.
수정이는 이름표처럼 좋아하는 음식 이름을 가슴에 써 붙이자는 의견을 내놓았습니다. 번호대로 좋아하는 음식 이름을 써놓자는 의견도 있었습니다.
(1번, 김밥) (2번, 피자) (3번, 김밥) (4번, 라면) (5번, 라면)
이때 꾀가 많은 꾀돌이는 “우리들이 번호를 모두 기억할 수 없다. 그러므로 학생 이름을 먼저 쓰고, 좋아하는 음식 이름은 뒤에 써놓자.” 라고 말했습니다.
(민수, 김밥) (소라, 햄버거) (장호, 김밥) (혜미, 라면) (선희, 라면)
(성구, 라면) (수정, 통닭) (소연, 불고기) (종철, 갈비) (영희, 통닭)
(종식, 피자) (종호, 햄버거) (미숙, 불고기) (한성, 피자) (은주, 스파게티)
(은혜, 김밥) (대성, 피자) (기호, 김밥) (수호, 라면) (장식, 햄버거)
학생들이 스스로 토론하면서 자료를 정리해놓은 것을 보신 선생님께서는 “참으로 우리 학생들은 훌륭하구나! 이와 같이 자료를 정리해두면 구체적으로 누가 무엇을 좋아하는지를 오래도록 알 수 있지!”라고 칭찬해주셨습니다. 이것이 바로 통계를 위한 자료 정리입니다.

/ 배종수 교수(서울교육대학 수학교육과)

단명수와 복명수

갑돌이는 탐구심이 강한 학생입니다. 갑돌이는 길이에 대한 표준 단위 1m와 보조 단위 1km, 1cm, 1mm를 사용하는 것에 대해 충분히 이해하고 있었습니다. 그리고 2650m = 2km 650m 이고, 4km 200m = 2400m 인 것도 잘 이해하고 있습니다.
그런데 탐구심이 강한 갑돌이는 왜 학교에서 2650m = [ ]km [ ]m, 4km 200m = [ ]m 와 같은 시험 문제를 내는지 이해하지 못했습니다. 이것 외에도 여러 가지가 있었습니다. 250분 = [ ]시간 [ ]분, 3시간 20분 = [ ]분 , 4500㎖ = [ ]ℓ [ ]㎖, 5ℓ 400㎖ = [ ]㎖
탐구심이 많기로 유명한 갑돌이지만 그 이유를 찾아낼 수 없었습니다. 갑돌이는 친구들과 이야기했습니다. 왜 학교에서 이런 시험 문제를 낼까? 왜 교과서에서는 이런 문제들이 있을까? 토론을 했지만 정확한 이유를 찾지 못했습니다. 학생들은 인터넷으로 찾아보기도 했습니다. 그렇지만 시원한 이유를 찾지 못했습니다. 어떤 학생들은 학교에서 학생들에게 골탕을 먹이려고 시험 문제를 낸다는 학생들도 있었습니다.
이때 꾀가 많기로 소문난 꾀돌이가 수학을 잘 하시는 할아버지에게 문의하자고 아이디어를 생각해냈습니다. 할아버지는 학생들의 탐구심을 높이 칭찬하시면서 친절히 대답해주셨습니다.
“2650m, 250분, 4500㎖와 같이 측정한 것을 하나의 단위로 나타낸 수를 단명수라 하고, 2km 650m, 4시간 10분, 4ℓ 500㎖와 같이 측정한 것을 둘 이상의 단위로 나타낸 수를 복명수하고 한단다. 복명수는 단명수보다 크기의 느낌을 쉽게 느낄 수 있어서 좋단다. 예를 들어 4시간 10분이 250분보다 더 쉽게 느낄 수 있어서 좋단다. 그리고, 단명수는 복명수보다 계산을 할 때 좋은 것이란다. 예를 들어, 250분을 5로 나누는 것은 4시간 10분은 5로 나누는 것보다 계산하기에 편리하단다.”라고요. 할아버지는 “때문에 선생님들은 학생들이 단명수를 복명수로 고칠 수도 있어야 하고, 복명수를 단명수로 고칠 수 있어야 하기에 그런 문제를 내는 거란다.”라고 설명해주셨습니다.
/ 배종수 교수(서울교육대학 수학교육과)

유도 단위

세계 사람들은 생활하는 데 기본이 되는 길이, 시간, 무게에 대한 표준 단위(單位)를 이용하여 여러가지 물건들을 측정하고 비교할 수 있었습니다.

세계 사람들은 넓이에 대한 새로운 표준 단위, 부피에 대한 표준 단위, 속력에 대한 표준 단위도 만들어야 한다고 주장했어요.
학자들은 토론을 하면서 중요한 결정을 내렸습니다. 지금까지 약속한 길이, 시간, 무게의 표준 단위를 이용하여 넓이, 부피, 속력의 단위를 약속하자고 결정한 것입니다.
그러면서 기본이 되는 표준 단위를 이용하여 약속하는 새로운 단위를‘유도 단위’라고 이름을 붙였습니다.

넓이에 대한 유도 단위는 길이와 길이를 이용하여 만든 단위입니다. 즉, 가로와 세로가 각각 1m인 정사각형의 넓이를 1㎡로 정하자고 약속했습니다.

부피에 대한 유도 단위는 세 가지 길이를 이용하여 만든 단위입니다. 즉, 가로와 세로, 높이가 각각 1m인 정육면체의 부피를 1㎥로 정하자고 약속을 하였습니다.

속력은 길이와 시간을 이용하여 만든 단위입니다. 즉, 길이를 시간으로 나눈 것(1m/1초)을 속력이라고 약속을 한 것입니다.

이렇게 표준 단위 1m, 1초, 1kg을 이용하여 만든 유도 단위를 만든 것을 알게 된 꾀돌이는“아하! 집의 넓이는 1㎡(제곱 미터)를 기준으로 재어보면 좋겠고, 만든 물건의 부피는 1㎥(세제곱 미터)를 기준으로 재어보면 좋겠고, 누가 빠른가를 알아보기 위하여 속력을 측정하면 좋겠다!”라고 말했습니다.

서울교육대학 수학교육과

무게의 표준 단위

물 1ℓ의 온도가 3.98℃일 때 `1㎏`

갑돌이와 갑순이네 가족들은 가을에 많은 과일과 곡식을 수확했습니다. 가족들은 저마다 거두어들인 과일과 곡식이 가장 무겁다고 주장했습니다. 가족들의 수가 적었을 때에는 직접 비교할 수 있었지만 가족 수가 많아지면서 서로 비교하려면 너무 어렵기 때문에 무게에 대한 표준 단위를 정하기로 했습니다.
가장 무거운 감의 무게를 ‘1감’이라고 약속하자는 의견이 있었고, 콩 한 움큼의 무게를 ‘1근’으로 하자고 약속했습니다.
다른 나라에서도 무게에 대한 표준 단위를 무엇으로 정할 것인지에 대하여 토론이 활발하였습니다. 곡식 낱알 한 개의 무게를 ‘1그레인’으로 하고, 1그레인을 기준으로 하여 1드램, 1온스, 1파운드, 1톤 등을 약속하여 사용하기 시작했습니다.
이제 세계 사람들이 어떻게 하면 똑같은 표준 단위를 공동으로 사용할 것인가로 토론이 번져 나갔습니다. 세계 사람들은 회의를 거듭한 결과 무게에 대한 표준 단위를 정했습니다.
무게에 대한 표준 단위는 물 1ℓ의 무게를 이용하여 만들자고 했습니다. 그런데 물은 뜨겁거나 찰 때 약간 늘어나거나 줄어듭니다. 물은 섭씨 3.98도일 때 가장 농도가 짙다고 합니다. 그러므로 물의 농도가 가장 짙은 섭씨 3.98도에서 물 1ℓ의 무게를 1㎏이라고 약속했지요. 그래서 우리는 섭씨 3.98도를 간단히 줄여서 약 4도에서 물 1ℓ의 무게를 1㎏이라고 약속하기도 한다고 덧붙여 설명했습니다.
이 때부터 사람들은 1㎏을 표준 단위로 하여 무게를 재어 나타내기 시작하였습니다. 그래서 세계 사람들은 큰 자동차의 무게를 1만 5000㎏, 예지의 몸무게를 24.5㎏, 금반지의 무게를 0.0048㎏ 등과 같이 무게로 표시했습니다.
그런데, 자동차의 무게를 1만 5000㎏과 같이 1㎏으로 재려면 수가 너무 크고, 금반지의 무게를 0.0048㎏과 같이 무게를 재려면 수가 너무 작기 때문에 1㎏인 표준 단위만을 사용하면 불편하다는 것을 다시 느끼고 보조 단위를 만들었습니다. 세계 사람들은 1000㎏을 1톤으로, 1㎏을 1000으로 나눈 것 중의 하나를 1g으로 하자고 다시 약속했습니다.
이렇게 표준 단위 1㎏과 보조 단위 1톤, 1g을 약속한 것을 알게 된 꾀돌이는 이번에도 “아하! 큰 자동차의 무게는 15톤, 예지의 무게는 24㎏ 500g, 금반지의 무게는 4.8g과 같이 우리들이 이해하기 쉽게 나타낼 수 있겠구나!”하고 감탄했습니다.

/ 배종수 교수(서울교육대학 수학교육과)

시간에 대한 단위

표준 단위 `1초` 모여, `분`·`시간` 만들어

갑돌이와 갑순이네 가족들은 시간에 대한 표준 단위를 놓고 무엇으로 어떻게 정할 것인지에 대하여 많은 토론을 했습니다. 해가 떠 있는 시간을 ‘1낮’이라고 약속하자는 의견도 있었고, 달이 떠 있는 시간을 ‘1밤’이라고 하자는 의견도 있었습니다. 해가 떠서 지고 달이 떠서 지는 시간을 ‘1일’이라고 생각하는 의견도 있었습니다. 며칠 동안 아무리 토론을 해보아도 어떤 좋은 방법이 없었습니다.
다른 나라에서도 시간에 대한 표준 단위를 무엇으로 정할 것인지에 대하여 토론이 활발했지만 결론을 내리지 못했습니다. 이제 세계 사람들이 어떻게 하면 시간에 대한 똑같은 표준 단위를 공동으로 사용할 것인가로 번져 나갔습니다. 세계 사람들은 회의를 거듭한 결과 시간에 대한 표준 단위를 약속했습니다.
시간에 대한 표준 단위는 해가 떠서 졌다가 다시 뜨는 시간을 이용해 만들자고 합의했습니다. 사람들은 해가 떠서 졌다가 다시 뜨는 시간을 86400으로 나눈 것 중의 하나를 1초로 정하자고 했습니다.
이 때부터 사람들은 1초를 표준 단위로 삼아 시간을 쟀습니다. 그런데, 달리기 한 시간을 2736초, 하루를 나타내려면 86400초라고 나타내어야 합니다. 한 달을 나타내려면 무려 2592000초와 같이 수가 너무 크기 때문에 1초인 표준 단위만을 사용하면 불편하다는 것을 다시 느끼고 보조 단위를 만들 계획을 세웠습니다.
세계 사람들은 60초를 1분, 3600초를 1시간, 86400초를 1일과 같이 보조 단위를 다시 약속했습니다.
이렇게 표준 단위 1초와 보조 단위 1분, 1시간, 1일, 1달, 1년 등을 약속한 것을 알게 된 꾀돌이는 ‘1분은 60초, 달리기 한 시간은 45분 36초, 1시간은 60분, 하루는 24시간과 같이 우리들이 이해하기 쉽게 나타낼 수 있겠구나!’라고 감탄했습니다.

/ 배종수 교수(서울교육대학 수학교육과)

길이의 단위

1m가 `표준`…km·cm는 `보조`

25회 '길이에 대한 표준 단위 1m'

갑돌이와 갑순이네 가족들은 길이에 대한 표준 단위를 놓고 무엇으로 어떻게 정할 것인지에 대해 많은 토론을 벌였습니다. 할아버지의 키를 ‘1길’로 하자는 말이 있었고 벼 한 알의 길이를 ‘1톨’로 하자는 의견도 있었습니다. 한 발의 길이를 ‘1발’로 하자는 의견도 나왔습니다. 며칠 동안 아무리 토론을 해봤지만 어떤 좋은 방법이 없었습니다.
다른 나라에서도 길이에 대한 표준 단위를 무엇으로 정할 것인지에 대해 토론을 벌였습니다. 한 발의 길이를 ‘1후트’, 곡식 낱알 3개의 길이를 ‘1야드’와 같이 정해 사용하자고 주장하기도 했습니다.
이제 세계 사람들이 어떻게 하면 똑같은 표준 단위를 정해 함께 사용할 것인가로 토론이 번져 나갔습니다. 세계 사람들은 회의를 거듭한 결과 ‘미터법 체계’라는 것을 만들어냈습니다.
먼저 길이에 대해 논의했지요. 길이에 대한 표준 단위는 적도에서 북극까지의 거리를 이용해 만들기로 뜻을 모았습니다. 사람들은 적도에서 북극까지의 거리를 1000만으로 나눈 것을 ‘1m’로 삼자고 약속했습니다.
이 때부터 사람들은 1m를 표준 단위로 하여 길이나 거리를 재기 시작했습니다. 그래서 세계 사람들은 나무의 길이가 2m, 아이의 키가 1m 등과 같이 많은 것들의 길이를 편리하게 측정했습니다.
그런데, 서울에서 부산까지의 거리와 같이 먼 거리를 43만 2500m와 같이 m로 나타내려면 너무 수가 크고, 영수의 키를 1.76m, 연필의 길이를 0.0125m와 같이 작은 물건의 길이를 재려면 수가 너무 작기 때문에 1m인 표준 단위만을 사용하면 불편하다는 것을 다시 느끼고 보조 단위를 만들기로 했습니다.
사람들은 1000m를 1㎞로, 1m를 100으로 나눈 것을 1㎝로, 1m를 1000으로 나눈 것을 1㎜로 하자고 다시 약속했습니다. 이렇게 표준 단위 1m와 보조 단위 1㎞, 1㎝, 1㎜를 약속한 것을 알게 된 꾀돌이는 “아하~ 서울에서 부산까지의 거리는 432.5㎞, 영수의 키는 1m 76㎝, 연필의 길이는 12㎝ 5㎜와 같이 우리들이 이해하기 쉽게 나타낼 수 있겠구나!”하고 감탄했습니다.

