소수

분모가 서로 다른 `분수의 크기` 비교하려면…?

분수 마을에 분수들이 사이 좋게 살고 있었습니다. 그곳에는 1/2, 2/5와 같은 분수도 살았고 3/4, 4/7와 같은 분수도 있었으며 2/3, 5/8와 같은 분수도 살았고 1/10, 1/100도 있었습니다. 그러던 어느 날 분수들은 서로 자기가 가장 크다고 자랑하기 시작했습니다. 누가 가장 큰지 서로 비교하려고 했지만 구별할 수 없었습니다. 그 때 윗마을에 살고 있던 자연수들이 자기들은 ‘십진기수법’으로 나타내고 있기 때문에 크기를 쉽게 비교할 수 있다고 뽑냈습니다. 375와 429는 백의 자리를 비교하면 쉽게 429가 더 큰 수임을 알 수 있고, 528과 573은 백의 자리가 같으므로 십의 자리를 비교하면 573이 더 큰 수임을 쉽게 알 수 있다고 했지요.
분수들은 자연수 앞에서 창피하여 자기가 가장 크다고 더 이상 다툴 수 없었습니다. 분수들은 마을 회의를 열었습니다. 어떻게 하면 쉽게 크기를 비교할 수 있을까? 회의를 거듭하면서 분수들은 자연수처럼 십진기수법으로 나타내는 좋은 아이디어를 찾아냈습니다. 분모가 10, 100, 1000인 분수들을 다음과 같은 소수로 나타내기로 약속했습니다.

1/10=0.1 2/10 =0.2 1/100=0.01 3/100=0.03 24/100=0.24 1/1000=0.001
1/10//////////
그 때 1/2과 2/5가 자기들은 어떻게 소수로 나타낼 수 있는지 질문했어요. 1/2은 분모가 10이 되기 위하여 분자와 분모에 각각 5를 곱하면 5/10이므로 0.5가 되고
1/2=1×5/2×5=5/10=0.5

2/5는 분모가 10이 되기 위해 분자와 분모에 각각 2를 곱하면 4/10가 돼 0.4가 된다고 설명했습니다.
2/5=2×2/5×2=4/10=0.4

옆에 있던 3/4과 5/8도 소수로 나타낼 수 있는 방법이 있는지 물었습니다. 이번에는 1/100이 대답했지요. 3/4은 분모에 어떤 수를 곱한다 하더라도 10은 되지 않지만 분모에 25를 곱하면 분모가 100이 되므로 소수로 나타낼 수 있고
3/4=3×25/4×25=75/100=0.75

5/8는 분모에 어떤 수를 곱한다 하더라도 10이나 100은 되지 않지만 분모에 125를 곱하면 분모가 1000이 되므로 소수로 나타낼 수 있다고 대답했습니다.
5/8=5×125/8×125=625/1000=0.625

끝에 있던 2/3와 4/7도 소수로 나타내고 싶다고 했습니다. 그러나 2/3와 4/7는 분모에 어떤 수를 곱한다 하더라도 10, 100, 1000, … 등으로 나타낼 수 없기 때문에 소수로 나타낼 수 없다고 대답했지요. 이와 같이 소수는 분수를 십진기수법으로 나타내기 위하여 생겨난 것입니다.

모든 분수를 소수로 나타낼 수 없을까?
분수 마을에서는 새로운 고민거리가 생겼습니다. 1/2, 2/5도 소수로 나타낼 수 있었고, 3/4, 5/8를 소수로 나타낼 수 있었으며, 1/10, 1/100도 소수로 나타낼 수 있는데, 2/3와 4/7는 소수로 나타낼 수 없었기 때문이었지요.
분수 마을에서는 2/3와 4/7를 소수로 나타낼 수 있는 방법을 찾아내는 이에게 상을 주기로 했습니다.
분수들은 끼리끼리 모여서 2/3와 4/7를 소수로 나타내기 위해 연구하기 시작했습니다. 그러던 어느 날 1/10이 ‘분자를 분모로 나누면’ 소수로 나타낼 수 있다고 제안했습니다.

1/2=1÷ 2 = 0.5 2/5= 2÷ 5 = 0.4
3/4=3÷4 = 0.75 5/8 = 5÷ 8 = 0.625
1/10= 1÷ 10 = 0.1 1/100=1÷100 = 0.01
2/3=2÷3 = 0.6666666666666… 4/7= 4÷7 = 0.571428571428571428…
많은 분수들이 1/10이 생각해낸 아이디어를 듣고 감탄하면서 1/10을 칭찬했습니다.
그러면서 ‘이들을 나타내기 위해서는 소수점 아래에 수를 끝없이 써야 하는데, 이것을 좀더 쉽고 간편하고 빨리 쓰는 방법은 없을까?’하면서 질문했습니다.
분수 마을에서 꾀가 가장 많은 꾀돌이 1/100이 좋은 아이디어를 냈습니다. 2/3는 소수로 나타내려면 6이 계속되고 있는데 이것을 쉽고 간편하고 빨리 나타내기 위하여 6 위에 점을 찍어 나타내자고 제안하였습니다.
2/3=2÷3 = 0.66666666…
2/3=0.6
4/7를 소수로 나타내려면 0.571428571428571428…로 571428이 계속되고 있으므로 571428 위에 점들을 찍어 나타내자고 제안했어요.
4/7= 0.571428571428571428…
4/7= 0.5 7 1 4 2 8
이 때 옆에서 지켜보고 있던 분수 1/2이 더 좋은 아이디어를 생각해 냈습니다.
위에 찍은 점들을 모두 찍지 말고 맨 앞에 있는 점과 끝에 있는 점만을 남겨 두고 나머지는 없애자고 말한 거죠.
이 이야기를 듣고 있던 분수들이 박수를 치면서 좋은 아이디어라고 칭찬해 주었습니다.
분수 마을에서는 모든 분수들을 소수로 나타내는 방법을 찾아내고 기쁨의 축제를 벌였습니다.
축제에서 분수 대장은 분수들을 칭찬하면서 “수학은 ‘필요에 따라 쉽고 간편하며 빨리 할 수 있는 방법은 없을까?’라고 고민하면서 아이디어를 찾아내는 교과”라고 격려의 말씀을 하셨습니다.

/배종수 교수(서울교대 수학교육과)