나머지가 있는 나눗셈식

나머지가 있을 때 나눌 수 있을까?

자연수 나라에 7명이 살고 있는 ‘7마을’이 있습니다. 어느 날 7마을에서 3명이 이사 나와 ‘3마을’을 만들었기 때문에 4명이 남았습니다. 그런데, 또 3명이 새롭게 ‘3마을’을 만들어 나갔습니다. 결국 남은 1명은 어쩔 수 없이 ‘1마을’이 됐습니다. 며칠 사이에 7명이 살고 있는 7마을은 3명씩 살고 있는 3마을 2곳과 1마을로 변해버린 거죠.
이 모습을 보고 있던 빼기라는 장관은 이번에는 ‘7에서 3을 2번 뺐더니 1이 남았다’는 사실을 나타내기 위해 7마을 입구에 ‘7-3-3=1’이라 써 붙였습니다.
이번에도 머리 좋은 포함제 나눗셈 장관이 ‘7-3-3=1’은 너무 길기 때문에 ‘7에서 3을 2번 뺐더니 1이 남았다’는 사실을 쉽고 간편하고 빨리 나타내기 위해 ‘7÷3=2…1’이라 쓰고, ‘7 나누기 3은 2 나머지 1’이라 부르도록 아이디어를 냈습니다. 그러면서 7 속에는 3이 2번 포함되어 있고 1이 남았다는 뜻으로 ‘나머지가 있는 포함제 나눗셈’이라는 이름을 붙여주었어요.
다른 7마을에서는 7명이 함께 살기에는 너무 복잡하므로 세 집으로 똑같이 나누어 살기로 결정했습니다. 그런데 문제는 7명이 세 집으로 똑같이 나누어 살 수 없다는 점입니다.
이런 과정을 바라보고 있던 등분제 나눗셈이라는 장관은 나머지가 있는 경우에 등분제 나눗셈으로 나타낼 수 있는가를 곰곰이 생각했으나 그럴 수 없었습니다. 세 집에 2명씩은 똑같이 나눌 수 있었지만 나머지 1명을 세 집으로 똑같이 나눌 수 없었기 때문이지요. 그래서 등분제 나눗셈 장관은 나머지가 있는 나눗셈은 등분제 나눗셈으로 나타낼 수 없다고 결론을 냈습니다.
등분제 나눗셈 장관은 나머지가 있을 경우에는 포함제 나눗셈만 생각하여야 한다는 사실에 마음이 아팠습니다. 그러면서 수박 7개를 셋으로 똑같이 나누면 한 곳에 2씩 나눌 수 있다는 사실을 발견하고 7÷3=2 1/3이라고 썼습니다. 등분제 장관은 위대한 것을 발견한 것처럼 의기양양하게 왕에게 보고했어요. “사람처럼 나눌 수 없는 경우에는 등분제 나눗셈으로 나눌 수 없지만, 수박처럼 나눌 수 있는 경우에는 등분제 나눗셈으로 나눌 수 있습니다.”라고요.
왕은 등분제 나눗셈 장관의 발견에 대하여 칭찬하면서 나머지가 있는 나눗셈에 대하여 결론을 내렸습니다. “사람과 같이 나눌 수 없는 경우, 나머지가 있을 때에는 포함제 나눗셈만을 사용하고 등분제 나눗셈을 사용할 수 없습니다. 그러나 수박과 같이 나눌 수 있는 경우, 나머지가 있더라도 포함제 나눗셈과 등분제 나눗셈을 사용할 수 있습니다.”

/ 배종수 교수(서울교육대학 수학교육과)