/ 배종수 교수(서울교육대학 수학교육과)

표준단위

누구나 다 알 수 있게 `표준 단위` 써야

아주 먼 옛날, 갑돌이와 갑순이는 행복하게 살았습니다. 어느덧 갑돌이와 갑순이는 할아버지와 할머니가 되었고, 아들과 딸을 10명이나 낳았습니다. 아들과 딸들은 아주 잘 자라서 결혼하여 각각 다른 집에서 나뉘어 살고 있었습니다.
아들딸들은 각각 살면서 일어나는 재미있는 여러 가지 일들을 부모님에게 이야기해 주었습니다. 큰아들은 자기 집 앞에 심은 나무가 5뼘이나 된다고 하였고, 작은아들은 자기 딸의 키가 3뼘이라고 했습니다. 큰딸은 자기 집에 심은 포도나무가 6뼘이나 된다고 했습니다. 둘째딸은 자기 집은 울타리 높이가 8뼘이라고 했습니다.
할아버지와 할머니는 아들딸들이 여러 가지 이야기를 해주었지만 아들딸들의 한 뼘의 길이를 알 수 없었기 때문에 아들딸들이 이야기하는 나무나 손자의 키, 울타리의 높이를 제대로 알 수 없었어요. 더욱이 집 둘레는 120걸음이며, 집에서 논까지의 거리는 245걸음이라고 말할 때에는 한 걸음의 거리를 정확히 알 수 없었기 때문에 아들딸들이 말하는 것을 파악할 수 없었습니다.
그러던 중 설날에 모든 가족들이 할아버지와 할머니 댁에 모였습니다. 할아버지는 가족들에게 “나는 너희들의 한 뼘의 길이라든지 한 걸음의 길이를 알 수 없었기 때문에 너희들이 이야기해준 것을 제대로 알 수 없었다. 내가 너희들의 이야기를 제대로 알아들을 수 있는 방법은 없을까?”라고 질문했습니다. 가족들은 여러 가지 좋은 아이디어들을 내놓았습니다. 할아버지의 뼘을 단위로 하자는 아이디어도 있었고, 가족 중에서 가장 뼘이 큰 사람의 뼘을 단위로 삼자고 하기도 했습니다.
그런데 꾀 많기로 유명한 꾀돌이가 또 다시 좋은 아이디어를 냈습니다. 누구나 다 알아들을 수 있는 단위를 ‘표준 단위’로 삼자고 제안했습니다

/ 배종수 교수(서울교육대학 수학교육과)

왜 측정을 해야 하는가?

아주 먼 옛날에 갑돌이라는 사람이 살았습니다. 그런데 갑돌이는 혼자 사는 것이 쓸쓸해 함께 살 수 있는 여자가 있으면 좋겠다고 생각했습니다. 그런데 어느 날 갑순이라는 여자를 만났고 그 뒤로는 둘이 결혼해 다정하게 살게 됐습니다.
그러던 어느 날 갑순이는 갑돌이에게 자기가 갑돌이보다 키가 더 크다고 뽐내기 시작했습니다. 그러나 갑돌이는 자기가 갑순이보다 더 크다고 여겼기에 둘은 서로 ‘자신의 키가 더 크다’며 다퉜습니다. 이 때 갑돌이는 키를 서로 직접 대어 비교하면 좋겠다는 꾀를 냈어요. 그래서 두 사람은 키를 직접 대어보았습니다. 키를 직접 대어본 결과 갑돌이가 갑순이보다 한 뼘이나 크다는 것을 알았습니다. 갑순이는 자기가 크다고 우겼던 것을 후회하고 사과했지요. 갑돌이는 갑순이의 사과를 받아주고 오히려 갑순이를 더 많이 사랑하면서 즐겁게 살았습니다.
둘은 살아가면서 필요할 때마다 비교했습니다. 나무 판자의 길이를 직접 대보며 비교했고, 사냥하여 잡은 토끼의 무게를 두 손으로 들어보며 견주었습니다. 많은 시간이 흘러 갑돌이와 갑순이네 마을에 24명의 사람들이 모여 살게 됐습니다. 사람들은 저마다 자기가 키가 제일 크다고 주장했어요. 두 사람씩 키를 직접 비교하다 보니 너무나도 많은 시간이 걸렸습니다. ‘어떻게 하면 쉽고 편리하고 빨리 키가 가장 큰 사람을 알아볼 수 없을까?’하고 사람들은 궁리했습니다.
그러던 중 아이디어가 좋은 꾀돌이가 사람들의 키를 손 뼘으로 재서 비교하자고 말했습니다. 어떤 사람은 7뼘이었고, 다른 사람은 8뼘 반이었습니다. 또 9뼘이나 되는 이도 있었습니다. 사람들의 키를 뼘으로 재어보았더니 가장 키가 큰 사람은 9뼘 반이었습니다.
꾀돌이는 사람들이 여럿일 때에는 직접 비교하면 너무나도 어렵기 때문에 뼘과 같은 정해진 단위로 재면 좋다고 하면서 ‘정해진 단위로 재는 것을 측정이라고 한다’고 친구들에게 설명해 주었습니다.

/ 배종수 교수(서울교대 수학교육과)

소수

0.45 `영점사십오`가 아니고 `영점사오`!

소수 마을에서는 소수 0.45를 어떻게 읽어야 하는 문제로 고민을 하고 있습니다. 어떤 사람은 ‘영점사십오’로 읽어야 한다고 주장합니다. “왜냐하면 45/100는 1/100이 45(사십오)개이므로 0.45는 0.01이 45(사십오)개라는 뜻으로 ‘영점사십오’라고 읽어야 한다.” 라고 당당하게 이유를 밝히고 있습니다.
다른 사람은 ‘영점사오’라고 읽어야 한다고 목청을 돋워 말합니다. 왜냐하면 ‘영점사오’는 ‘영점사십오’ 보다 편리하기 때문이라고 설명합니다.
이렇게 양쪽에서 서로 제 말이 옳다고 주장하지만 소수 마을 사람들은 어느 것이 더 좋은지 확실히 알 수 없었습니다. 그래서 마을에서 수학 공부를 잘 하는 사람들이 연구를 하기 시작했습니다.
20/100은 100개 중에서 20개라는 뜻도 되지만 10개 중에서 2개라는 뜻도 들어 있습니다. 그러므로 20/100=2/10입니다. 따라서 0.20과 0.2는 같습니다. 그렇기 때문에 0.2는 0.1이 2개라는 뜻으로 ‘영점이’로 읽을 수 있고, 0.01이 20개라는 뜻으로 ‘영점이십’이라고 할 수도 있다는 사실을 알아냈던 것입니다.
소수 마을 사람들의 이야기를 들은 왕은 소수 마을 사람들의 연구를 칭찬하면서 현명한 판결을 내렸습니다. “45/100는 1/100이 45개라는 뜻으로 0.45를 ‘영점사십오’라고 읽을 수도 있고, 1/1000이 450개라는 뜻으로 0.450를 ‘영점사백오십’이라고 읽을 수도 있고, 1/10000이 4500개라는 뜻으로 0.4500를 ‘영점사천오백’이라고 읽을 수도 있습니다. 그러므로 0.45를 ‘영점사십오’라고 읽는다면 혼란이 올 수 있으므로 ‘영점사오’라고 읽는 것이 좋습니다.”

/ 배종수 교수(서울교대 수학교육과)

혼합계산

괄호가 있을 땐 괄호부터 계산하세요

20. 괄호가 있는 혼합계산(3)
자연수 나라에 35명이 살고 있는 35마을이 있습니다. 어느 날 6명이 다른 곳에 가서 살기로 했습니다. 그래서 이 마을에는 35-6=29이므로 29명이 살고 있습니다. 그래서 마을 입구에 35-6=29라고 써 붙였습니다. 그런데 며칠 후에 또 5명이 다른 곳에 가서 살기로 했어요. 그래서 35-6-5=29-5=24이므로 24명이 남게 됐습니다. 이번에는 마을 입구에 35-6-5=29-5=24라고 길게 써 붙였습니다. 그런데 또다시 7명이 다른 마을로 이사를 가기로 했습니다. 그래서 현재 마을에는 35-6-5-7=29-5-7=24-7=17명이 남았습니다. 마을 사람들은 35명이 살았었는데 먼저 6명이 이사를 가고, 다음에 5명이 이사를 가고, 마지막으로 7명이 이사를 가서 이제는 17명이 살고 있다는 뜻으로 마을 입구에 35-6-5-7=29-5-7=24-7=17과 같이 아주 길게 간판을 써 붙였습니다.
마을 앞을 지나가던 많은 사람들이 써 있는 간판의 뜻이 무엇인지 알 수 없었습니다. 마을 사람들은 간판을 좀더 알아보기 쉽게 나타내는 방법이 있을 것이라고 믿고 연구를 하기 시작했습니다. 그렇지만 좋은 방법을 발견할 수 없었어요. 뺄셈 장관에게 좋은 아이디어를 생각하도록 부탁하였지만 아무 소용이 없었습니다.
이런 소식을 괄호 장관이 듣고 새로운 아이디어를 생각해 냈습니다. “사람들이 이사 갈 때마다 뺄셈을 하면 복잡하고 귀찮기 때문에 먼저 이사 간 사람들을 한꺼번에 계산하고 나중에 이사 간 사람들을 빼면 좋습니다.”라고 아이디어를 말했지요. 먼저 이사 간 사람들을 계산하면 6+5+7=18이므로 35-(6+5+7)=35-18=17과 같이 계산하자고 했습니다. 그런데 어떤 사람들은 35-(6+5+7)=29+5+7=34+7=41과 같이 계산하는 사람들도 있었습니다. 그래서 괄호 장관은 “괄호가 섞여 있는 혼합 계산을 할 때에는 괄호 안을 가장 먼저 계산하면 된다고 약속하기로 하면 좋다.”고 발표했습니다.
괄호 장관은 이처럼 새로운 아이디어를 왕에게 설명했습니다. 이 설명을 듣고 있던 왕은 뺄셈을 계속하는 것도 틀리지는 않았지만, 괄호를 먼저 계산하면 보다 쉽고 편리할 것 같기 때문에 괄호 장관의 아이디어를 받아들였습니다.
‘괄호가 섞여 있는 혼합 계산을 할 때에는 괄호 안을 가장 먼저 계산하도록 한다’라고요.

괄호는 꼭 필요할 때만!

자연수 나라에 4명씩 살고 있는 ‘4마을’이 5곳이나 있었고 3명이 살고 있는 ‘3마을’도 있습니다. 어느 날 이 마을에 사는 사람들이 모두 모여 같은 마을에서 살기로 했습니다. 그래서 이 마을에는 4+4+4+4+4+3=23이므로 23명이 살고 있습니다. 그러므로 마을 입구에 4+4+4+4+4+3=23이라고 써 붙였습니다.
그런데 이 마을 앞을 지나가는 사람들이 “곱셈을 이용하면 간판을 편리하게 나타낼 텐데 곱셈을 이용할 줄 모르는가봐?”라며 흉을 보기 시작했습니다. 마을 사람들은 회의를 하여 곱셈을 이용하면 편리하다는 것을 알아내고 곱셈을 이용하여 4×5+3=23이라고 간단하게 써 붙였지요.
이번에는 어떤 사람이 “괄호를 이용하면 좋을 텐데 괄호를 이용할 줄 모르는가봐?”라고 말했습니다. 그래서 마을 사람들은 또 다시 회의해 괄호를 이용하여 (4×5)+3=23이라고 써 붙였습니다.
그런데 수학 공부를 잘하는 사람이 이 마을 앞을 지나가다가 “괄호는 꼭 필요할 때만 이용해야 하는데 아무 곳에나 이용하고 있구나! 이 마을에는 수학을 올바르게 공부한 사람이 없나봐!”라고 꼬집었습니다.
이 마을 사람들은 간판을 어떻게 나타내야 좋은지를 알 수 없었습니다. 회의를 한 결과 괄호 장관에게 질문하기로 했지요. 괄호 장관은 아주 좋은 판결을 내렸습니다. “괄호는 꼭 필요한 경우에만 써야 합니다. 괄호를 이용하지 않고 4×5+3이라고 식을 쓰더라도 답은 23이고, 괄호를 사용하여 (4×5)+3이라고 식을 쓰더라도 답은 23입니다. 그러므로 두 가지 식은 모두 옳습니다. 그러나 수학에서는 좀더 쉽고, 간편하고, 빨리 하는 것을 최고로 칩니다. 그러므로 4×5+3=23이라고 써야 합니다.”

/ 배종수 교수(서울교대 수학교육과)

덧셈과 곱셈의 혼합 계산

자연수 나라에 3명이 살고 있는 ‘3마을’과 2명씩 살고 있는 ‘2마을’이 4곳 있었습니다. 어느 날 3마을과 2마을 4곳이 함께 모여서 살기로 하고 왕에게 함께 살도록 해달라고 말씀드렸습니다. 왕은 물론 허락했지요.

