문제 해결 5(거꾸로 해결하기 전략)

바둑돌 하나만 남기는 방법은?

준수와 은혜는 바둑돌 11개를 서로 번갈아 가져가는 놀이를 하기로 했습니다. 한번에 바둑돌을 1개 가져갈 수도 있고, 2개를 가져갈 수도 있고, 3개를 가져갈 수도 있도록 규칙을 정했습니다. 또 바둑돌을 마지막으로 가져가는 사람이 지는 것으로 정했습니다.
준수와 은혜는 가위바위보를 해서 이긴 사람이 먼저 바둑돌을 가져가기로 하였습니다. 가위바위보에서 은혜가 이겼습니다. 은혜가 먼저 1개를 가져가고, 준수도 1개를 가져갔습니다. 다음에 은혜는 3개를, 준수는 1개를 가져갔습니다. 마지막으로 은혜가 2개를 가져갔고 준수도 2개를 가져갔습니다. 결국 1개 남은 바둑돌을 은혜가 가져갔고, 은혜는 놀이에서 졌습니다. 다음번 놀이에선 은혜 2개→준수 3개→은혜 3개→준수 2개→은혜 1개가 돼, 은혜가 또 졌습니다. 그 다음번 놀이에서도 은혜 3개→준수 3개→은혜 3개→ 준수 1개→은혜 1개가 되어 은혜가 또 졌습니다.
은혜는 준수에게 계속 졌습니다. 은혜는 집에 와서 아버지에게 놀이에서 이길 수 있는 방법을 여쭈었습니다. 그런데 아버지께서는 은혜가 이 문제를 스스로 해결하는 방법을 찾도록 하기 위하여 은혜를 도와주지 않았습니다. 은혜는 스스로 이 문제를 해결하려고 여러 가지를 생각하기 시작했습니다.

그러던 중 은혜는 문제 해결의 순서를 뒤에서부터 해결하려는 방법을 생각해보았습니다. 은혜가 이기기 위하여 마지막(끝에서 첫째)으로 준수에게 1개를 남겨주어야 한다고 생각했습니다. 끝에서 첫째인 준수에게 1개를 남겨주기 위해서 끝에서 둘째인 은혜에게 2개, 3개, 4개가 남아 있어야 한다는 것을 생각해냈습니다. 끝에서 둘째인 은혜에게 2개, 3개, 4개를 남겨주기 위하여 끝에서 셋째인 준수에게 5개가 남아 있어야 한다는 것도 생각해냈습니다. 끝에서 셋째인 준수에게 5개를 남겨주기 위해서 끝에서 넷째인 은혜에게 6개, 7개, 8개가 남아 있어야 한다는 것을 발견했습니다. 끝에서 넷째인 은혜에게 6개, 7개, 8개를 남겨주기 위해서 끝에서 다섯째인 준수에게 9개가 남아 있어야 한다는 것을 발견했습니다. 따라서 은혜가 놀이에서 이기기 위해서 준수에게 9개나 5개, 1개를 남겨둬야 한다는 것을 발견했습니다. 그래서 은혜가 처음 2개를 가져가야 한다는 것도 발견했습니다.
은혜는 스스로 발견한 방법으로 아버지와 놀이를 하여 항상 이겼습니다. 은혜는 자기가 발견한 방법을 아버지에게 설명했습니다. 아버지께서는 은혜를 칭찬하시면서 “문제를 해결할 때는 순서를 바꿔 거꾸로 해결하면 쉬울 때가 있단다. 이와 같이 전략을 ‘거꾸로 해결하기 전략’이라고 한단다.라고 설명해주셨습니다.

/서울교육대학 수학교육과