직사각형과 정사각형

네 변 같고 네 각이 직각이면 `정사각형`

도형들이 도형랜드에서 여러 가지 체험 학습을 하고 있었습니다. 그런데 직사각형랜드 입구에 ‘직사각형만 들어오세요’라고 써 있습니다. 평행사변형이 자기도 직사각형인 줄 생각하고 들어가려고 했지요. 직사각형 문지기들이 평행사변형이 들어가려고 하는 것을 막습니다. “평행사변형은 마주 보는 두 쌍의 변의 길이가 같으므로 직사각형이 됩니다. 왜 들여보내지 않습니까?”라고 항의했습니다. 직사각형 문지기는 “평행사변형은 마주 보는 두 쌍의 변이 같다 하더라도 네 각이 모두 직각이 아니므로 직사각형이 아닙니다. 그러므로 평행사변형은 들어갈 수 없습니다.”라고 친절하게 설명해 주었습니다. 평행사변형은 문지기의 설명에 멋쩍은 표정으로 뒤통수를 긁적이면서 되돌아갔지요.

이 때 정사각형이 막 들어가려고 하였습니다. 그런데 문지기는 이번에도 정사각형을 거절합니다. “정사각형은 네 변의 길이가 모두 같고, 네 각이 모두 직각이므로 직사각형이 됩니다. 왜 들여보내지 않습니까?”라고 말했습니다. 문지기는 말합니다. “정사각형은 네 각이 모두 직각이라 하더라도, 네 변의 길이가 모두 같으므로 직사각형이 아닙니다. 그러므로 들어갈 수 없습니다.” 그렇지만 정사각형은 자기 생각이 옳다고 판단하고 물러서지 않았어요. “비록 네 변의 길이가 모두 같더라도, 네 각이 모두 직각이므로 직사각형이 될 수 있습니다. 나도 들어갈 수 있습니다.”라고 다시 한 번 주장했습니다. 그렇지만 문지기도 자기의 생각을 굽히지 않았습니다. 이를 보고 있던 여러 도형들은 둘로 편이 나뉘었습니다. 어떤 도형들은 ‘정사각형은 직사각형이 될 수 있다’에 편을 들었고, 어떤 도형들은 ‘정사각형은 직사각형이 될 수 없다’에 편들었습니다.
도형들은 결정할 수 없어서 도형랜드 사장에게 물어보았어요. 사장님은 “네 각이 모두 직각인 사각형은 모두 직사각형입니다. 그런데 정사각형은 네 각이 모두 직각입니다. 그러므로 정사각형은 직사각형이라고 볼 수 있습니다.”라고 판단해 주었습니다. 모두들 사장의 판단에 고개를 끄덕였습니다. 그런데 의심 많은 마름모가 사장님에게 다른 것을 물었습니다. “직사각형과 정사각형은 같은 것이 아닌가요?” 공부를 많이 하셨던 사장님은 마름모에게 친절하게 설명해 주셨습니다. “정사각형은 네 각이 모두 직각이고 네 변의 길이가 모두 같은 사각형입니다. 그런데 직사각형은 네 각만이 모두 직각이므로 네 변이 모두 같다는 조건을 만족할 수 없습니다. 그러므로 직사각형은 정사각형이라고 볼 수 없습니다.”라고요.
끝으로 사장님은 덧붙여 말씀하셨죠. “정사각형은 네 변의 길이가 모두 같기 때문에 마름모가 됩니다. 그러나, 네 변이 같지만 네 각이 모두 직각이 아니므로 마름모는 정사각형이 아닙니다.”
/ 배종수 교수(서울교대 수학교육과)