마을 사람들은 함께 살려고 큰 집을 짓고 이사를 했습니다. 그리고 이 마을 사람들은 3명과 2명씩 4곳이 합하였다는 뜻으로 마을 입구에 ‘3+2×4’라고 크게 써붙였습니다. 이 마을 옆을 지나가던 덧셈 장관이 3과 2를 더하면 5이고, 5에 4를 곱하면 20이기 때문에 3+2×4=20이라고 써붙이면서 ‘20마을’이라고 했습니다. 그런데 마을 사람 수를 세보았더니 11명만 살고 있었습니다. 그래서 마을 사람들은 덧셈 장관에게 3+2×4=11이라고 말했습니다. 실제로 세어보았지만 역시 11명이었습니다.
덧셈 장관은 마을 사람들과 함께 식을 다시 쓰기로 했습니다. 먼저 3명이 살고 있었고, 또 2명씩 4곳이 살고 있었으므로 알맞은 식은 3+2×4라고 찬성했습니다. 그런데 사람 수를 세어보니 20명이 아니고 11명만 살고 있었습니다.
덧셈 장관은 왜 이런 일이 일어날까 고민하기 시작했어요. 아무리 고민을 해도 다른 생각이 나지 않았습니다. 덧셈 장관은 하는 수 없이 지혜로운 왕에게 이 문제를 해결해 주시도록 건의했습니다. 그런데 왕도 이 문제를 해결할 수 없었어요. 왕은 문제를 푸는 사람을 장관에 임명하겠노라고 하며 널리 국민들에게 알렸습니다.
이 때 혼합 계산이라는 사람이 나타나 설명했습니다. “이 경우에 알맞은 식은 3+2×4입니다. 그런데 사람 수는 11명입니다. 덧셈과 곱셈이 있는 식에서 덧셈을 먼저 계산하면 20명이 되고, 곱셈을 먼저 계산하고 나중에 덧셈을 계산하면 11명이 됩니다. 그러므로 덧셈과 곱셈이 있는 식에서는 먼저 곱셈을 계산하고 나중에 덧셈을 계산하도록 약속해야 합니다.”라고요. 이 설명을 듣고 있던 왕은 혼합 계산의 아이디어에 감탄하면서 혼합 계산의 말대로 할 것을 명령했습니다. “덧셈과 곱셈이 있는 식에서는 먼저 곱셈을 계산하고 나중에 덧셈을 계산하도록 명령한다.” 왕은 혼합 계산을 칭찬하면서 장관으로 임명하였습니다.
자연수 나라에 4명이 살고 있는 4마을과 6명이 사는 6마을이 있었습니다. 어느 날 6마을에 살고 있는 3사람은 4마을과 합하자고 제안했고, 3사람은 4마을과 합하지 말자고 했습니다. 6마을 사람들은 며칠 동안 토론을 하였지만 결론을 내지 못했어요. 그래서 6마을은 4마을과 합하고자 하는 3명과 합하지 않겠다는 3명이 나뉘어 살기로 했습니다. 그리고 4마을과 합하자고 하는 3명은 4마을과 합쳐 7마을이 됐습니다.
4마을 사람들은 6명이 둘로 나뉘어 한 팀이 자기들과 합하였다는 뜻으로 마을 입구에 ‘4+6÷2라고 크게 써 붙였습니다. 이번에도 마을 옆을 지나가던 덧셈 장관이 4와 6을 더하면 10이고, 10을 2로 나누면 5이기 때문에 4+6÷2=5라고 써 붙이면서 5마을이라고 써 붙였습니다. 그런데 마을 사람 수를 세어보았더니 7명이 살고 있는 것이 아니겠습니까. 그래서 마을 사람들은 덧셈 장관에게 4+6÷2=7이라고 말했지요. 덧셈 장관은 이번에는 직접 사람 수를 세어보았지만 7명이었습니다.
덧셈 장관은 마을 사람들과 함께 식을 다시 쓰기로 했습니다. 먼저 4명이 살고 있었고, 또 6명이 2곳으로 나뉘고, 이들이 4와 합하여 살고 있으므로 알맞은 식은 4+6÷2라고 했습니다. 그런데 사람 수를 세어보니 5명이 아니고 7명이 살고 있었습니다.
덧셈 장관은 ‘왜 이런 일이 일어날까’하고 고민하면서 덧셈과 곱셈 혼합 계산인 3+2×4를 생각하게 되었습니다. 그러므로 덧셈과 나눗셈이 있는 식에서도 덧셈을 먼저 계산하고 나중에 나눗셈을 계산하면 5명이 되고, 나눗셈을 먼저 계산하고 나중에 덧셈을 계산하면 7명이 됩니다. 그러므로 덧셈과 나눗셈이 있는 식에서는 먼저 나눗셈을 계산하고 나중에 덧셈을 계산하도록 약속하자고 제안했습니다.
덧셈 장관은 덧셈과 곱셈 혼합 계산에서 약속했던 경험을 바탕으로 왕에게 설명했습니다. 이 설명을 듣고 있던 왕은 이번에도 덧셈 장관의 아이디어를 받아들였습니다. “덧셈과 나눗셈이 있는 식에서는 먼저 나눗셈을 계산하고 나중에 덧셈을 계산하도록 명령한다.”라고요.

/ 배종수 교수(서울교육대학 수학교육과)

나머지가 있는 나눗셈식

나머지가 있을 때 나눌 수 있을까?

자연수 나라에 7명이 살고 있는 ‘7마을’이 있습니다. 어느 날 7마을에서 3명이 이사 나와 ‘3마을’을 만들었기 때문에 4명이 남았습니다. 그런데, 또 3명이 새롭게 ‘3마을’을 만들어 나갔습니다. 결국 남은 1명은 어쩔 수 없이 ‘1마을’이 됐습니다. 며칠 사이에 7명이 살고 있는 7마을은 3명씩 살고 있는 3마을 2곳과 1마을로 변해버린 거죠.
이 모습을 보고 있던 빼기라는 장관은 이번에는 ‘7에서 3을 2번 뺐더니 1이 남았다’는 사실을 나타내기 위해 7마을 입구에 ‘7-3-3=1’이라 써 붙였습니다.
이번에도 머리 좋은 포함제 나눗셈 장관이 ‘7-3-3=1’은 너무 길기 때문에 ‘7에서 3을 2번 뺐더니 1이 남았다’는 사실을 쉽고 간편하고 빨리 나타내기 위해 ‘7÷3=2…1’이라 쓰고, ‘7 나누기 3은 2 나머지 1’이라 부르도록 아이디어를 냈습니다. 그러면서 7 속에는 3이 2번 포함되어 있고 1이 남았다는 뜻으로 ‘나머지가 있는 포함제 나눗셈’이라는 이름을 붙여주었어요.
다른 7마을에서는 7명이 함께 살기에는 너무 복잡하므로 세 집으로 똑같이 나누어 살기로 결정했습니다. 그런데 문제는 7명이 세 집으로 똑같이 나누어 살 수 없다는 점입니다.
이런 과정을 바라보고 있던 등분제 나눗셈이라는 장관은 나머지가 있는 경우에 등분제 나눗셈으로 나타낼 수 있는가를 곰곰이 생각했으나 그럴 수 없었습니다. 세 집에 2명씩은 똑같이 나눌 수 있었지만 나머지 1명을 세 집으로 똑같이 나눌 수 없었기 때문이지요. 그래서 등분제 나눗셈 장관은 나머지가 있는 나눗셈은 등분제 나눗셈으로 나타낼 수 없다고 결론을 냈습니다.
등분제 나눗셈 장관은 나머지가 있을 경우에는 포함제 나눗셈만 생각하여야 한다는 사실에 마음이 아팠습니다. 그러면서 수박 7개를 셋으로 똑같이 나누면 한 곳에 2씩 나눌 수 있다는 사실을 발견하고 7÷3=2 1/3이라고 썼습니다. 등분제 장관은 위대한 것을 발견한 것처럼 의기양양하게 왕에게 보고했어요. “사람처럼 나눌 수 없는 경우에는 등분제 나눗셈으로 나눌 수 없지만, 수박처럼 나눌 수 있는 경우에는 등분제 나눗셈으로 나눌 수 있습니다.”라고요.
왕은 등분제 나눗셈 장관의 발견에 대하여 칭찬하면서 나머지가 있는 나눗셈에 대하여 결론을 내렸습니다. “사람과 같이 나눌 수 없는 경우, 나머지가 있을 때에는 포함제 나눗셈만을 사용하고 등분제 나눗셈을 사용할 수 없습니다. 그러나 수박과 같이 나눌 수 있는 경우, 나머지가 있더라도 포함제 나눗셈과 등분제 나눗셈을 사용할 수 있습니다.”

/ 배종수 교수(서울교육대학 수학교육과)

나눗셈식

나눗셈엔 `포함` `나누기` 개념 모두 들어 있어

자연수 나라에 6명이 살고 있는 ‘6마을’이 있었습니다. 어느 날 6마을에서 2명이 이사 나와 ‘2마을’을 만들었기 때문에 4명이 남았습니다. 그런데, 또 2명이 새롭게 ‘2마을’을 만들었습니다. 그랬더니 남은 2명도 2마을을 세워습니다. 며칠 사이에 6명이 살고 있는 6마을은 2명씩 살고 있는 2마을 3곳으로 변해버렸습니다.
이런 과정을 바라보고 있던 빼기라는 장관은 ‘6에서 2를 3번 뺐더니 아무 것도 없었다’는 사실을 나타내기 위해 6마을 입구에 ‘6-2-2-2=0’이라 써 붙였습니다.
이 때 머리 좋은 ‘포함제 나눗셈’이라는 장관이 6-2-2-2=0은 너무 길기 때문에 6에서 2를 3번 빼었더니 아무 것도 없었다는 사실을 쉽고 간편하고 빨리 나타내기 위해 ‘6÷2=3’이라 쓰고, ‘6 나누기 2는 3’이라 부르도록 아이디어를 냈습니다. 그러면서 6 속에는 2가 3번 포함되어 있다는 뜻으로 ‘포함제 나눗셈’이라는 이름을 붙여주었어요.
다른 6마을에서는 6명이 함께 살기에는 너무 복잡하므로 두 집으로 나누어 살기로 결정했습니다. 그래서 6명은 두 집으로 나뉘었고 새로운 두 집에는 똑같이 3명이 살게 됐습니다.
이런 과정을 바라보고 있던 빼기라는 장관은 빼기로 나타낼 수 있는가를 곰곰이 생각했으나 그럴 수 없었습니다. 더하기 장관도 더하기로 나타내려 해도 나타낼 수 없었고, 곱하기 장관도 곱하기로 나타낼 수 없었습니다.
이 때 나눗셈이라는 장관은 6을 2곳으로 똑같이 나누면 한 곳에는 3이라는 사실을 나타내기 위하여 6마을 입구에 6÷2=3이라 써 붙이고 6 나누기 2는 3이라 부르도록 아이디어를 냈습니다. 그러면서 6을 2곳으로 똑같이 나누면 한 곳에 3이 된다는 뜻으로 ‘등분제 나눗셈’이라고 이름을 붙여주었습니다.
그런데 6÷2=3이라는 나눗셈을 먼저 사용했던 포함제 나눗셈에서 등분제 나눗셈에게 6÷2=3이라는 기호를 사용하지 못하도록 말했습니다. 서로 다툼이 일어나자 왕에게 판결을 부탁했지요. 지혜로운 왕은 이번 문제는 너무 어렵다며 고민하기 시작했습니다.
6÷2=3을 6 속에 2가 3번 포함됐다고 판단하여야 하는지 6을 똑같이 2곳으로 나누면 한 곳에 3씩 있다고 판단해야 하는지를 구별할 수 없었기 때문이었어요. 그렇지만 6÷2=3을 포함제 나눗셈으로도 생각할 수 있었고 등분제 나눗셈으로도 생각할 수 있었기 때문에 함께 사용하도록 판결했습니다.
/ 배종수 교수(서울교육대학 수학교육과)

곱셈식

헉! 너무 길고 헷갈려 … 곱셈으로 하면 간단

자연수나라 ‘곱’이라는 도시에는 3명이 살고 있는 3마을이 5곳이나 있습니다. 하루는 5곳에서 살고 있는 3마을 사람들이 다 함께 모여 살기로 하고 왕에게 말씀드렸습니다. 왕은 이번에도 그들이 원하는 대로 허락했지요. 그러고는 이들의 마을 이름을 무엇이라고 쓰고 부를까 궁리했습니다. 이 때 ‘합’이라고 하는 장관이 마을 이름을 합을 이용하여 ‘3+3+3+3+3’으로 쓰고, ‘3과 3과 3과 3과 3의 합’이라 부르자고 했습니다. 그리고 마을 입구에 ‘3+3+3+3+3=15’라고 써 붙였어요.
이런 소식이 퍼지자 4명씩 모여 이웃해 살고 있는 6곳에서도 함께 살자며 합의를 보았습니다. 왕은 허락하면서 마을 입구에 ‘4+4+4+4+4+4=24’라고 써주었지요. 7명씩 살고 있는 2곳에서도 뭉쳐 살기로 했고 왕은 ‘7+7=14’라는 이름을 써 보냈습니다.
그런데 마을 이름이 너무 길기 때문에 가끔은 3+3+3+3+3을 3+3+3+3+3+3과 같이 잘못 쓰기도 하고, 3과 3과 3과 3의 합과 같이 잘못 부르기도 하였습니다.
이를 지켜보던 ‘곱’이라는 장관이 새로운 아이디어를 냈습니다. 3+3+3+3+3=15는 너무 길기 때문에 ‘3×5=15’라 쓰고 ‘3과 5의 곱’이라 부르자는 것이었어요. 왕은 곱 장관의 아이디어를 크게 칭찬했습니다. 그리고 4+4+4+4+4+4=24 대신에 4×6=24, 7+7=14 대신에 7×2=14라고 써주었습니다.
어느 날 15명이 살고 있는 다른 도시에서 새로운 아이디어를 찾아내려는 경쟁이 벌어졌습니다. 이 마을은 3의 5배이며 3의 5배는 15인데 이것을 나타내는 방법을 찾는 경쟁이었죠. 이 때 ‘배’라는 장관은 새로운 방법을 찾아냈다고 자랑했습니다. 배 장관은 3의 5배는 3+3+3+3+3과도 같고, 3×5와도 같기 때문에 기호를 3×5=15라 쓰고, 3의 5배는 15라 부르자는 아이디어였습니다. 왕은 물론 배 장관의 아이디어를 칭찬했지요. 그러자 곱 장관이 항의를 하였습니다. 3×5=15라는 기호는 이미 곱하기에서 사용하고 있으니 사용할 수 없다는 것이었죠.
고민하던 왕은 결국 이렇게 결정했습니다. “3×5=15라는 기호는 곱 장관이 만들어낸 아이디어입니다. 그러므로 배 장관은 3×5=15라는 기호를 곱 장관이 만든 아이디어라고 다른 사람들에게 정확하게 밝힌 뒤 사용하십시오.”라고요.

/배종수 교수(서울교육대학 수학교육과)

와 2의 `차`=5에서 2를 `뺀다`

자연수 나라에는 사람들이 사는 수에 따라 마을 이름이 정해졌어요. 두 명이 살고 있으면 ‘2마을’이라고 불렀고, 5명이 살고 있으면 ‘5마을’이라고 불렀습니다.
하루는 5마을에 사는 두 사람이 다른 마을로 이사를 가겠다고 왕에게 청했습니다. 왕은 이사를 허락하면서 ‘5명이 살다가 2명이 이사간 마을의 이름을 어떻게 쓰고 어떻게 불러야 하는가’에 대해 고민하기 시작했어요. 이 때 아이디어가 좋은 ‘빼기’라는 장관이 마을 이름을 ‘5-2’라 쓰고, ‘5 빼기 2’라 부르자고 했습니다. 왕은 빼기 장관의 아이디어를 칭찬하며 그렇게 하자고 했지요.

그런데 5마을에 남아 있는 3명이 다시 말했습니다. 5명 중에서 2명이 이사를 가고 3명이 남아 살고 있으므로 ‘3마을’로 하자고 했던 겁니다. 왕은 다시 ‘3마을’이라고 이름을 붙여 주었습니다. 이를 살펴보던 꾀돌이가 다시 제안했습니다. 원래는 5명이 살다가 2명이 이사를 가고 지금은 3명이 남아서 살고 있다는 것을 나타내기 위하여 ‘5-2=3’이라 쓰고, ‘5 빼기 2는 3’이라고 읽는 뺄셈식을 생각해낸 것입니다.
어느 날 남자 5명이 살고 있는 5마을 사람들과 여자 2명이 살고 있는 2마을 사람들이 다투기 시작하였습니다. 사람 수는 세보지도 않고 서로 자신의 마을에 더 사람이 많다고 우기고 있습니다. 마침내 두 마을은 이를 두고 재판을 벌였습니다. 지혜로운 판사는 5마을에 사는 남자 5명과 2마을에 사는 여자 2명을 모두 법정으로 불렀지요. 그러고는 “남자 5명과 여자 2명은 각각 한 줄로 서시오. 남자 한 명과 여자 한 명이 각각 짝을 지어보시오. 남자 3명은 짝이 없으니 5마을 사람들이 2마을 사람들보다 3명이 많습니다.”라고 판결했습니다.
이를 보고 ‘차’라는 장관이 5와 2를 비교하면 5가 2보다 3이 크다는 것을 나타내는 기호에 대하여 생각했습니다. 한참을 궁리한 끝에 차 장관은 기호를 ‘5-2=3’이라 쓰고, ‘5와 2의 차는 3’이라 부르도록 아이디어를 내었습니다. 왕은 이번에도 차 장관의 아이디어를 칭찬해주시면서 그대로 채택했습니다. 그런데 빼기 장관이 항의를 했어요. 5-2=3이라는 기호는 이미 빼기에서 사용하고 있으니 사용할 수 없다는 것이었죠.
이야기를 듣던 왕은 이렇게 말했습니다. 남자 5명과 여자 2명의 차는 마치 남자 5명에서 여자 수만큼 남자 2명을 뺀 것과 똑같은 결과이기 때문에 5명과 2명의 차는 5명에서 2명을 뺀 것과 결과가 같으므로 차에서도 5-2=3이라는 기호를 함께 쓰도록 빼기 장관을 설득했습니다. 결국 빼기 장관과 차 장관은 사이좋게 5-2=3이라는 기호를 함께 사용하기로 했습니다.

/배종수 교수(서울교육대학 수학교육과)

덧셈 기호 +

동시에 합한다` `나중에 더한다` 두가지 뜻 지녀

자연수 나라에 자연수들이 마을에 흩어져 살고 있습니다. ‘3마을’에는 세 명만이 살 수 있었습니다. ‘5마을’에는 5명만이 살 수 있지요. 이런 식으로 6마을, 8마을, 12마을, 25마을에서도 각각 규칙대로 살아야만 합니다.
하루는 3마을과 5마을 사람들이 서로 함께 살 수 있도록 허락해달라고 왕에게 말씀드렸습니다. 왕은 허락했습니다. 그러고는 ‘이들의 마을 이름을 무엇이라고 쓰고 부를까?’를 곰곰이 생각했습니다. 이 때 아이디어가 좋은 ‘더하기’ 장관이 마을 이름을 ‘3+5’라고 쓰고, ‘3과 5의 합’이라 부르도록 했습니다. 그런데 5마을 사람들이 불평했어요. “왜 3마을 이름을 먼저 쓰죠? 우리들의 5마을 이름을 먼저 써주십시오.” 왕은 5마을의 이름을 먼저 사용하여 5+3이라 쓰고, 5와 3의 합이라 부르도록 하였습니다.
그런데 이번에는 3마을 사람들이 불만을 터뜨렸습니다. 장관 더하기는 결국 ‘3마을 사람들과 5마을 사람들을 모두 합하면 8명이므로 8마을이라고 이름을 붙여주자’고 왕에게 건의했습니다.
여기에서 힌트를 얻어 왕은 3+5는 8과 같으므로 3+5=8이라는 덧셈식을 생각해냈습니다. 덧셈식을 발견한 왕은 참으로 기뻤습니다. 3마을과 5마을 사람들이 서로 다투는 덕분에 3+5=8이라는 덧셈식도 발견하고, 3+5=5+3이라는 교환 법칙도 발견했기 때문이죠.

며칠 후, 3마을에 5마을 사람들이 찾아와서 자기들이 3마을로 이사올 테니 함께 살자고 간청했습니다. 3마을 사람들은 5마을 사람들을 받아들일 것인지 의논했고 결국 받아주기로 했습니다. 그리고 마을 이름을 새로 어떻게 붙일까를 고민 했습니다. 이 때 꾀 많은 장관 더하기가 마을 이름을 3+5라고 붙여주고, ‘3과 5의 더하기’라 부르자고 했습니다. 왕은 장관 더하기의 아이디어를 받아들였지요. 그런데 5마을 사람들은 “왜 3마을 이름을 먼저 씁니까?” 하고 불만을 말했지요. 왕은 “5마을 사람들이 3마을 사람들에게 부탁하여 살고 있기 때문에 3마을 이름을 먼저 쓰고 5마을 이름은 나중에 써야 한다. 그래서 이름을 3+5라고 붙여주고, 3에 5를 더한다.”라고 부르도록 명령했습니다.
이 때 많은 신하들이 왕에게 질문했습니다. 3+5는 3마을과 5마을을 동시에 합하였는지 3마을에 5마을을 더하였는지 구분이 잘 안 된다는 것이었지요. 과연 수학나라 왕은 이를 어떻게 설명했을까요?
오늘 공부하고 있는 덧셈 기호 ‘3+5=8’에는 두 가지 의미가 담겨 있습니다. 하나는 ‘3과 5를 동시에 합하면 8이 된다’는 ‘동시 합병의 의미’와 ‘3에 5를 더하면 8이 된다’는 ‘첨가의 의미’가 있습니다.

/배종수 교수(서울교육대학 수학교육과)

직사각형과 정사각형

네 변 같고 네 각이 직각이면 `정사각형`

도형들이 도형랜드에서 여러 가지 체험 학습을 하고 있었습니다. 그런데 직사각형랜드 입구에 ‘직사각형만 들어오세요’라고 써 있습니다. 평행사변형이 자기도 직사각형인 줄 생각하고 들어가려고 했지요. 직사각형 문지기들이 평행사변형이 들어가려고 하는 것을 막습니다. “평행사변형은 마주 보는 두 쌍의 변의 길이가 같으므로 직사각형이 됩니다. 왜 들여보내지 않습니까?”라고 항의했습니다. 직사각형 문지기는 “평행사변형은 마주 보는 두 쌍의 변이 같다 하더라도 네 각이 모두 직각이 아니므로 직사각형이 아닙니다. 그러므로 평행사변형은 들어갈 수 없습니다.”라고 친절하게 설명해 주었습니다. 평행사변형은 문지기의 설명에 멋쩍은 표정으로 뒤통수를 긁적이면서 되돌아갔지요.

이 때 정사각형이 막 들어가려고 하였습니다. 그런데 문지기는 이번에도 정사각형을 거절합니다. “정사각형은 네 변의 길이가 모두 같고, 네 각이 모두 직각이므로 직사각형이 됩니다. 왜 들여보내지 않습니까?”라고 말했습니다. 문지기는 말합니다. “정사각형은 네 각이 모두 직각이라 하더라도, 네 변의 길이가 모두 같으므로 직사각형이 아닙니다. 그러므로 들어갈 수 없습니다.” 그렇지만 정사각형은 자기 생각이 옳다고 판단하고 물러서지 않았어요. “비록 네 변의 길이가 모두 같더라도, 네 각이 모두 직각이므로 직사각형이 될 수 있습니다. 나도 들어갈 수 있습니다.”라고 다시 한 번 주장했습니다. 그렇지만 문지기도 자기의 생각을 굽히지 않았습니다. 이를 보고 있던 여러 도형들은 둘로 편이 나뉘었습니다. 어떤 도형들은 ‘정사각형은 직사각형이 될 수 있다’에 편을 들었고, 어떤 도형들은 ‘정사각형은 직사각형이 될 수 없다’에 편들었습니다.
도형들은 결정할 수 없어서 도형랜드 사장에게 물어보았어요. 사장님은 “네 각이 모두 직각인 사각형은 모두 직사각형입니다. 그런데 정사각형은 네 각이 모두 직각입니다. 그러므로 정사각형은 직사각형이라고 볼 수 있습니다.”라고 판단해 주었습니다. 모두들 사장의 판단에 고개를 끄덕였습니다. 그런데 의심 많은 마름모가 사장님에게 다른 것을 물었습니다. “직사각형과 정사각형은 같은 것이 아닌가요?” 공부를 많이 하셨던 사장님은 마름모에게 친절하게 설명해 주셨습니다. “정사각형은 네 각이 모두 직각이고 네 변의 길이가 모두 같은 사각형입니다. 그런데 직사각형은 네 각만이 모두 직각이므로 네 변이 모두 같다는 조건을 만족할 수 없습니다. 그러므로 직사각형은 정사각형이라고 볼 수 없습니다.”라고요.
끝으로 사장님은 덧붙여 말씀하셨죠. “정사각형은 네 변의 길이가 모두 같기 때문에 마름모가 됩니다. 그러나, 네 변이 같지만 네 각이 모두 직각이 아니므로 마름모는 정사각형이 아닙니다.”
/ 배종수 교수(서울교대 수학교육과)

정다각형

변 길이·각 크기 모두 같으면 `정다각형`

많은 도형들이 모여 살고 있었습니다. 어느 날 왕은 신하들과 함께 마을을 돌아보았지요.
세 변의 길이가 모두 같은 삼각형들이 사는 마을에서 왕은 모양이 바른 삼각형이라는 뜻으로 그들에게 ‘정삼각형’이라고 이름을 지어주셨습니다. 네 변의 길이가 모두 같은 사각형들이 모인 마을에서는 ‘마름모’라는 이름을 붙였습니다.
그런데 네 변의 길이가 모두 같은 마름모 중에서 네 각이 직각인 사각형들은 자기들이 독특한 모양을 가지고 있다면서 왕에게 특별히 이름을 지어달라고 간청했지요.

왕은 이들의 간청을 받아들여 네 변의 길이가 모두 같고 네 각이 직각인 사각형들에게 모양이 바른 사각형이라는 뜻으로 ‘정사각형’이라고 이름을 내렸습니다.
또 다섯 변의 길이가 모두 같은 오각형 마을에 가서는 ‘정오각형’이라는 이름을, 여섯 변의 길이가 모두 같고 여섯 각의 크기가 모두 같은 육각형 마을에 들러서는 ‘정육각형’이라는 이름을 만들어주었지요.
이런 소문이 퍼지면서 많은 도형들이 왕으로부터 이름을 받기 위해 몰려들었습니다. 왕은 몰려든 도형들이 너무 많아 이들 모두에게 이름을 붙여주기가 어려웠습니다.
그러던 중 꾀 많은 신하가 왕에게 아이디어를 냈습니다. “변의 길이가 모두 같고 각의 크기가 모두 같은 다각형은 정다각형이라 하고, 정다각형은 변의 수에 따라 정오각형, 정육각형, 정팔각형 등으로 부르도록 하시면 어떨까요?”라고요.
왕은 신하의 아이디어를 받아들이고 그대로 명령하였습니다. 그래서 변의 길이가 모두 같고 각의 크기가 모두 같은 팔각형들은 자기들의 이름을 ‘정팔각형’이라고 지었습니다.
이 때 불평이 많은 어느 도형이 말했습니다. 정삼각형에게는 세 변의 길이가 모두 같고 세 각의 크기가 모두 같아야 하는 두 가지 조건을 내놓지 않았다는 것이었죠. 이에 대해 왕은 설명했습니다. “정삼각형에서는 세 변의 길이만 같으면 저절로 세 각의 크기도 같아지며, 정사각형에서는 ‘네 각의 크기가 모두 같다’라는 표현보다는 ‘네 각이 모두 직각’이라고 하면 우리가 좀더 쉽게 이해할 수 있다.”라고요.
/배종수 교수(서울교대 수학교육과)

직각, 평각, 예각, 둔각

산에는 여러 나무와 풀이 있습니다. 산에는 소나무와 밤나무와 같이 이름이 있는 나무가 있고, 쑥과 질경이 등 이름이 있는 풀이 삽니다. 그렇지만 이름이 없는 나무와 풀도 많이 있습니다.
사람들이 가치가 있다고 생각하는 나무와 풀에게는 이름을 붙여주었지만, 그렇지 않다고 생각하는 나무와 풀에게는 이름을 지어주지 않았기 때문입니다.

비록 지금까지는 사람들이 가치를 발견하지 못하여 이름 없이 지내지만 필요가 있다고 인정되면 언제든지 새롭게 붙여주고 있습니다.
수학에서 공부하는 각의 이름도 나무와 풀의 이름처럼 필요에 따라 지어주고 있습니다.
종이를 접어서 만든 부채를 통해 각을 살펴보지요. 90도가 되는 각은 ‘직각’이라는 이름을 갖고 있습니다. 계속해 부채가 더욱 벌어지다가 완전히 180도가 되는 것에는 평평하다는 뜻으로 ‘평각’이라고 이름을 붙였습니다.
360도에서 직각을 뺀 각인 270도는 별도의 이름을 붙이지 않았습니다. 360도는 결국 0도와 같으므로 여기에도 특별한 이름은 없습니다.
산에 있는 식물을 크게 나무와 풀로 나누듯이 각도 크게 예각과 둔각으로 나눕니다.
0도보다 크고 90도보다 작은 각들에게는 ‘날카로운 각’이라는 뜻으로 ‘예각’이라고 이름을 붙였고, 90도보다 크고 180도보다 작은 각들에게는 ‘투박하다’는 뜻으로 ‘둔각’이라고 했습니다.
그렇지만 180도보다 크고 270도보다 작은 각들에게는 360도에서 둔각을 뺀 각과 같으므로 따로 이름을 붙이지 않았어요. 270도보다 크고 360도보다 작은 각들에게도 360도에서 예각을 뺀 각과 같으므로 특별히 이름 짓지 않았습니다.
이와 같이 수학에서 공부하는 각의 이름도 사람들의 필요에 따라 붙여주고 있습니다.
수학에서 붙여준 직각·예각·둔각은 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형과 같이 더 깊은 수학을 공부하거나 생활에 반드시 사용하고 있음을 알 수 있지요!
/배종수 교수(서울교대 수학교육과)

선분, 변, 모서리

선분, 평면에선 ‘변’으로 불려

선분 마을에 많은 선분들이 살고 있었습니다. ‘선분 ㄱㄴ’도 살고 있었고, ‘선분 ㄴㄷ’ ‘선분 ㄷㄹ’ ‘선분 ㄹㄱ’도 살고 있었습니다. 어느 날 사각형 마을에서 선분 4명을 초청했습니다. 선분들은 기분 좋게 사각형 마을에 도착했지요. 사각형은 선분들에게 ‘평평한 땅이 많이 있으니 평면 위에 집을 지어 노십시오.’라고 말했습니다. ‘선분 ㄱㄴ’과 ‘선분 ㄴㄷ’ ‘선분 ㄷㄹ’ ‘선분 ㄹㄱ’은 그림과 같은 사각형 모양의 집을 지었습니다<그림 1>.

그런데 사각형 마을 사람들은 선분들의 이름을 모두 바꾸어 불렀습니다. ‘선분 ㄱㄴ’은 ‘변 ㄱㄴ’으로, ‘선분 ㄴㄷ’은 ‘변 ㄴㄷ’으로, ‘선분 ㄷㄹ’은 ‘변 ㄷㄹ’로, ‘선분 ㄹㄱ’은 ‘변 ㄹㄱ’으로 불렀습니다. 선분들은 이름이 변으로 바뀌었지만 평평한 땅에 집을 지을 수 있었기 때문에 기뻐했어요. 이것은 영철이를 학교에서는 ‘학생’이라고 부르다가도 부모님이 계시는 집에서는 ‘아들’로 바꿔 부르는 것과 같았던 겁니다. 이처럼 ‘선분’이 평면 도형 안에서는 ‘변’으로 이름이 바뀌어 불리고 있습니다.
몇 년 후에 입체 도형 마을에 살고 있는 직육면체 마을에서 선분 12명을 불렀습니다. 선분들은 또다시 좋은 일이 있을 것이라고 생각하면서 직육면체 마을에 도착했지요. 직육면체는 선분들에게 ‘공중에 커다란 아파트를 마음대로 지어서 사십시오.’라고 말했습니다. 선분들은 1년 동안 아름다운 아파트를 짓고 자기의 이름을 붙여 놓았습니다<그림 2>.
그런데 직육면체 마을에서도 입체 도형 마을에 알맞도록 선분들의 이름을 모두 바꾸어 불렀습니다. ‘선분 ㄱㄴ’은 ‘모서리 ㄱㄴ’으로, ‘선분 ㄴㄷ’은 ‘모서리 ㄴㄷ’으로, ‘선분 ㄷㄹ’은 ‘모서리 ㄷㄹ’로, ‘선분 ㄹㅇ’은 ‘모서리 ㄹㅇ’으로 불렀습니다. 이번에도 선분들은 이름이 모서리로 바뀌었지만 넓은 공간 안에 아파트를 지을 수 있었기 때문에 즐거웠어요. 이것은 어떤 아이가 학교에서는 ‘학생’이었다가 할아버지께서 계시는 집에서는 ‘손자’로 불리는 것과 같았기 때문에 불평하지 않았습니다. 이와 같이 ‘선분’이 입체 도형 안에서는 ‘모서리’로 이름이 바뀌어 불리고 있습니다.
/배종수 교수(서울교대 수학교육과)

선분과 직선

두 점을 곧게 이으면 `선분`
끝이 없는 곧은 선은 `직선`

아주 먼 옛날에 하느님이 점 하나를 만드셨습니다. 그런데 점 하나만이 살고 있었기 때문에 쓸쓸하여 다른 점 하나를 더 만드셨어요.
두 점은 서로 사이좋게 살고 있었습니다. 두 점은 서로 구별하기 위하여 각각의 이름을 지었습니다. 먼저 만들어진 점은 점 ‘ㄱ’이라 불렀고, 나중에 만들어진 점은 점 ‘ㄴ’이라고 했습니다.
두 점은 그들의 집을 서로 오고 갈 때 곧바로 가기도 하였지만 구불구불하게 가기도 했습니다. 그들은 서로의 집을 가장 가깝게 갈 수 있는 길을 생각했어요.

그 길은 두 점을 곧바로 이은 선이었습니다. 그들은 이 길을 선분 ‘ㄱㄴ’이라고 부르기로 했습니다. 이와 같이 약속한 선분은 수학에서 많이 활용되고 있지요.
예를 들면, ‘사각형은 4개의 선분으로 둘러싸인 도형’입니다.
두 점은 자기들의 점을 지나는 곧은 선을 양쪽으로 계속 그려보기로 했습니다. 점 ‘ㄱ’은 왼쪽으로 한없이 그었고, 점 ‘ㄴ’은 오른쪽으로 한없이 그어보았습니다.
점 ‘ㄱ’과 점 ‘ㄴ’을 끝없이 하루 동안 그어보았습니다. 그래도 끝이 보이지 않았습니다. 둘은 한 달 동안 곧은 선을 그렸습니다.
그래도 끝은 보이지 않았습니다. 1년을 그어도, 10년을 그어도, 100년을 그어도 끝은 보이지 않을 것이라고 생각했습니다.
두 점은 ‘곧은 선은 아무리 그어도 모두 그을 수 없다’는 결론을 내렸습니다.
두 점은 그들이 지금까지 그린 곧은 선을 그림으로 나타내기로 하였습니다. 점 ‘ㄱ’은 양쪽으로 끝없이 그리기 때문에 양쪽으로 선을 끝없이 그었습니다.
점 ‘ㄴ’은 ‘좀더 쉽고 간편하게 빨리 그릴 방법은 없을까?’하고 점 ‘ㄱ’에게 물어보았습니다.
점 ‘ㄱ’은 양쪽으로 끝없이 그어야 하는 뜻으로 화살표를 사용하기로 하고 그림과 같이 새로운 아이디어를 내놓았습니다.
호기심이 많은 점 ‘ㄴ’은 점 ‘ㄱ’에게 ‘좀더 쉽고 간편하며 빨리 그릴 방법은 없을까?’하고 점 ‘ㄱ’에게 다시 의견을 냈습니다.
점 ‘ㄱ’은 우리가 혼동하지 않는다면 양쪽으로 끝없이 그어야 하는 뜻으로 나타낸 화살표를 생략하여 나타낼 수 있다고 또다시 새로운 아이디어를 내놓았습니다.
점 ‘ㄴ’은 점 ‘ㄱ’의 새로운 아이디어에 다시 한 번 감탄하면서 점 ‘ㄱ’의 아이디어를 좇아가기로 했습니다.
/배종수 교수(서울교대 수학교육과)

소수

분모가 서로 다른 `분수의 크기` 비교하려면…?

분수 마을에 분수들이 사이 좋게 살고 있었습니다. 그곳에는 1/2, 2/5와 같은 분수도 살았고 3/4, 4/7와 같은 분수도 있었으며 2/3, 5/8와 같은 분수도 살았고 1/10, 1/100도 있었습니다. 그러던 어느 날 분수들은 서로 자기가 가장 크다고 자랑하기 시작했습니다. 누가 가장 큰지 서로 비교하려고 했지만 구별할 수 없었습니다. 그 때 윗마을에 살고 있던 자연수들이 자기들은 ‘십진기수법’으로 나타내고 있기 때문에 크기를 쉽게 비교할 수 있다고 뽑냈습니다. 375와 429는 백의 자리를 비교하면 쉽게 429가 더 큰 수임을 알 수 있고, 528과 573은 백의 자리가 같으므로 십의 자리를 비교하면 573이 더 큰 수임을 쉽게 알 수 있다고 했지요.
분수들은 자연수 앞에서 창피하여 자기가 가장 크다고 더 이상 다툴 수 없었습니다. 분수들은 마을 회의를 열었습니다. 어떻게 하면 쉽게 크기를 비교할 수 있을까? 회의를 거듭하면서 분수들은 자연수처럼 십진기수법으로 나타내는 좋은 아이디어를 찾아냈습니다. 분모가 10, 100, 1000인 분수들을 다음과 같은 소수로 나타내기로 약속했습니다.

1/10=0.1 2/10 =0.2 1/100=0.01 3/100=0.03 24/100=0.24 1/1000=0.001
1/10//////////
그 때 1/2과 2/5가 자기들은 어떻게 소수로 나타낼 수 있는지 질문했어요. 1/2은 분모가 10이 되기 위하여 분자와 분모에 각각 5를 곱하면 5/10이므로 0.5가 되고
1/2=1×5/2×5=5/10=0.5

2/5는 분모가 10이 되기 위해 분자와 분모에 각각 2를 곱하면 4/10가 돼 0.4가 된다고 설명했습니다.
2/5=2×2/5×2=4/10=0.4

옆에 있던 3/4과 5/8도 소수로 나타낼 수 있는 방법이 있는지 물었습니다. 이번에는 1/100이 대답했지요. 3/4은 분모에 어떤 수를 곱한다 하더라도 10은 되지 않지만 분모에 25를 곱하면 분모가 100이 되므로 소수로 나타낼 수 있고
3/4=3×25/4×25=75/100=0.75

5/8는 분모에 어떤 수를 곱한다 하더라도 10이나 100은 되지 않지만 분모에 125를 곱하면 분모가 1000이 되므로 소수로 나타낼 수 있다고 대답했습니다.
5/8=5×125/8×125=625/1000=0.625

끝에 있던 2/3와 4/7도 소수로 나타내고 싶다고 했습니다. 그러나 2/3와 4/7는 분모에 어떤 수를 곱한다 하더라도 10, 100, 1000, … 등으로 나타낼 수 없기 때문에 소수로 나타낼 수 없다고 대답했지요. 이와 같이 소수는 분수를 십진기수법으로 나타내기 위하여 생겨난 것입니다.

모든 분수를 소수로 나타낼 수 없을까?
분수 마을에서는 새로운 고민거리가 생겼습니다. 1/2, 2/5도 소수로 나타낼 수 있었고, 3/4, 5/8를 소수로 나타낼 수 있었으며, 1/10, 1/100도 소수로 나타낼 수 있는데, 2/3와 4/7는 소수로 나타낼 수 없었기 때문이었지요.
분수 마을에서는 2/3와 4/7를 소수로 나타낼 수 있는 방법을 찾아내는 이에게 상을 주기로 했습니다.
분수들은 끼리끼리 모여서 2/3와 4/7를 소수로 나타내기 위해 연구하기 시작했습니다. 그러던 어느 날 1/10이 ‘분자를 분모로 나누면’ 소수로 나타낼 수 있다고 제안했습니다.

1/2=1÷ 2 = 0.5 2/5= 2÷ 5 = 0.4
3/4=3÷4 = 0.75 5/8 = 5÷ 8 = 0.625
1/10= 1÷ 10 = 0.1 1/100=1÷100 = 0.01
2/3=2÷3 = 0.6666666666666… 4/7= 4÷7 = 0.571428571428571428…
많은 분수들이 1/10이 생각해낸 아이디어를 듣고 감탄하면서 1/10을 칭찬했습니다.
그러면서 ‘이들을 나타내기 위해서는 소수점 아래에 수를 끝없이 써야 하는데, 이것을 좀더 쉽고 간편하고 빨리 쓰는 방법은 없을까?’하면서 질문했습니다.
분수 마을에서 꾀가 가장 많은 꾀돌이 1/100이 좋은 아이디어를 냈습니다. 2/3는 소수로 나타내려면 6이 계속되고 있는데 이것을 쉽고 간편하고 빨리 나타내기 위하여 6 위에 점을 찍어 나타내자고 제안하였습니다.
2/3=2÷3 = 0.66666666…
2/3=0.6
4/7를 소수로 나타내려면 0.571428571428571428…로 571428이 계속되고 있으므로 571428 위에 점들을 찍어 나타내자고 제안했어요.
4/7= 0.571428571428571428…
4/7= 0.5 7 1 4 2 8
이 때 옆에서 지켜보고 있던 분수 1/2이 더 좋은 아이디어를 생각해 냈습니다.
위에 찍은 점들을 모두 찍지 말고 맨 앞에 있는 점과 끝에 있는 점만을 남겨 두고 나머지는 없애자고 말한 거죠.
이 이야기를 듣고 있던 분수들이 박수를 치면서 좋은 아이디어라고 칭찬해 주었습니다.
분수 마을에서는 모든 분수들을 소수로 나타내는 방법을 찾아내고 기쁨의 축제를 벌였습니다.
축제에서 분수 대장은 분수들을 칭찬하면서 “수학은 ‘필요에 따라 쉽고 간편하며 빨리 할 수 있는 방법은 없을까?’라고 고민하면서 아이디어를 찾아내는 교과”라고 격려의 말씀을 하셨습니다.

/배종수 교수(서울교대 수학교육과)

진분수와 가분수

분수에도 `진짜`와 `가짜`가 있다?

옛날에 아버지와 어머니, 형과 동생이 살고 있었습니다. 하루는 커다란 수박 한 덩이가 생겼습니다. 형은 아직 집에 돌아오지 않았습니다. 그런데 동생은 수박을 빨리 먹고 싶다면서 어머니에게 졸랐습니다.
어머니께서는 “아직 형이 집에 돌아오지 않았는데 어떻게 할까?”라고 말씀하셨습니다. 이 때 동생은 어머니에게 말했지요. “어머니! 우리 집은 식구가 4명이므로 수박을 넷으로 똑같이 나누어서 아버지, 어머니, 나의 몫으로 셋은 먹고, 형의 몫으로 하나를 남겨 두면 어떨까요?”라고 제안했습니다.
어머니께서는 좋은 생각이라고 말씀하시면서 동생에게 수박을 나누라고 말씀하셨습니다. 동생은 수박을 넷으로 똑같이 나누어서 1/4은 형의 몫으로 남겨 두고 3/4은 먹게 되었습니다.
이와 같이 1/4이나 3/4과 같이 똑같이 나눈 것 중에서 몇 개를 선택하는 아이디어를 분수라고 부르면서 생활에 이용하게 된 것입니다.

그러던 어느 날, 어머니께서 동생에게 수박 한 덩이를 주시면서 분수 5/4만큼 가져오도록 하셨습니다. 동생은 수박 한 통을 넷으로 똑같이 나누어서 다섯 개를 가져올 수 없기 때문에 5/4는 분수가 아니라고 말했습니다. 이 광경을 보시던 아버지께서는 동생에게 “참으로 좋은 생각이다.”라고 칭찬하시면서 설명해 주셨습니다.
“5/4는 넷으로 똑같이 나누어서 다섯 개를 선택하는 것이므로 있을 수 없단다. 그래서 5/4와 같이 분자가 분모보다 큰 분수는 분수가 아니기 때문에 ‘가짜분수’라고 이름을 붙였단다. 그런데 가짜분수를 더 간단히 부르려고 줄여서 가분수라고 부른단다.”라고요.
이런 이야기를 듣고 있던 형이 아버지에게 질문했어요. “아버지! 3/4과 같이 넷으로 똑같이 나누어서 세 개를 선택할 수 있으므로 진짜분수라고 이름을 붙이는데 이를 더 간단히 부르려고 줄여서 진분수라고 부르면 되겠네요.”
아버지께서는 형의 말에 감탄하시면서 “너의 생각이 맞다!”라고 칭찬했습니다. 1/4, 2/4, 3/4과 같은 분수는 실제로 있을 수 있는 분수이기 때문에 ‘진짜분수’라고 부르며 간단히 진분수라고 부른다는 것이었습니다.
아버지는 가분수에 대하여 자세히 말씀했습니다. 가분수 5/4는 다음 그림과 같이 1/4이 5개 있을 때 이것을 5/4라 쓰기로 하고 ‘가분수 4분의 5’라고 읽도록 약속했다고 설명해 주셨습니다.

/ 배종수 교수(서울교대 수학교육과)

분수

꿩 3마리를 4명이 똑같이 나눠갖는 방법은?

분수는 언제부터 사용했을까요? 아마 인류의 시작과 함께 등장했을 것입니다. 4명이 사냥을 해 꿩 3마리를 잡았다면 어떻게 나누어 가져야 공평할까요? 세 사람은 그림과 같이 3/4씩 한 덩어리를 갖게 되고, 한 사람은 1/4씩 세 덩어리를 차지하면 됩니다. 그러나 양이라는 측면에서는 3/4씩이므로 공평할지 모르지만 나누는 방법에서는 그렇지 못합니다. 이런 식으로 하면 어떤 사람은 늘 날개만 먹게 될 테니까요.

어떻게 하면 공평하게 할 수 있을까요? 이를 연구한 끝에 옛 사람들은 분수를 분모가 서로 다른 분수의 합으로 나타내는 아이디어를 발견했습니다. 예를 들어, 3/4=1/2+1/4로 나타내지므로 두 마리는 1/2씩으로 나누고 한 마리는 1/4씩으로 나누면 네 사람이 3/4씩 나누어 가지는 대신에 1/2+1/4씩 나누게 됩니다. 갖게 되는 고기 양과 부위가 모두 골고루 나뉘게 되는 것입니다.
3명이 사냥을 하여 토끼 2마리를 잡았다면 그림과 같이 두 사람은 2/3씩 한 덩어리를 가지게 되고 한 사람은 1/3씩 두 덩이를 가져가면 되지만 역시 불만이 있을 수 있습니다. 3명이 소유할 2/3는 1/2+1/6이므로 세 사람이 1/2+1/6씩 차지하면 모두 불평이 없게 되지요.
조금 복잡하지만 위에서 말한 것들은 나누어 갖는다는 뜻에서 ‘분수란 무엇인가’를 잘 보여주는 내용입니다. 어린이 여러분, 그림과 글을 잘 살펴보면 어렵게만 느껴졌던 분수가 조금씩 재미있어질 거예요.
소년조선일보

아라비아 숫자는 `인도 숫자`

물건을 세는 단위는 시간이 지남에 따라 변해왔습니다. 처음에는 사람의 손가락을 생각했지요. 한 손에는 손가락이 5개 있기 때문에 손가락 5개를 단위로 하여 물건을 세기 시작했습니다.
하나, 둘, 셋, 넷, 한손, 한손하나, 한손둘, 한손셋, 한손넷, 두손, 두손하나, 두손둘, 이렇게 셌습니다. 그러다가 양쪽 손에는 손가락이 10개 있기 때문에 양쪽 손가락 10개를 단위로 하여 물건을 세기 시작했습니다. 그래서 물건을 셀 때 하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, 여섯, 일곱, 여덟, 아홉, 열, 열하나, 열둘, 열셋, 열넷하며 셌습니다.
또 다시 사람에는 손가락 10개와 발가락 10개가 있기 때문에 손가락 10개와 발가락 10개를 합하여 20개를 단위로 하여 세는 방법도 생각해 냈지요. 하나, 둘, 셋, 넷, …, 열아홉, 한몸, 한몸하나, 한몸둘, 한몸셋, …, 한몸아홉, 두몸, 두몸하나, 두몸둘, …와 같이 셌습니다.

물건을 세는 단위에는 이 외에도 여러 가지가 있습니다. 연필 한 다스는 12자루, 일년은 12달과 같이 12를 단위로 하여 세기도 했고, 1분은 60초, 1시간은 60분과 같이 60을 단위로 하여 물건을 세기도 했습니다.
물건을 셀 때에는 이와 같은 단위들 중에서 어느 단위를 이용해 세더라도 큰 어려움은 없었습니다. 그러나 이런 단위들을 좀더 다른 곳에 활용하는 데에는 많은 차이가 났습니다. 예를 들어 분수를 나타낼 때에는 12 단위가 가장 좋습니다. 10 단위에서는 10의 1/2은 5로서 있지만 10의 1/3, 10의 1/4은 없습니다. 그러나 12 단위에서는 12의 1/2, 1/3, 1/4, 1/6이 각각 6, 4, 3, 2로서 있습니다. 그렇기 때문에 생활에서는 10개를 단위로 하는 경우보다 12개를 단위로 하는 경우를 많이 볼 수 있습니다.
그렇다면 오늘날에는 왜 12개를 단위로 하는 것보다 10개를 단위로 하는 아라비아 숫자 체계를 많이 사용할까요? 그것은 10개를 단위로 하는 아라비아 숫자 체계가 다른 어떤 단위들보다 그 당시에 덧셈이나 뺄셈, 곱셈, 나눗셈과 같은 계산을 하는데 휠씬 편리했기 때문입니다.
이 예에서 알 수 있는 것처럼 될 수 있으면 좀더 쉽고, 간편하고, 편리하고, 빨리 할 수 없을까를 생각하는 것은 매우 중요합니다.
이와 같이 훌륭한 아라비아 숫자 체계는 아라비아인들이 발명한 것이 아니고 인도사람들이 발명한 것입니다. 아라비아 숫자는 원래 인도 사람들이 발명하였고, 그것이 아라비아 상인들에게 전해진 것입니다. 그런데 아라비아 상인들은 이것을 유럽 사람들에게 전해 주게 되었는데 유럽 사람들은 이것이 마치 아라비아 사람들이 발명하여 전해 준 것으로 생각하고 아라비아 숫자라고 이름을 붙이게 된 것입니다.
그렇다면 이제라도 인도 숫자라고 불려져야 하는데 왜 지금까지도 아라비아 숫자라고 불려지고 있을까? 아마 인도라는 나라가 아직도 약한 나라이기 때문일 것이라고 생각해 봅니다.
소년조선일보

0의발견=수학의 시작

사람들이 오늘과 같이 정보 문명 시대로 발전하는 데에는 중요한 발견과 발명이 있었습니다. 불을 발견함으로써 사람들은 추위를 물리치고 음식을 익혀 먹을 수 있게 됐으며 맹수들과 대결해 이길 수 있었어요. 기계의 발명은 많은 제품을 생산하는 공업 사회를 가져왔지요. 18세기 영국에서 일어난 산업혁명은 기계의 발명에 의한 것이었고, 컴퓨터의 발명은 물건보다도 정보를 더 중요하게 생각하는 사회를 만들었습니다.
빠질 수 없는 것이 0의 발견입니다. 0의 발견은 수를 나타낼 때 각 숫자들의 위치에 따라 값이 결정되는 방법을 등장시켰어요. 예를 들어 3475에서 3은 천의 자리로서 3000을 나타내고, 4는 백의 자리로서 400을 나타내고, 7은 십의 자리로서 70을 나타내고, 5는 일의 자리로서 5를 나타낸 것입니다.
3475 = 3×1000+4×100+7×10+5

0의 발견은 아무리 큰 수라 하더라도 쉽고 간편하고 빨리 쓸 수 있게 했어요.
0이 발견되지 않았던 시대에는 수를 어떻게 나타냈을까요? 예를 들어, 기원전 3400년쯤 이집트에서 수를 나타내는 방법을 생각해보지요. 이집트에서 수를 나타내는 방법은 오늘날과 같이 10개씩을 묶음으로 하는 기호를 사용하고 있었지만 0의 발견은 없었습니다. 그들은 일, 십, 백, 천 등을 나타내는 기호를 그림으로 나타냈어요.
이집트에서는 764를 나타내기 위해 백을 나타내는 기호를 일곱 개, 십을 나타내는 기호를 여섯 개, 일을 나타내는 기호를 네 개 써야만 했습니다. 0을 쓰지 못했기 때문에 큰 수를 표시하는 방법은 복잡하고 불편했으며 느렸어요.
0은 실제로 존재하는 수일까요? 그렇지 않아요. 예를 들어, ‘운동장에 어린이 3명이 놀고 있다’라는 말은 사용하지만 ‘운동장에 어린이가 0명 있다’라는 말은 하지 않습니다. 그렇기 때문에 0을 수로 인정할 수 없어요. 그러나 ‘오늘은 28℃로 매우 덥다’ ‘오늘은 영도(0℃)로 날씨가 쌀쌀하다’와 같이 0을 수로 인정할 수도 있을 것입니다. 0을 수로서 최초로 인정한 사람은 인도의 브라마굽타(Brahmagupta)라고 합니다.
이와 같이 0의 발견은 큰 수를 쉽고 간편하고 빨리 나타낼 수 있기 때문에 수학의 발전이 시작됐고, 결과적으로 인류 문명 발달의 기초가 됐어요. 지금 한창 벌이고 있는 화성 탐사도 복잡한 수학적 계산에 의해 가능합니다. 때문에 0의 발견은 사람들이 문명을 발전시키는 데 무척이나 중요한 역할을 한 것이라고 말할 수 있지요.
소년조선일보

자연수가 없다면 어떤 일이…?

자연수를 만들어주시고 발전시켜주신 분에게!
우리가 살아가는 데에는 자전거와 같이 있다면 좋을 수도 있고 없더라도 큰 문제가 되지 않는 것들이 많이 있습니다. 그러나 공기와 햇볕처럼 없어서는 안되는 것들이 있습니다. 이렇게 중요한 공기와 햇볕을 우리는 돈을 주고 사는 것이 아니라 공짜로 얻고 있습니다. 이는 참으로 고마운 일입니다.

우리가 수학을 공부하면서 공기와 햇볕처럼 꼭 있어야 하는 것은 무엇일까요? 그것은 ‘자연수’입니다. 자연수는 1, 2, 3,…, 24, 25,… 등과 같은 것을 말하지요. 이와 같은 자연수는 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9를 기본수로 하여 만들어지는 수입니다. 예를 들어 24는 2와 4가 결합하여 만들어지는 수이고, 40985는 4와 0, 9, 8, 5가 더해져 만들어지는 수입니다.

우리는 공기가 없다면 1시간도 살 수 없으면서 그것의 고마움을 느끼지 못합니다. 마찬가지로 수학에서 자연수가 없다면 아무 것도 할 수 없음에도 불구하고 우리는 자연수의 고마움을 거의 느끼지 못하고 살고 있답니다.

만일 하나, 둘, 셋과 같은 자연수가 없었다면 어떤 일이 일어날까요? 오늘 하루 일어났던 일과를 한 번 이야기해 봅시다. “아침 일찍 일어나서 어젯밤에 잠을 잘 잤다고 기도하고, 오늘 할 일을 생각하고 세수하고, 공부를 하고, 책가방을 싸고, 밥 먹고, 걸어서 학교에 와서 수학을 공부하고 있습니다.” 우리는 하루의 일과를 속 시원하게 표현하지 못하고 오직 일의 순서만을 나열하게 된 셈입니다. 이처럼 자연수를 사용하지 않는다면 우리는 제대로 무엇을 나타낼 수 없는 것입니다.
그렇다면 누가 언제 자연수를 만들었을까요? 아마 원시 시대에 원시인들이 만들었을 것이라고 예측을 할 수 있지요. 그 당시에는 오늘날 우리들이 사용하는 1, 2, 3과 같은 자연수가 아니고 다른 수였을 겁니다. 만일 닭이 24마리가 있었다면 닭 한 마리에 ／와 같은 표시를 하나씩 하여 ／를 24개나 썼을 것입니다.

그런데 닭의 수를 ////////////////////////라고 썼다면 닭이 모두 몇 마리인지 쉽게 알아보기 어려웠겠지요. 그래서 어떻게 하면 쉽게 알아볼 수 있을까를 생각하여 5개씩 묶어서 띄어 썼을 것이라고 생각할 수 있습니다.

///// ///// ///// ///// ////

아마 이렇게 썼다면 처음보다는 훨씬 이해하기 쉬웠을 겁니다. 이제 좀더 이해하기 쉬운 방법은 없을까 고민하면서 10개씩 묶어서 띄어 쓰는 방법을 생각했습니다.

////////// ////////// ////

이와 같이 자연수는 좀더 쉽고 간편하며, 편리하며, 빨리 쓰게 하는 방법은 없을까를 생각하면서 발전되었던 것입니다.
소년조선일보

용인외고 하나고 당락좌우할 면접문제는... 2013 기출 대공개

2014 전국단위 자사고 입시가 무르익고 있다. 민사고 현대청운고 상산고가 이미 원서를 마감한 가운데 북일고가 지난 25일 국제과 원서마감 이후 오는 30일 일반과 원서마감을 앞두고 있으며, 31일엔 포항제철고와 김천고가, 내달 1일엔 광앙제철고, 6일엔 하나고, 8일엔 용인외고와 인천하늘고가 원서를 마감한다.

진학을 희망하는 수험생들이 자기개발계획서 작성과 면접 준비에 한창인 상황에서 관심을 가장 크게 두는 건 면접대비. 전국단위 자사고는 물론 특목고와 일부 자율학교까지 자기주도학습전형이 일괄 시행되는 가운데, 자기개발계획서는 문항이 공개되어 있고 문항 자체가 거의 동일한 반면 면접은 학교 자체적으로 공개하는 문항을 찾기 어렵기 때문이다. 커트라인에 걸린 경우 면접으로 당락을 뒤집는 건 당연하고, 커트라인에서 안정적이라 할지라도 학교 입장에서 치명적 결함이 발견될 경우 수험생을 탈락시키기 때문에 끝까지 긴장의 끈을 놓아선 안 된다.

전국단위 자사고와 특목고, 전국단위 자율학교의 입시분석 취재를 진행하며 얻은 결론은 단순하다. 면접은 학교인재상에 따른 공통문항과 지원자별 자기개발계획서를 토대로 개발한 개별문항으로 구분된다. 결국 학교의 교육과정과 목표인재상을 염두에 두고 해당학교 진학 이후의 삶을 그려볼 수 있어야 하며, 자기개발계획서 작성 시 실제 자신의 경험을 진솔하고 구체적으로 썼는가가 관건이 되는 셈이다. 특히 자기개발계획서에서 요구된 지원동기, 진학 후 학업계획, 졸업 후 학업계획 및 진로계획 등 삶을 돌이켜보고 계획하는 과정에서 구체적인 사례와 특히 ‘자신의 것’임이 입증되어야 하겠다.

면접 전엔 자기개발계획서를 갖고 스스로 면접질문을 뽑아보고, 면접도 시험인 만큼 얼마 간의 훈련도 필요하다. 단, ‘달달 외우는’ 훈련이 아니라 떨지 않고 또렷한 목소리로 당당하게 자신의 생각을 얘기할 수 있으며, 자기개발계획서를 직접 썼더라도 현장질문에 당황하지 않도록 부모나 교사와 시뮬레이션을 해보는 정도면 되겠다. 면접현장에서 단정한 옷차림과 매너는 기본이다.

용인외고와 하나고가 2014학년 입시를 앞두고 2013학년 면접 기출문항을 제공했다. 두 학교 모두 전교생 기숙사생활이 의무이므로 공동체생활을 하는 데 무리가 없는지에 관심을 뒀고, 지원자의 자기개발계획서에 언급된 내용을 확인, 구체화시키는 질문이 주를 이뤘다. 독서영역의 경우 해당 도서와 지원자의 장래희망이 연결된 부분, 이에 관한 진전 질문이 반드시 등장했다.

용인외고 ‘공통문항 4개 개별문항 2개를 15분 동안’

용인외고 면접은 개별 대기실에서 10분 동안 공통문항을 읽고 답변을 준비한 다음, 10~15분 동안 지원자 1명이 면접관 3명 앞에서 면접을 치른다. 질문유형은 공통문항과 개별문항으로 구성된다. 공통문항은 총 4개, 개별문항은 지원자별 2개 가량이다. 영어구사나 수학문제풀이를 요구하진 않는다.


▲ 내달 8일 2014 원서를 마감하는 용인외고(사진)의 면접기출문항은 다소 난이도가 높았다. 총 6개 질문에 15분 동안 응해야 했고, 질문의 수준도 상당했다. 관련해 최종우 용인외고 입학홍보부장은 “말 잘하는 능력으로 면접점수를 잘 받아선 곤란하다”며 “사고력과 의사소통능력을 측정하는 데 필요한 수준”이라고 밝혔다. /사진=유승현 기자 isphoto@veritasnews.kr

2013학년 용인외고 국제과정 공통문항은 ‘한국을 10번째 방문한 외국인 친구에게 가장 소개하고 싶은 장소 한 곳을 선정하고, 그 곳을 선정한 배경과 소개할 내용’ ‘대륙이 이동하여 아메리카 대륙과 아시아 대륙이 하나로 합쳐졌다고 할 때, 우리나라와 관련해 어떤 변화가 있을지’ ‘(제시어: 국제, 벽, 단추, 가치) 제시어를 사용하되, ‘국제’를 주제로 하여 1분 동안 말하시오’ ‘한국사회의 ‘사회적 약자’를 아는 대로 말해보고, 이들 중 가장 도움이 필요한 사람은 누구이며 그들에게 우리사회가 어떤 도움을 주어야 하는지’가 출제됐다.

인문과정 공통문항은 ‘우리 고유문화를 가수 싸이의 ‘강남 스타일’과 같이 세계화할 수 있는 방안에 대해 예를 들어’ ‘(제시어: 디지털 매체, 문화, 미래, 제시사진: 남녀가 한 테이블에서 커피를 마시며 각자 휴대전화에 몰두) 사진을 보고 제시어를 사용해 자신의 생각’ ‘용인외고 학생회 동아리 연합부장으로서 동아리실을 배정하려 할 때 몇 개의 동아리실을 어떻게 배정하는 것이 현실적 운영에 적합할지(본교 동아리수 200개)’ ‘기상이변, 지구온난화와 같은 전 지구적 환경문제를 인문/사회학적 차원에서 어떻게 해결할 수 있을지’였다.

자연과정 공통문항은 ‘자연과정에서 인문사회과목을 배워야 할 필요성에 대해 말하고, 입학 후 본인이 배우고 싶은 인문사회과목 두 과목을 선택하고 이유’ ‘현대중국을 이끌어온 리더들은 대개 이공계 출신이라는 점이 특징인데, 이공계 출신 리더가 가진 장점이 있다면 무엇인지’ ‘본인이 중학교 수학교사라 가정하고, 중1 학생들에게 수학교과서의 첫 단원이 왜 ‘집합’인지 설명’ ‘초등학교 때 시간에 대한 계산을 배우며 24시간 60분 60초 방식의 복잡함 때문에 어려움을 겪은 기억이 있을 것이다. 한때 하루를 10시간, 1시간을 100분, 1분을 100초로 하려는 시도가 있었다. 이와 같은 방식으로 바꿨을 때의 장단점’이었다.

개별문항은 자개서-생기부-추천서에 기반해 만들어지기 때문에 학생마다 다르다. 과정별로 학교측이 공개한 2013학년 개별문항은 국제에선 ‘진로희망이 생물학자인데, 특별히 국제과정을 지원하게 된 동기와, 생물학을 해외대학에서 공부해야 할 필요성’, 이어 ‘생물학자는 자신의 가설을 증명하기까지 무관심과 비난을 받을 수도 있는데, 어떻게 할 것인지 설명’이, 인문에선 ‘사회적 약자의 권리를 지켜주는 인권변호사가 갖춰야 할 덕목’에 이어 ‘변호사를 꿈꾸는 지원자가 경영학과로 진로를 결정한 이유는 무엇이며, 대학진학을 준비해야 하는 고등학교에서는 경영학과 지원을 위해 어떻게 준비할 것인지’가, 자연에선 ‘미국에서 본 엠파이어스테이트 빌딩과 예일대의 건물을 친환경적인 관점에서 평가’ ‘환경관련동아리봉사단에 활동했다고 했는데, 학교 내에서 환경을 지킬 수 있는 방법 두 가지’가 나왔다. 면접을 진로희망 활동내용 등 서류와 관련된 확증단계로 삼고 있다는 사실을 파악할 수 있는 질문들이다.

공통문항에 개별문항까지 고민이 필요하고 많은 질문에 응하는 데 대한 부담과 관련해 최종우 용인외고 입학홍보부장은 “말 잘하는 능력으로 면접점수를 잘 받아선 곤란하다”며 “사고력과 의사소통능력을 측정하는 데 필요한 수준”이라고 밝혔다. 다만 말을 너무 못해도 문제다. 면접이기 때문이다. 최 부장은 “아무리 좋은 콘텐츠가 있어도 전달하는 능력이 부족하면 좋은 점수는 힘들다”며 “전달력이 조금 안 되어서 매끄럽게 못하더라도 질문을 잘 파악해 전달하고, 갖고 있는 콘텐츠가 좋으면 나름 점수를 잘 받을 수 있다”고 조언했다.

한편 용인외고는 2011학년 전국단위 자사고로 전환하며 교육과정을 크게 세 분야로 나눴다. 용인외고의 교육특색으로 알려진 국제과정(이하 국제)이 그대로 남았고, 인문사회과정(이하 인문)과 자연과학과정(이하 자연)으로 구분된다. 2014학년엔 정원내 국제 70명, 인문사회 140명, 자연과학 140명의 인원을 선발한다. 설립배경상 전국과 지역(용인시)으로 선발단위가 구분된다. 정원의 70%인 245명을 전국단위로, 30%인 105명을 지역에서 선발한다.

‘가고 싶은 고교 선호도 1위’의 학교답게 경쟁률은 높다. 지난해의 경우 350명 모집에 1106명이 지원, 경쟁률 3.16대 1의 기록은 전국단위 자사고 1위에 올랐다. 수도권, 특히 서울 강남권에서 가까운 지리적 위치와 외고시절부터 쌓아온 실적과 명성이 복합적으로 작용한 결과라 분석된다.

모집단위별 과정별 모두 1단계에서 내신50점과 서류25점을 합산해 정원의 2배수를 2단계로 통과시키고, 2단계에선 1단계점수와 면접25점을 합산해 최종합격자를 선발한다.

내신은 ‘상위 15% 이내’라면 도전해 볼만하다. 학교측에 제공한 자료에 의하면 2013학년 일반전형 입학생의 60%는 내신 상위 5% 이내이지만, 40%의 학생은 5~15%까지 분포한다. 수학과목은 내신에서 결정적이라는 사실도 염두에 두자. 2.25배의 가중치를 반영하기 때문이다. 지정 5개과목은 물론 선택 2과목에도 수학이 포함되어 있고, 여기에 한 번 더 수학을 포함시키는 방식을 취한다.

2014 용인외고 원서접수기간은 11월4일부터 8일까지, 2단계 응시대상자 발표일은 20일이다. 면접은 22일부터 24일까지 치르며 최종합격자는 11월27일에 발표한다.

하나고 ‘자기개발계획서 확장 질문에 충실’

지난해까지 전문성/인성으로 나뉘던 하나고 면접은 올해 구분하지 않는다. ‘전문성’이라는 어휘가 주는 뉘앙스가 마치 교과이상을 보는 듯하기 때문이라는 게 학교측이 밝히는 배경이다. 하나고 면접은 자기개발계획서 항목 5개를 기준으로 진행하며 시간은 15분 내외로 학교측은 예상하고 있다.


▲ 내달 6일 2014 원서를 마감하는 하나고(사진)의 면접기출문항은 자기개발계획서에 기반한 확장질문이 대부분으로, 진정성에 초점이 맞춰져 있었다. 김성해 하나고 기획홍보실장(국어교사)은 “면접 15분은 생각보다 길다. 자신이 실제 쓰지 않았다면 엉뚱한 대답을 하기 십상이다. 이런 경우 드물지만 내신이 아무리 뛰어나도 불합격한다”고 밝혔다. /사진=최병준 기자 ept160@veritasnews.kr

하나고는 총 6개의 면접문항을 제공했다. 모두 자기개발계획서에 기반한 개별질문이었다. 하나고 교육프로그램에 대해 언급한 지원자에 대해선 구체적인 계획을, 혼자 공부한 경험에 대한 팩트 확인을, 독서영역을 통해 어떤 내적 변화가 일어났는지 구체적 사례를, 기숙사생활에서 일어날 갈등상황에 대한 해결안을 물었다.

# 본교 프로그램 중에서 지원자가 가장 해 보고 싶다고 한 '과제연구'에 대해 묻겠습니다. 본인의 역량을 감안할 때, 어떤 주제로, 얼만큼의 질 좋은 연구를 할 수 있다고 생각하나요?

# 자기주도학습 경험으로 학원을 다니는 대신 영화를 보면서 혼자 영어공부를 한 내용을 적었습니다. 자기계발계획서에 적힌 애니메이션 영화를 몇 번 정도 반복해서 보았나요? 다른 학습법에 비해 이 방법이 효과적이라고 생각하나요? 그 근거는 무엇인가요?

# 3년 동안 한 활동 중에서 가장 의미 있다고 생각하는 활동을 소개하고, 그 활동에 관심을 가지게 된 계기를 말해 보세요.

# 본인이 제출한 독서 목록 가운데 가장 최근에 읽은 책의 내용을 소개하고, 책을 읽게 된 동기와 책을 읽고 난 후에 본인에게 일어난 변화는 무엇인지 이야기해 보세요.

# 기숙사 생활 중 본인을 제외한 룸메이트들끼리 취침 시간, 아침 샤워순서 등을 놓고 자주 다툰다면 어떤 방식으로 갈등을 중재하겠습니까?

# 옆 침대를 쓰는 룸메이트 친구가 내 물건을 마음대로 쓰는 것 같은 흔적을 여러 번 발견했습니다. 어떻게 대처하겠습니까?

김성해 하나고 기획홍보실장(국어교사)은 “면접 15분은 생각보다 길다. 자신이 실제 쓰지 않았다면 엉뚱한 대답을 하기 십상이다. 이런 경우 드물지만 내신이 아무리 뛰어나도 불합격한다”고 밝혔다. 또 “질문을 못 알아듣고 동문서답을 하는 경우, 설명해보라 했을 때 설명을 못하고 단답하는 경우, 추가 질문으로 기회를 더 주지만 계속 단답형으로 반응하거나 횡설수설하는 경우는 좋은 점수를 주기 어렵다”고 조언했다. “달달 외워온 학생들도 마찬가지다. 준비된 응답만 하는 경우인데, 물어보면 ‘떨릴까 봐 연습했다’ 하지만 진정성 측면에서 의심이 생길 수밖에 없다. 면접도 시험이니 어느 정도 준비할 필요가 있지만 예상질문에는 빠른 속도로 냉큼 대답해놓고, 예상치 못한 질문에는 머뭇거리는 경우 역시 바람직하지 않다. 공동체생활에 결격사유가 있다고 판단되면 내신과 서류점수가 아무리 좋아도 불합격한다.”

한편 하나고는 2014학년에도 정원내 200명(8개학급, 학급당 25명)을 모집한다. 서울모집 일반전형으로 120명, 서울 사회통합전형으로 40명, 전국모집 하나고임직원전형으로 40명이다. 하나금융그룹이 모기업인데도 여타 대기업 자사고와 달리 임직원자녀 모집인원이 특히 적다. 특히 포스코의 광양제철고가 정원의 70%인 296명을, 포항제철고가 60%인 273명을 임직원자녀에 한해 선발하는 상황과 대조적이다.

경쟁률은 개교 첫해인 2010학년 7.38대 1로 파란을 일으킨 후 매년 주춤세다. 2011학년 3.53대 1, 2012학년 3.27대 1에 이어 2013학년엔 2.56대 1로 하향추세. 첫해 큰 관심이 경쟁률에 반영되었다가, 이후 하나고 위상이 알려지며 소신지원한 결과로 분석된다.

전형은 전국단위 자사고로서 자기주도학습전형을 통한다. 1단계에서 교과성적(50점) 교과외성적(10점) 서류평가(20점)를 통해 2단계 면접대상자가 정해지고, 2단계에서 면접평가(20점)와 체력검사(pass/fail)를 통해 최종합격자를 결정한다. 대표서류인 자기개발계획서(이하 자개서)의 내용이 학교생활기록부(이하 생기부)의 교과/교과외, 면접에까지 유기적으로 관계를 맺고 있다.

김 실장은 “합격자 대부분 학교산출 기준 내신 상위 4% 이내라 5% 이내로 관리할 필요는 있지만, 최상위권이 아닌 바에야 지원자간 편차가 적어 서류와 면접에서 변별력이 생긴다”고 말했다. “10% 정도의 학생도 현재 학교에 다니고 있을 정도”라며 “합격자 200명 가운데 25~30명 가량은 면접에서 뒤집은 학생들”이라고도 덧붙였다.

하나고 원서접수 및 서류제출 기간은 11월4일부터 6일까지, 면접대상자 발표는 18일, 면접 및 체력검사는 22일부터 23일까지다. 합격자는 11월29일에 발표한다.
베리타스알파

혼낼 때의 10가지 원칙, 체벌? "엄마 아빠 꼭 보여주세요

혼낼 때의 10가지 원칙

‘혼낼 때의 10가지 원칙’이 네티즌들의 관심을 끌고 있다.

첫 번째 원칙은 야단치기 이전에 조용히 타이르는 것이다. 아이가 실수했을 때 야단을 치면 ‘왜 혼이 나야 하는지’ 반성하기보다는 오히려 반발하는 마음이 앞서게 된다.

두 번째 원칙은 잘못을 지적한 뒤 미래의 행동에 대해 가르치는 것이다. 설명만으로는 나쁜 버릇을 바로잡을 수 없다.

세 번째 원칙은 일관성을 가지고 꾸짖는 것이다. 똑같은 행동을 했는데 어제는 심하게 혼을 내고 오늘은 못 본척 내버려둔다면 아이는 혼란을 겪게 되고, 이에 불만과 반항심을 갖게 될 수 있다.

이밖에 부적절한 행동의 결과를 경고한 후 계획 하에 야단을 치는 것, 그 자리에서 즉시 혼내는 것, 남이 보는 앞에서 꾸짖지 않는 것 등이 있다.

꾸짖을 때는 한 가지 잘못만 지적해야 하며, 왜 그랬는지 이유를 들어보는 것도 중요하다. 아이와 함께 벌의 내용과 기준을 정하고, 제 3자를 끌어들이지 않는 것도 효과적이다.

한편 혼낼 때의 10가지 원칙을 접한 네티즌들은 “혼낼 때의 10가지 원칙, 유용한 정보네요”, “혼낼 때의 10가지 원칙, 앞으로는 체벌 원칙을 정해야겠어요”, “혼낼 때의 10가지 원칙, 꼭 지켜야겠다” 등의 반응을 보였다.
조선일보

2015학년도부터 지방대학 로스쿨·의대 지역학생 선발 의무화

지방대학 특성화 사업에 내년부터 5년간 총 1조원이 지원된다. 현재 고등학교 2학년이 대학에 진학하는 2015학년도부터는 의대와 로스쿨을 포함한 지방대 정원 일부를 해당 지역 고교 졸업자로 선발하는 '지역인재 전형'이 시행된다.

교육부는 권역별 공청회와 전문가 협의회, 관계부처 의견 조회 등을 거쳐 이 같은 내용을 골자로 한 '지방대학 육성방안'을 확정해 3일 발표했다. 교육부는 내년 지방대학에 올해보다 800억원 늘어난 4500억원을 지원한다. 특히 지방대학 특성화 사업에 내년부터 1931억원을 투자하는 것을 시작으로 2018년까지 약 1조원을 지원한다. 지원 분야는 대학 자율 특성화와 국가 전략 특성화로 나뉜다.

지방대학 특성화 사업은 5년 단위로 계획되며 기관이 아닌 사업단 단위로 지원된다. 특성화 관련 지표가 평가에 중요한 요소로 반영되며, 대학 자체 구조개혁 방안이 포함된 중장기 발전계획을 함께 평가하는 방안이 검토되고 있다. 두뇌한국(BK)21 플러스 사업에서 지방대학 지원 비율은 올해 24%에서 내년 35%로 확대했고 학술연구 지원사업도 지난해 44%에서 2017년까지 50%로 늘린다.

또한 2015학년도부터 수도권을 제외한 지방대학이 해당 지역 소재 고등학교 졸업자 중 일정 비율을 선발하는 지역 인재 전형이 시행된다. 교육부는 이를 위해 '지방대학 육성 특별법' 제정을 추진한다.

그동안 대학들이 자율적으로 지역 내 우수 학생을 선발해 왔으나 한국대학교육협의회는 지원 자격을 특정 지역으로 한정하는 것은 문제 소지가 있다며 2014학년도 입시에서 이를 금지했다. 교육부는 법적 근거를 마련해 위헌 소지를 없앤다는 계획이다.

매일경제

비밀번호 규칙 찾기

규칙 찾으려면 대응·비교해야

표·특수기호·연산 활용 바람직

어느 날 지호는 뉴스에서 SNS(소셜네트워크서비스)와 인터넷 뱅킹 사용자의 개인정보 유출의 피해가 심각하다는 소식을 접하고, 자신이 이용하는 SNS와 인터넷 뱅킹 등의 비밀번호를 모두 바꾸기로 했다. 그러나 새로운 비밀번호를 다시 외우기도 힘들고, 다른 곳에 적어 놓자니 불안했다. 지호는 고민 끝에 기존의 비밀번호를 자기만 아는 규칙을 통해 바꾸기로 했다.

표에서 왼쪽은 지호가 현재 사용하는 비밀번호이고, 오른쪽은 모두 동일한 규칙이 적용된 새 비밀번호이다. 어떤 규칙이 적용됐으며, 새 비밀번호는 무엇일까?

규칙을 찾으려면 각각의 결과를 다양한 방법으로 하나하나 대응하여 비교해야 한다. 표를 보고 규칙을 찾을 때는 원래의 수들 사이와 바뀐 결과들 사이, 또는 원래의 수와 바뀐 결과 사이의 일정한 규칙을 찾으면 된다. 특수 기호의 연산 규칙을 찾을 때는 두 수의 합·차·곱·몫 등을 구한 다음에 구한 값에 일정한 수를 더하거나 빼거나 곱하거나 나눠 본다.

또 두 수 중에서 한 수의 몇 배에 다른 수를 더하거나 빼서 확인하는 방법도 있다. 예컨대 8○2=5, 7○5=1, 6○3=2, 9○1=7이라는 결과가 있다면, 기호○는 주어진 두 수의 차를 구한 다음 공통적으로 1을 빼는 규칙인 것이다.

본문의 지호가 만든 비밀번호는 입력된 수와 출력된 수를 보고 수 상자의 규칙을 찾는 문제다.

각 자릿수에서 홀수와 짝수, 순서 등을 구분해 새로 바뀐 번호와 대응해 비교해 보자.

문제의 수 상자에서 수의 각 자리 숫자 1, 3, 5, 7은 3, 5, 7, 9로 바뀌었고 2, 4, 6, 8은 1, 2, 3, 4로 바뀌었다. 즉 각 자릿수가 홀수일 때에는 해당 숫자에 2를 더하고, 각 자릿수가 짝수일 때에는 해당 숫자를 2로 나눠 나온 수를 붙여 썼다.

또 알파벳 a, b, c는 순서상 하나씩 뒤에 나오는 알파벳 b, c, d로 바뀌었다. 따라서 기존 비밀번호 3287d에서 3은 3+2=5, 2는 2÷2=1, 8은 8÷2=4, 7은 7+2=9, d는 e로 바뀌어 새 비밀번호는 5149e가 된다.
세계일보

아이를 빛나게 하는 금쪽 같은말

“좋은 부모는 아이를 격려하며 키운다”

세상 어느 곳이나 부모가 아이를 사랑하는 마음은 한결같지만 우리 사회에서는 그 정도가 좀 지나치다는 느낌이 들 때가 있다. 부모가 자녀를 사랑하는 방식이 아이의 개성과 권리를 존중하여 행복을 느낄 줄 아는 사람으로 성장시키는 데 있는 것이 아니라, 남보다 공부 잘하고 앞서가는 사람으로 양육하겠다는 의지로 나타나기 때문이다. 시중에 나와 있는 자녀 교육서들도 대부분 공부 잘하는 법, 어릴 때부터 부자가 되는 습관 등 똑똑하고 지지 않는 아이 쪽에 초점을 맞추고 있는 듯하다.

이 책은 그런 관점에서 한 발 뒤로 물러나 있다. 아이를 사랑하는 방법은 가장 기본적인 데서 출발한다. 그것은 바로 아이에게 희망과 용기를 불어넣어 주는 것. 지은이는 ‘아이를 빛나게 한다’는 표현으로 평생을 연구하고 실천해 온 자녀 교육관을 피력하고 있는데, 그 방법은 바로 말로써 아이에게 힘을 주는 것이다. 그런데 그 말은 매우 거창한 것이 아니라 일상생활 속에서 주고받는 말, 부모들도 어린아이였을 때 자신의 부모에게서 들었던 말의 범위를 벗어나지 않는다. 비싼 선물은 순간의 기쁨을 주는 데 불과하지만, 부모의 진심이 담긴 한 마디 말이 주는 감동은 아이의 마음속에 오래도록 남는다고 한다. 그래서 저자는 ‘말의 선물’이라는 표현을 씀으로써 부모들이 사랑하는 자녀에게 선물을 주듯이 자꾸자꾸 칭찬의 말을 해 주자고 강조한다. 말이란 것은 자신의 생각을 남에게 알리기 위해 존재하는 것인 만큼 부모도 아이에게 격려의 마음을 자주 표현하여 아이를 응원해 주자는 것이다. 마음속에 가득한 사랑은 표현하지 않으면 알 수 없다. 어른들도 좋은 말을 들으면 힘이 나고 비난의 말을 들으면 화가 나는 것처럼, 아직 가치관이 정립되지 않은 아이들은 세상에서 가장 친근한 존재인 부모에게서 칭찬과 격려의 말을 들을 때 긍정적이고 힘이 넘치며 감정이 풍부한 사람으로 성장하게 된다.

좋은 부모는 아이의 학습력을 높여 주기 이전에 사랑과 꿈을 품으며 감사하고 감동할 줄 아는 사람으로 성장시키는 데 노력을 기울인다. 이 책은 자칫 부모들이 간과하고 있을지도 모르는 아이에 대한 칭찬과 격려의 소중함을 알려주고, 실천 가능한 방법으로 ‘말을 통한 마음 전하기’를 제시한다. 자신의 아이가 인생을 즐겁고 행복하게 살아가기를 진심으로 바라는 부모라면 반드시 읽어 두어야 할 책이다. 이 책을 통해 아이에게 ‘말의 선물’을 전달하다 보면 오히려 부모의 마음이 한결 느긋해지고 행복해지는 기분을 느끼게 될 것이다.